猜题05 导数及其应用-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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题型一：导数的概念及导数的运算
题型二：切线问题
题型三：单调区间（不含参数）
题型四：含参数分类讨论的单调性
题型五：已知函数的单调性求参数
题型六：求函数的极值
题型七：根据极值或极值点求参数
题型八：求函数的最值
题型九：根据最值求参数
题型十：利用导数解决实际应用问题
题型十一：证明不等式
题型十二：恒成立与能成立问题
题型十三：零点问题
题型十四：双变量问题
题型十五：利用构造函数解决不等式问题
题型一：导数的概念及导数的运算
1．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A．6B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，，
故函数从到的平均变化率为，
故选：B.
2．（2023·云南红河·高二校考期末）若函数在处可导，则（ ）
A．B．
C．D．0
【答案】A
【解析】由导数定义得：
，
即，
故选：A.
3．（2023·陕西延安·高二统考期末）已知在处的导数为2，则（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】A
【解析】，.
故选：A
4．（2023·高二单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
5．（2023·陕西延安·高二子长市中学校考期末）一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（ ）
A．3m/sB．5m/sC．6m/sD．12m/s
【答案】B
【解析】由于，
所以该物体开始运动后第2s时的速度是m/s.
故选：B
6．（2023·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【解析】（1）
（2）.
题型二：切线问题
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，导数为，
可得，，
可得在处的切线的方程为，
又因为，满足切线的方程，可得，
解得，
由得，，
故选：B
8．（2023·江苏苏州·高二统考期末）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由已知可得，，
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.
所以，切线方程为.
作出图象
解可得，.
解可得，.
所以，.
故选：C.
9．（2023·广东广州·高二统考期末）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，则，
故曲线在点处的切线方程为，即，
而切线与曲线只有一个公共点，
即有且只有一正解，
即有且只有一正解，
令，则，
由于，故，
当时，，在上单调递增，
且，，
即在上存在唯一零点，即有且只有一正解；
当时，，在上单调递增，
由于的最小值为，故当趋向于0时，可取到负值，
且，故在上存在唯一零点，
即有且只有一正解；
当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
令，则在上单调递增，且，
此时要使有且只有一正解，故需，
综合以上可知或，
故选：B
10．（2023·四川资阳·高二统考期末）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
∵切线过原点，∴，
整理得：,
∵切线有两条，∴，解得或，
∴的取值范围是,
故选：D
11．（2023·河南信阳·高二统考期末）已知曲线在处的切线方程为，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】记，，所以，∴．
又，所以，曲线在处的切线方程为，
即，∴．故．
故选：A．
12．（2023·河北衡水·高二校联考期末）已知直线与曲线和曲线都相切，则直线在轴上的截距为（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】设，，
则，．
设上的切点为，上的切点为，
则，则．
又，，
所以，
故，．
故．
故选：B．
13．（2023·北京·高二统考期末）曲线上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解析】，所以，
设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，
曲线上的点到直线的最短距离，即为切点P到直线的距离，
故选：C．
题型三：单调区间（不含参数）
14．（2023·陕西延安·高二校考期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由的定义域为，，
令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：B
15．（2023·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数​的单调递增区间是（ ）
A．​
B．​和​
C．​
D．​
【答案】D
【解析】的定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为.
故选：D.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,则函数的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】函数定义域为,
由于函数,
所以,
得,
所以函数的单调递减区间是.
故答案为:.
题型四：含参数分类讨论的单调性
17．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
【解析】（1）的定义域为，．
曲线在处的切线的斜率为．
把代入中得，即切点坐标为．
所以曲线在处的切线方程为．
（2）令，得．
①当时，在区间上，，函数为单调减函数．
②当时，在区间上，，为单调减函数；
在区间上，，为单调增函数．
综上，当时，为单调减函数；
当时，在区间上，为单调减函数，在区间上，为单调增函数．
18．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【解析】（1）当时，，则，，又，
在点处的切线方程为：，即.
（2）由题意得：定义域为，；
当时，，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
19．（2023·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)试讨论函数的单调区间.
【解析】（1）当时，,则，
，又，
在点处切线的方程为；
（2）由题可得，
令，解得或，
若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和,，单调减区间为；
②若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和，单调减区间为；
③若，则，函数的单调增区间为；
综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.
20．（2023·广东广州·高二广东番禺中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【解析】（1）当时，，，
，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2），
当，令得，由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
当，令得，
当时，由得或，由得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；
当时，由得或，由得，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为.
21．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
题型五：已知函数的单调性求参数
22．（2023·陕西西安·高二统考期末）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，在上恒成立，
即，设，，故，故.
故选：A
23．（2023·北京通州·高二统考期末）已知函数为其定义城上的单调函数．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，求导得，
若函数在上单调递增，则，恒成立，
而函数在上的值域为，因此不存在满足条件；
若函数在上单调递减，则，恒成立，
而当时，，因此，
所以实数的取值范围为.
故选：A
题型六：求函数的极值
24．（2023·宁夏银川·高二校考期末）已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值．
【解析】（1）由已知，
，又，
所以切线方程为，即；
（2）由（1）知时，，单调递减，时，，单调递增，
所以极小值为，无极大值．
25．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数在定义域内是奇函数
(1)求实数c的值；
(2)求函数f（x）的极小值（用b表示）
【解析】（1）由奇函数的定义知
，所以．
（2）定义域为，
当，在上恒成立，即为增函数，无极小值；
当，的解为，单调递减；
的解为或单调递增；
极小值为；
综上所述，当无极小值；
当，极小值为．
26．（2023·上海普陀·高一校考期末）已知函数
(1)求函数的导数；
(2)求函数的单调区间和极值.
【解析】（1）由题得.
（2）的定义域为，
，
令，或.
当变化时，的变化情况如下表，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
函数的极大值点为，极大值为，极小值点为，极小值为.
27．（2023·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．
【解析】（1）当时，，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）易得函数定义域为R，，
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.
题型七：根据极值或极值点求参数
28．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数在上存在两个极值点，
等价于在上有2个不同的实根（变号），
即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号），
求出，
当，时，,
当，时，
所以在，上单调递增，
在，上单调递减．
可画出的草图如图：
要保证直线（）在上有2个不同的交点（变号），
只需，
可得，
故答案为：．
29．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
因为函数既存在极大值也存在极小值，
所以方程即有2个不相等的实数根，
所以，解得或，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
30．（2023·重庆万州·高二校考期中）已知函数在时有极值0，则= .
【答案】
【解析】∵，，函数在时有极值0，
可得即 ，解得或，
若时，函数，
所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，
所以，所以
故答案为：．
31．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数在上存在两个极值点，
等价于在上有2个不同的实根（变号），
即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号），
求出，
当，时，,
当，时，
所以在，上单调递增，
在，上单调递减．
可画出的草图如图：
要保证直线（）在上有2个不同的交点（变号），
只需，
可得，
故答案为：．
32．（2023·湖南长沙·高二校考期末）已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a= .
【答案】
【解析】当时，在区间上递增，
在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
当时，，在上递增，无极值.
当时，在区间上递增，
在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
故答案为：.
33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）函数有极值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数定义域为R，求导得：，
因为函数有极值，则函数在R上存在变号零点，即有两个不等实根，
即有方程有两个不等实根，于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
34．（2023·天津·高二统考期中）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
故答案为：
题型八：求函数的最值
35．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）由题意可得，定义域，
令，即，所以；
故的单调递增区间为，递减区间为.
（2）因为，
故，定义域，
令，即，
故在单调递减，在上单调递增，
故最小值为，
又因为，
，
故最大值为
36．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知函数在处取得极值．
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的最值．
【解析】（1）函数，
又函数在处取得极值，
所以有；
所以实数的值为1.
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，
因此，，，
故函数的最小值为；最大值1.
37．（2023·安徽·高二校联考期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【解析】（1）的定义域为R，且.
解得或，所以递增区间为，；
解得，所以递减区间为.
（2）由（1）可知，的变化如下表
所以函数在上的最大值为59，最小值为-49.
38．（2023·贵州黔西·高二校联考期末）已知函数，．
(1)若在上是增函数，求的取值范围；
(2)若在上的最小值，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
令，则，
因为在上是增函数，所以，则恒成立，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，故，则，此时在上是增函数，
所以的取值范围是，
（2）由（1）知在上是增函数，，
当时，在上单调递增，，
令，得，故；
当，即时，，在上单调递减，，
令，解得，此时不存在；
当时，，存在，使得，即，
故当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，
所以，令，解得，此时不存在；
综上所述，的取值范围是.
题型九：根据最值求参数
39．（2023·河南许昌·高二统考期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，令得，
时，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
若函数在上有最小值，则其最小值必为，
则必有且，
即且，
则且，解得，
故答案为：.
40．（2023·辽宁·高二统考期末）已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，
因为与的值域相同，所以.
故答案为：
41．（2023·广东佛山·高二统考期末）已知函数的最小值为，则a的值为 ．
【答案】-3
【解析】函数的定义域为R，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的最小值为，
解得：.
故答案为：-3.
42．（2023·浙江宁波·高二统考期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，所以，所以，
当时，单调递增，所以当时，，
此时值域为R，符合题意；
当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，
所以满足题意；
当时，当时，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，
要想值域为R，则要满足，
解得：，
综上：实数a的取值范围是
故答案为：.
43．（2023·河南洛阳·高二统考阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
令 解得；令 ，解得或
由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，解得
故答案为：
题型十：利用导数解决实际应用问题
44．（2023·山东烟台·高二统考期末）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系．
(1)若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？
(2)如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．
【解析】（1）当时，，
则，
令，则，化简得，解得或（舍去），
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
所以当时，取得最大值，
因为，所以目标不能实现；
（2）由（1）可知，当时，公司年增加最大利润为万元，
当时，，
所以当时，取得最大值45，
因为，
所以投资45万元时，公司年增加利润最大为45万元.
45．（2023·福建宁德·高二校联考期中）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元.
（参考数据：，，）
(1)求函数的解析式；
(2)当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）依题设：
当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：
，可得：，∴；
∴
.
（2）由（1）得，
，
∵∴时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴时，取得极大值也是最大值，
，
∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元.
46．（2023·福建福州·高二福建师大附中校考期末）西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.

(1)设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
(2)试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
【解析】（1）依题意得，，
则
，
其中，.
（2），令，得，
当，，函数递增，当时，，函数递减.
所以，是函数的极大值点，且唯一；
从而当时，日效益总量可取得最大值.
题型十一：证明不等式
47．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明: ．
【解析】（1）由函数，可得的定义域为，
且
若，可得，在上单调递减；
若，令，因为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上可得：当时， 在上单调递减；
当时，的递增区间为，递减区间为.
（2）证明：由（1）知，当时，的递增区间为，递减区间为，
所以，所以，即，
当时，可得：，
将不等式累加后，
可得
，
即.
48．（2023·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，所以，
所以切点坐标为，
由于，
所以切线的斜率为：，
故切线的方程为：，即.
（2）证明：要证：，
只需证：，
由于，证明如下：令，
，令得：，
当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增；
所以，故，即，
所以
令，则，
令，则
由于，所以在恒成立，
故在单调递增，
所以恒成立，
即在恒成立.
所以在单调递增，
所以恒成立，即，
故
所以，即.
49．（2023·内蒙古·高二校联考期末）已知函数，
(1)当，求曲线在处的切线方程；
(2)若，证明：．
【解析】（1）当时，，，
，，
曲线在处的切线方程为，即．
（2）因为，
当时，由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
要证，即证，即，
令函数，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，所以，即得证，
故得证．
题型十二：恒成立与能成立问题
50．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
故函数的极大值为，极小值为.
（2）对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
51．（2023·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若，讨论的单调性.
(2)当时，都有成立，求整数的最大值.
【解析】（1），定义域为R，
且，
当时，恒成立，故在R上单调递增，
当时，令得，，此时单调递增，
令得，，此时单调递减，
综上：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意得，在上恒成立，
因为，所以，故，
令，，只需，
，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，
故存在，使得，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，
所以，故整数的最大值为1.
题型十三：零点问题
52．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，为的导数.
(1)证明：在区间上存在唯一极大值点；
(2)求函数的零点个数.
【解析】（1）由题意知，函数的定义域为，且，
令，，所以，，
令，，则，
当时，，所以，
即在上单调递减，
又，，
，
则存在，使得，即存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以为的唯一极大值点，
故在区间上存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，，，
①当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，使得，
所以当，时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，，
所以当时，有唯一的零点；
②当时，，单调递减，
又，所以存在，使得；
③当时，，所以，则在没有零点；
综上所述，有且仅有2个零点.
53．（2023·陕西延安·高二统考期末）已知函数，.
(1)若，求的取值范围；
(2)当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围.
【解析】（1）由得，
∵，∴，
设，则，
令，解得，令，解得，
故函数在上递增，在上递减，
故时，函数取最大值，
∴，即a的取值范围是.
（2）由题意得在上存在实数根，
设，则，
令，得或，令，得，
故在，上递增，在上递减，
∵在上存在实数根，
∴，即，解得，
故b的取值范围是.
题型十四：双变量问题
54．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)当时，若存在满足，证明．
【解析】（1）当，在单调递减；
当时，，
①当时，，，，；
②当时，在恒成立；
③当时，，，，；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）由，得，即，
由（1）可知，当时，，，
当时，；当时，，
在单调递增，在单调递减，
又当，，当时，，
故，即．欲证，即证．
设，，
则，
即在单调递减，
又，所以，即，
又，所以，
又因为在单调递增，，，
所以，即得证．
55．（2023·山东泰安·高二统考期末）已知函数，R．
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若存在，使得，证明：．
【解析】（1）的定义域为，,
当时，，单调递增．
当时，令，解得或（舍去）
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
综上，当时，单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减,
（2）证明：，
令，则函数变形为，
因为，所以单调递增，
若存在，使得，
则存在对应的，，使得，
因为，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，所以，
设，
则，
所以单调递减，所以，所以，
因为，所以，
又因为在上单调递增，所以，
所以，所以．
题型十五：利用构造函数解决不等式问题
56．（2023·宁夏银川·高二校考期末）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，因为，所以，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的减函数，
因此由，
故选：C
57．（2023·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】定义在上的函数的导函数为，，
令函数，求导得，即函数在上单调递减，
由，得，不等式等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故选：D
58．（2023·四川眉山·高二统考期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，因为，所以，
又，
所以在上单调递增，
不等式即，所以，所以，
即不等式的解集为.
故选：A
59．（2023·陕西汉中·高二校联考期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
因为，
所以，则在R上递减，
又不等式，即为，
又，则即，
所以，
故选：A
60．（2023·天津西青·高二统考期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意对任意的，都有，即，
令，则，
即为R上的增函数，
而，故，
又即，即，
所以，即不等式的解集为，
故选：D
61．（2023·广东东莞·高二统考期末）已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，
解得.
故选：A.
,
0
0
增函数
减函数
增函数
,
0
0
增函数
减函数
增函数
正
0
负
0
正
单调递增
极大值点
单调递减
极小值点
单调递增
x
-3
（-3，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，3）
3
+
0
-
0
+
-49
单调递增
极大值11
单调递减
极小值-1
单调递增
59
增
极大值
减
极小值
增