期末考前必刷卷01（范围：苏教版选择性必修第一册）-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
2．已知，直线l过且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．以上都不对
【答案】A
【解析】由题意得，，
若直线l过点且与线段相交，则或,
故选：A.
3．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
4．已知为圆上的两个动点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
所以.
故选：B.
5．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆定义可得，
由光学性质可知，为的角平分线，
所以.
故选：C
6．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【解析】等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，
即，整理得，而，解得，
所以d的值为1.
故选：C
7．已知数列满足，若， 则（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】为奇数时，依题意有，
又由可知，故上式无解.
为偶数时，依题意有，
故选：A
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
令，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即（当且仅当时等号成立）.
令，得，所以；
令，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即（当且仅当1时等号成立）.
令，得，所以；
综上所述：.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误；
直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故B正确；
对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，故C错误；
直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误.
故选:ACD.
10．若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】ABC
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，
若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线的距离等于，则，
解得，
显然.
故选：ABC.
11．设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值
D．时，n的最大值为33
【答案】ACD
【解析】对于A项，由已知可得，
数列是一个等差数列，首项，公差为，
所以，，
所以，.
当时，；
当时，.
时，，满足.
综上所述，.
所以，，
所以，是等差数列，故A项正确；
对于B项，设的公差为，
由A知，，，
根据等差数列的性质可知，，故B项错误；
对于C项，因为，，
要使取得最大值，则应有，
即，解得.
又，所以当或时，取得最大值.故C正确；
对于D项，由A知，，
解，可得.
所以，时，n的最大值为33.故D正确.
故选：ACD.
12．已知椭圆，点为坐标原点，分别是椭圆的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．椭圆上存在点，使得
B．为椭圆上一点，点，则的最小值为1
C．直线与椭圆一定相切
D．已知圆，点分别是椭圆､圆上的动点，则的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A，若存在点，使得，则点在以为直径的圆上，而点在椭圆上，
易知椭圆与圆无交点，如下图所示：
所以不存在点满足题意，即A错误；
对于B，由椭圆定义可得，则可得，
所以，
当且仅当三点共线时满足题意，又，可得，
即，所以B正确；
对于C，将变形可得，结合直线可得，
联立直线消去可得，
显然该方程仅有一解，所以当时，直线和椭圆仅有一个交点，
此时直线与椭圆一定相切，即C正确；
对于D，易知圆的圆心为，所以可得，
不妨设，则由可得，
则，
易知，令，
则在上满足恒成立，
所以在上单调递增，即，
因此可得，即的最小值为，即D错误.
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
14．已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 .
【答案】77
【解析】在之间插入个1，构成数列，
所以共有个数，
当时，，当时，，
由于，所以.
故答案为：.
15．已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，，若为锐角且外接圆的半径为4，则的面积是 .
【答案】
【解析】由题得，，由正弦定理得，
又，代入得，故，
由余弦定理可得，因为，
所以，
.
故答案为：
16．已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，，
且在上单调递增，可知在上单调递增，
由题意可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，
又因为，
设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，
若切线过原点，则，解得，
结合图象可知：若函数的图象与函数的图象有两个交点，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知点在直线上，且________．
(1)在“①直线与直线平行；
②直线与直线垂直；
③直线的倾斜角为，直线的斜率是直线的斜率的2倍．”
三个条件中任选一个，填在横线上，求直线的方程；
(2)在（1）的条件下，若直线与直线的距离为，求实数m的值．
【解析】（1）若选①：
依题意，设直线，
将代入可得，，
故直线的方程为；
若选②：
依题意，设直线，
将代入可得，，
故直线的方程为；
若选③：
依题意，直线的斜率，
故直线的斜率.
又点在直线上，
代入点斜式方程，
整理可得.
（2）由（1）可得，直线的方程为，斜率为2.
又直线，
且，所以.
直线的方程可化为，
故直线、之间的距离，
整理可得，
解得或．
18．（12分）
已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2.
(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.
【解析】（1）由题意可知，，整理，得，
故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆．
（2）由题意可知
①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
②当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，解得，
所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
19．（12分）
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
【解析】（1）依题意得，解得，
，即．
（2）①，，
，
，
所以．
．
②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，
又，
当时，；时，，
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
20．（12分）
已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，，使得．
【解析】（1）易知，,
当时，，函数在上单调递减；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，
若，使得，只需，
令，由，
可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，，
所以，，使得．
21．（12分）
已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，（为原点），求直线 的方程；
(3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值.
【解析】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，所以直线方程为或者；
（3）如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
22．（12分）
已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在定义域上存在极值，求的取值范围；
(3)若恒成立，求.
【解析】（1）当时，，，故切点坐标为，
又因为，则切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2），函数定义域为，，
所以当时，恒成立，不符合题意.
当时，令，，
所以时，在定义域上单调递增，
，因为，所以，
当时，，所以在上存在极值点
当时，，，
所以为的极值点.
当时，，因为，，故
所以在上存在极值点.
综上所述，的取值范围是.
（3）恒成立，得，
设
则，令，则
①当时，在时，，，所以，
在时，，
所以，
所以为在上的唯一极小值点，，
所以时，恒成立
②当时，时，，，有，
时，，，有，
又，所以，即为增函数.
，
又因为，所以存在使得，
当时，为减函数，
所以，不符合题意.
③当时，同②有为增函数，
当时，
，又因为，
所以存在，使得，
当时，，为增函数，
所以不符合题意.
④当时，时，，，有，
时，，，有，
又，所以，为增函数，
又因为，所以当时，，不符合题意.
综上所述，.