清单01 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
1、倾斜角和斜率
（1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定．
（2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，．
（3）直线的斜率：
一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是
①当直线l与x轴平行或重合时，，；
②当直线l与x轴垂直时，，k不存在．
由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在．
（4）直线的斜率公式：
给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率：
2、两条直线的平行与垂直
（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有
（2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
3、直线方程的不同形式间的关系
直线方程的五种形式的比较如下表：
【考点精讲】
考点1：倾斜角与斜率
例1．（2023·浙江台州·高二统考期中）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，，
直线可化为，
所以直线的斜率，
，
故选：D．
例2．（2023·云南昆明·高二校考期中）若直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ）
A．－4B．4C．－3D．3
【答案】A
【解析】直线l的斜率为．
故选：A.
例3．（2023·海南·高二统考期末）若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
【答案】A
【解析】由题意得，解得.
故选：A.
变式1．（2023·高二课时练习）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角范围是.
故选：C
变式2．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设三条直线，，的倾斜角为,
由图可知,
所以.
故选：B.
考点2：直线与线段的相交问题
例4．（2023·江西赣州·高二阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示：
依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
例5．（2023·福建福州·高二福建省连江尚德中学校考阶段练习）设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】A
【解析】如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，
点，，点是线段（含端点）上任一点，
，，
或，
的取值范围是．
故选：A．
例6．（2023·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
变式3．（2023·福建南平·高二统考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】即，又因为，
所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，
所以直线斜率
故选：A
变式4．（2023·辽宁大连·高二统考期末）已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】A
【解析】如图所示：
由题意得，所求直线的斜率满足或，
即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是
故选：A.
考点3：两直线平行问题
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 .
【答案】矩形
【解析】，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
例8．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ．
【答案】平行或重合
【解析】由已知，得，，
，但直线在y轴上的截距不确定，
直线与的位置关系是平行或重合．
故答案为：平行或重合．
例9．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）已知集合，．若，则实数 ．
【答案】3
【解析】因为，所以直线与直线没有交点，
所以直线与直线互相平行，
所以，解得或，
当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足；
当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，
所以的值为3.
故答案为：3.
变式5．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）已知集合、，若，则 ．
【答案】1
【解析】依题知两直线平行，则，解得，
经验证时，两直线不重合，所以.
故答案为：1
变式6．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知两直线方程分别为，若，则 ．
【答案】2
【解析】因为，且，
所以，得，
故答案为：2
变式7．（2023·浙江台州·高二温岭中学校考期末）已知直线和直线，若，则
【答案】－1
【解析】时，两直线显然不平行，因此，
所以由得，解得，
故答案为：．
考点4：两直线垂直问题
例10．（2023·高二单元测试）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是
【答案】
【解析】因为两直线互相垂直，所以，解得，
又垂足既在前一条直线上，也在后一条直线上，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
例11．（2023·贵州黔东南·高二统考期末）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b= ．
【答案】
【解析】因为斜率k1、k2是关于k的方程的两根，所以，
因为l1⊥l2，所以，即，
故答案为：
例12．（2023·天津滨海新·高二校考开学考试）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 .
【答案】
【解析】当直线AB与直线x+y=0垂直时，此时AB最短，
设B的坐标为，
则，
解得：，
所以B的坐标为
故答案为：
变式8．（2023·甘肃武威·高二统考期末）若直线与互相垂直，则实数的值为 .
【答案】或
【解析】因为直线与互相垂直，
所以，即，
解得：或，
故答案为：或
变式9．（2023·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形.
【答案】直角
【解析】如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
考点5：五种直线方程
例13．（2023·安徽六安·高二校联考期末）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，
故选：D
例14．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中开学考试）在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设线段的中点为，连接，
，则轴，则点，故点，
所以，直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为．
故选：D．
例15．（2023·黑龙江鹤岗·高二统考期中）已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线的方程.
【解析】（1）因为直线经过和两点，
由两点式得的方程为，即.
（2）由（1）知直线的斜率，
则直线的垂直平分线的斜率.
易得中点的坐标为.
可求出直线的点斜式方程为，
即.
变式10．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知、在直线上.
(1)求直线的方程；
(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.
【解析】（1）因为、在直线上，
所以，所以直线的方程为，即.
（2）设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率，
对于，令得，即直线与轴交于点，
所以直线的方程为.
变式11．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点分别为、、．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)边上的中线所在直线的方程．
【解析】（1）因为、，
故，边AC所在直线的方程为：，
即为：，
（2）由（1）知，故
所以AC边上的高所在直线的斜率为，
又，故为：，即；
（3）设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，
故为：，即.
考点6：直线与坐标轴围成三角形问题
例16．（2023·湖北武汉·高二统考期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【解析】（1）由题意可得.
（2）在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
例17．（2023·全国·高二专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
【解析】直线：，当时直线：，显然不满足题意，所以，令得，令得，即，．
依题意得，解得．
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，此时直线的方程为．
例18．（2023·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）已知一条动直线，
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
（2）设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
变式12．（2023·江苏南通·高二阶段练习）已知直线经过点，求：
（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．
【解析】（1）若直线的截距为，则直线方程为；
若直线的截距不为零，则可设直线方程为：，
由题设有，
所以直线方程为：，
综上，所求直线的方程为或．
（2）设直线方程为：，则 ，
所以，面积，
又由得，
当且仅当成立， 即当时，面积最小为6
所以，所求直线方程为
变式13．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l：．
（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【解析】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，．
直线不经过第二象限，，解得
当时，直线变为满足题意．
综上可得：k的取值范围是；
（2）由直线l的方程可得，．
由题意可得，解得．
当且仅当时取等号．
的最小值为4，此时直线l的方程为．
考点7：直线过定点问题
例19．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）不论取何值，直线恒过一定点，该定点坐标为 ．
【答案】
【解析】由，
令，即该直线过定点.
故答案为：
例20．（2023·山东聊城·高二校考期中）直线恒过定点
【答案】
【解析】直线方程化简为，
即，
当，解得：，
所以直线恒过定点.
故答案为：
例21．（2023·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）无论实数λ取何值，直线恒过定点 .
【答案】
【解析】由，可得，
令，解得，
所以直线恒过定点.
故答案为：.
变式14．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ．
【答案】4
【解析】直线的方程变形为，由，得，
所以，动直线过定点，同理可知，动直线过定点，
由题意可知，且为与的交点，所以，
由勾股定理可得，
由重要不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
故答案为：.
变式15．（2023·福建龙岩·高二福建省永定第一中学校考阶段练习）已知动直线和，是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 .
【答案】10
【解析】因为直线的方程可化为，
所以直线过定点，
因为直线的方程可化为，
所以直线过定点，
又因，所以直线与直线垂直，
即，所以，
故，
所以，当且仅当时等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
变式16．（2023·高二课时练习）不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为 ．
【答案】
【解析】将直线整理为；
直线过定点与无关，所以，且；
联立解方程组可得；
可得定点坐标为.
故答案为：
【提升练习】
1．（2023·河南开封·高二统考期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负，
当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为；
当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正，
当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为；
当公共点在O点时，直线l的斜率不存在.
综上，直线l的斜率的取值范围是.
故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）已知，满足，则直线必过定点（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
代入直线方程中，
得，即，
令，解得，
所以该直线必过定点.
故选：D
3．（2023·河南·高二校联考期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行；
当两直线平行时，由，即，解得，
经检验时，两直线平行，故.
综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C
4．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直线，
得：，即恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数
所以，
则，
，当且仅当时取等号；
故选：B
5．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，则，
直线的斜率为，
当时，则；
当时，则.
综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
6．（2023·重庆·高二重庆十八中校考期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（ ）
①存在实数，使，②存在实数，使；
③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】当时，，故，①对；
由，故不成立，②错；
由恒成立，即，③对；
由各直线方程知：坐标原点到各直线距离均为，④对.
所以共有3个正确.
故选：C
7．（2023·江苏苏州·高二统考期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由重心坐标公式可得：重心，即.
设外心，因为，所以，解得，即：.
，故欧拉线方程为：，即：，
故选：A.
8．（多选题）（2023·贵州遵义·高二校考阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
A．过点且与直线平行的直线的方程为
B．过点且与直线垂直的直线的方程为
C．若直线与直线平行，则的值为3
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
【答案】ABC
【解析】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确；
对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确；
对于C，因为直线与直线平行，
所以，解得或，
注意到当时，两直线重合，所以，故C正确；
对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误.
故选：ABC.
9．（多选题）（2023·安徽宿州·高二校联考期中）下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．若直线与直线垂直，则
C．过点的直线的倾斜角为
D．点关于直线的对称点的坐标为
【答案】BD
【解析】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；
B：由题意若直线与直线垂直，则，解得，故B正确；
C：由题意过点的直线的斜率为，故其倾斜角为，故C错误；
D：由于点与点的中点坐标为即，满足，即点在直线上，
又直线的斜率为，过两点、的直线斜率为，
所以，即直线（即直线）垂直直线，
综上所述：点关于直线的对称点的坐标为，故D正确.
故选：BD.
10．（多选题）（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点，且定点坐标为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则
C．若直线过第一、三象限，则
D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，直线的方程为，
即，即，
令，即此时直线恒过定点，
当时，，，直线的方程为也过点，
即直线恒过定点，且定点坐标为，A正确；
对于B，直线在两坐标轴上的截距相等，
显然时，直线的方程为不合题意；
故，此时直线的方程，
令，则，令，则，
令，即，解得或，B错误；
对于C，若直线过第一、三象限，则直线的斜率一定存在且为正数，
即，C正确；
对于D，若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，
即该四边形对角互补，
而直线恒过定点，故需满足直线，
则，D正确，
故选：ACD
11．（多选题）（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．己知，若直线与线段有公共点，则
【答案】BD
【解析】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立，
若两直线垂直，则，解得或，必要性不成立，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，由直线，得，
所以斜率，设倾斜角为，则，
又，所以，故B正确；
对于C，若直线过原点，则方程为，若直线不过原点，设直线方程为，
代入，得，所以直线方程为，
综上，直线的方程为或，故C错误；
对于D，若直线，得：，所以直线恒过定点，
因为，，
结合图象可知直线的斜率，即，故D正确.
故选：BD.
12．（2023·全国·高二专题练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 .
【答案】
【解析】易知直线的斜率为，
由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；
联立，解得；
即交点为
故答案为：
13．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】直线可得，
直线可整理为，令，解得，
所以，
因为，所以直线与直线垂直，则，
所以点的轨迹为以为直径的圆，
，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
14．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线，过定点，
则，
直线和以为端点的线段相交，
由图可知，或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设，
因为点的坐标为，所以中点，
又所在的直线方程为，
所以，即，
又点在直线上，
所以，
由解得，所以，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
16．（2023·福建厦门·高二福建省厦门第六中学校考期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.

(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)在中，求边上的高线所在直线方程.
【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为，
设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有，
解得，所以；
（2）因为直线的斜率为，
所以边上的高线所在直线的斜率为，
又，故边上的高线所在直线的方程为，
即为.
17．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线的方程；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程.
【解析】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为.
直线过点，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
（2）联立直线与直线的方程，可得，
所以，直线与直线的交点为.
当直线过原点时，设方程为，代入点可得，
所以，直线的方程为，即；
当直线不过原点时，由已知可设直线方程为，
代入点可得，，解得，
代入直线方程，整理可得.
综上所述，直线的方程为或.
18．（2023·全国·高二专题练习）若直线经过直线和的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.
【解析】方法一：由
得交点，由题意可知直线在x轴、y轴上的截距均不为零，
故可设直线的方程为.
由题意得，所以 (无解，舍去)或
解得或，
所以直线l的方程为或，
即或.
方法二：由，得交点，
由题意得直线的斜率k存在且，设直线的方程为.
令，得；令，得.
由，解得或.
当时，直线的方程为，即；
当时，直线的方程为，即.
方法三：易知直线与坐标轴围成的三角形的面积，
所以直线的方程不可能是.
故可设直线的方程为 (为常数)，
即.
由题意得，
令，得；令，得.
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积，
所以，解得或.
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为.
19．（2023·广东广州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，.
(1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形；
(2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程.
【解析】（1）如图所示，
因为四边形是平行四边形，所以，
设，则，解得，所以，
又因为，所以，所以，
所以四边形是矩形；
（2），所以直线，
即 ；
设的角平分线与轴交于点，求得，
所以，又为角平分线，所以，
所以倾斜角，
所以斜率，
所以直线，即.
20．（2023·四川内江·高二校考期中）已知直线：.
(1)求证：直线与直线总有公共点；
(2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.
【解析】（1）直线变形为，
令，解得，故直线恒过点，
又，故点在上，
故直线与直线总有公共点；
（2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，
故直线的斜率存在且大于0，故，
中，令，得，
中，令，得，
显然，解得，
则，
令，
则，
因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16，
此时，，直线的方程为.
21．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知直线．
(1)求证：无论为何值，直线恒过定点；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程．
【解析】（1）直线可化为，故过定点，
所以无论为何值，直线恒过定点；
（2）因为直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，所以，
则中取得，取得，
，
当且仅当时，即时取“＝”，
所以的最小值为4，直线的方程为．
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式
是直线上一定点，k是斜率
不垂直于x轴
斜截式
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
不垂直于x轴
两点式
，是直线上两定点
不垂直于x轴和y轴
截距式
a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距
不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
A、B、C为系数
任何位置的直线