清单02 直线的交点、距离公式与对称、最值问题-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
1、直线的交点
求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．
2、两点间的距离公式
两点，间的距离公式为．
3、点到直线的距离公式
点到直线的距离为．
4、两平行线间的距离
直线与直线的距离为．
5、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
6、点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
7、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
8、直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
9、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为 ．
点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ．
【考点精讲】
考点1：两直线的交点问题
例1．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，此时，不满足题意；
当时，解方程组得，
由题知，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：A
例2．（2023·海南·高二校联考期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在直线方程中，令，得，
即直线与轴的交点为，
因为点在直线上，所以，即，
所以：，即，所以直线的斜率为.
故选：D.
例3．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为.
故选：A.
例4．（2023·湖南·高二校联考期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．无论，，如何，总是无解
B．无论，，如何，总有唯一解
C．存在，，，使是方程组的一组解
D．存在，，，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】直线的斜率存在，
∴，
由题意，
则，
故：与：相交，
∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；
若是方程组的一组解，则，
则点，在直线，即上，
但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，
∴不可能是方程组的一组解，C错误.
故选：B.
例5．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，解得，则交点坐标为.
故选：D
例6．（2023·四川凉山·高二统考期中）已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】由解得，即.
由整理得，
由解得，所以直线过定点，
，，
则当点到直线的距离最大时，.
故选：A
例7．（2023·北京朝阳·高二北京工业大学附属中学校考阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】联立得，所以，解得，
所以直线的倾斜角的范围为.
故选：B.
考点2：两点的距离
例8．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知，，
解得，故，
则两点间的距离为.
故选：C
例9．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（ ）
A．B．C．D．与m的取值有关
【答案】A
【解析】由于经过的定点为，所以，
直线变形为，所以经过定点，故，
且两直线垂直，因此为直角三角形，所以，
故选：A
例10．（2023·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）已知三顶点为、、，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由已知，，，
∴，即，
∴是直角三角形.
故选：B.
例11．（2023·江苏连云港·高二统考期中）已知三点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由两点间的距离公式，及可得：，解得.
故选：A
例12．（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）点与之间的距离是5，则y=（ ）
A．B．C．或D．12
【答案】C
【解析】由题意，即，解得或．
故选：C．
例13．（2023·湖南·高二校联考期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条；
又，
所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条.
综上所述，满足条件的直线共有3条.
故选：C．
考点3：点到直线的距离
例14．（2023·海南·高二校联考期中）已知，，，设中边上的高所在的直线为，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】因为，，
所以的方程为，即为，
所以到的距离为，
故答案为：.
例15．（2023·河南·高二校联考期中）已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为 .
【答案】/
【解析】将直线化为一般方程可得，
由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.
故答案为：
例16．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中，，若的面积不超过2，则的取值范围是 .
【答案】或
【解析】直线的斜率不存在时，，此时，舍.
直线的斜率存在时，，整理得到：
.
故到直线的距离为，
又，故，
所以即，
因为构成三角形，故，所或，
故答案为：或.
例17．（2023·福建福州·高二校联考期中）若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 .
【答案】/
【解析】可以看成点到直线：的距离，
可以看成点到直线：的距离，
由已知可得，，：不过原点，
又由恰有两组的实数对满足关系式，
所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：，
所以满足题意的直线：
第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时，
因为，所以，符合题意；
第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点，
此时第二条直线的方程为，
所以此时，即，符合题意；
所以.
故答案为：.
例18．（2023·湖北·高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）若非零实数对满足关系式，则 ．
【答案】或
【解析】由，
可得，
可以看成点到直线的距离，
可以看成点到直线的距离，
因为，
所以.
因为，，
所以当点，在直线同侧时，直线与直线平行，
当点，在直线异侧时，，关于直线对称，
因为直线的斜率，
直线的斜率为，
所以或，
所以或.
故答案为：或.
例19．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）已知点到直线的距离为2，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得，
故答案为：
例20．（2023·江苏泰州·高一统考期中）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 .
【答案】或
【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为，
当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图：
则此时，由，且直线过，
则直线的方程为，整理可得；
当直线与直线相交时，作于，于，如下图：
若，由，，则，
可得，即为的中点，其坐标为，
此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得.
故答案为：或.
例21．（2023·河南洛阳·高二统考期中）已知，两点到直线l：的距离相等，则 ．
【答案】1或
【解析】由题意得，即，
所以或，
解得或．
故答案为：1或.
考点4：两平行直线的距离
例22．（2023·贵州·高二校联考期中）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ．
【答案】或16
【解析】因为，所以，解得，
则：，可化直线为，
所以与的距离为，解得或
则或．
例23．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）直线平行于直线，则这两条直线的距离等于 ．
【答案】/
【解析】因为直线平行于直线，
所以，得，
所以直线化为，
由，得，
所以两平行线间的距离为，
故答案为：
例24．（2023·黑龙江·高二统考期中）若直线与直线平行，则与之间的距离为 ．
【答案】
【解析】据两直线平行，可得，解得，
所以两直线的方程，，
整理得，
根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离．
故答案为：
例25．（2023·浙江·高二校联考期中）直线与之间的距离相等，则直线的方程是 .
【答案】
【解析】显然直线平行，所以要求的直线也与平行，设直线的方程为，
则由平行线间的距离公式得，解得，
所以直线的方程为.
故答案为：.
例26．（2023·北京朝阳·高二校考期中）到直线的距离等于的直线方程为 .
【答案】或
【解析】设所求直线方程为，
由 ，得或,
所以所求的直线方程为或，
故答案为：或
例27．（2023·高二课时练习）与直线平行且与它的距离为的直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】设所求直线方程为，则，解得或，
故答案为：或
考点5：点线对称
例28．（2023·江苏苏州·高二统考期中）点关于直线的对称点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设对称点的坐标为，
则，
解得，所以对称点的坐标为.
故答案为：
例29．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 .
【答案】
【解析】因为直线与直线交于点A，
所以联立，解得，即.
设点关于直线的对称点坐标为，
则的中点坐标为，，
故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是.
故答案为：.
例30．（2023·四川眉山·高二仁寿一中校考期中）点关于的对称点为
【答案】
【解析】设对称点坐标为，
根据题意可得，解得；
所以对称点坐标为.
故答案为：
例31．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．
【答案】
【解析】由直线方程，则其斜率，
与直线垂直的直线斜率，
设直线过，可得其直线方程，整理可得，
联立可得，解得，交点坐标，
设关于直线对称点坐标，则，解得，
所以关于直线对称点坐标.
故答案为：.
例32．（2023·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 .
【答案】
【解析】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.
故答案为：．
例33．（2023·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）点关于直线的对称点为，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设，则，解得，
所以点的坐标为.
故答案为：
考点6：线点对称
例34．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为不在直线l：上，
所以可设直线l：关于点对称的直线方程为，
则，解得或（舍去），
故所求直线方程为：.
故选：A
例35．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得：，
令，解得：，
所以，设直线关于点的对称直线方程为：，
则到直线与的距离相等，
所以，解得：，即（舍去）或.
故直线关于点的对称直线方程为：.
故选：D.
例36．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即。
故选：B
例37．（2023·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
例38．（2023·高二单元测试）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
例39．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（），
点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去），
所以直线的方程是.
故选：A.
考点7：线线对称
例40．（2023·高三课时练习）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.
故选：A.
例41．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）直线关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】直线的斜率为2，与x轴交于点，
则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点，
所以，所求方程为，即.
故选：D
例42．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，
则，解得，
∵点在直线上，即，
∴，化简得，即为所求直线方程.
故选：B.
例43．（2023·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）与直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上，
故所求直线方程为，即.
故选：A.
例44．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
例45．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】将直线的换为，就可以得出直线关于轴对称的直线方程为：.
故选：C.
考点8：两线段和与差的最值问题
例46．（2023·山东·高二校联考期中）已知点是直线上一点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解析：设关于直线的对称点为，所以，
解得:，所以：，
当三点共线时有最小值：，
所以：的最小值等于.故D项正确.
故选：D.
例47．（2023·河南新乡·高二统考期中）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为
表示直线上一点到两点的距离之和．
设点关于直线的对称点为，所以，解得，
即，所以，
即的最小值为.
故选：C.
例48．（2023·河北·高二校联考期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．108D．117
【答案】A
【解析】∵
∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值．
易知P，Q两点在l的同一侧，
设点P关于l对称的点，
则，解得，∴，
故．
故选：A.
例49．（2023·北京·高二大峪中学校考期中）若，分别为与上任一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离，
直线可变形为
则的最小值为．
故选：C
例50．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为，
故选：D
例51．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由化简得，
所以，
如下图所示：
由图形可知，点A、B在直线的同侧，
且直线的斜率为1，
设点B关于直线的对称点为点，
则，解得，，即点，
由对称性可知，
故选：D
例52．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】就是到原点距离，
到原点距离的最小值为
则的最小值为2，
故选：B.
例53．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】直线可得，
直线可整理为，令，解得，
所以，
因为，所以直线与直线垂直，则，
所以点的轨迹为以为直径的圆，
，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
例54．（2023·浙江温州·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ．
【答案】
【解析】，
可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.
，
所以的最大值为.
故答案为：
例55．（2023·广东广州·高二广东广雅中学校考期中）已知实数满足，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】
表示直线上的点到点与的距离之差，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先求得点的坐标，然后求得点的坐标，进而求得.（1）由题意知：点在直线上，则可设，
则中点为在直线上，可得，
解得：，即，
因为，可设直线方程为：，
代入可得：，解得，即直线方程为：，
联立方程，解得，即，
所以直线的方程为：，即；
（2）当时，直线经过原点，则直线斜率，
所以直线方程为，即；
当时，可设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，即；
综上所述：直线方程为或.
18．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为．
(1)求点的坐标；
(2)求边所在直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）将中点代入直线方程即可求出值，则得到答案；
（2）首先得到，计算出直线的方程，将其与直线方程联立即可求出的坐标，则得到的方程.
【详解】
（1）设，由题意知，的中点在直线上，
则有，点坐标为.
（2）由题意知关于的对称点在直线上，
则有边所在直线方程为，即.
联立方程有，解得，
又，则，则所在直线方程为，
即所在直线方程为.
19．（2023·江苏苏州·高二统考期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】
（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点；
（2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值.
【详解】
（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，，
所以点的坐标为．
（2）依题意可设直线的方程为（，），则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．
20．（2023·北京大兴·高二统考期中）已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数
(1)若，且为线段中点，求实数的值及的面积；
(2)是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，面积为
(2)存在；
【分析】
（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得，得到，进而得到结论.
【详解】
（1）因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为，
因为直线与分别交于点，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即，
因为 ，所以
若时，，，
又因为点为线段中点，所以解得，
所以，，所以，的面积．
（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，
由（1）知：， 且
因此，，
所以
因为 ，所以当时，为定值，
所以存在实数，使得的值与无关．