清单05 圆中的范围与最值问题-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
【考点精讲】
考点1：斜率型
例1．（2023·河南驻马店·高二校考阶段练习）若实数x、y满足条件，则的范围是 .
例2．（2023·北京西城·高二统考期中）是上的点，则的范围是 ．
例3．（2023·江苏无锡·高二统考期中）已知点在圆上运动，则范围是 ．
例4．（2023·四川成都·高二校联考阶段练习）已知点在曲线上运动，则的最大值为 ．
例5．（2023·贵州·校联考模拟预测）若点在曲线：上运动，则的最大值为 .
考点2：直线型
例6．（2023·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知三点，，，的外接圆记为圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若点在圆上运动，求的最大值.
例7．（2023·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．3B．2C．D．
例8．（2023·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）点在圆上，则的范围是_______．
例9．（2023·四川·广安二中高二阶段练习）若满足关系式，则的最大值为_________；
例10．（2023·广东广州·高二广州市第十六中学校考期中）已知，满足，则的范围是 ．
考点3：距离型
例11．（2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第一中学校校联考期中）已知实数满足方程，则的最大值（ ）
A．2B．4C．D．1
例13．（2023·山西大同·高二统考期中）已知满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点4：周长面积型
例14．（2023·江苏镇江·高二统考期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的最大值是（ ）
A．6B．8C．D．
例15．（2023·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ）
A．12B．C．D．6
例16．（2023·河南开封·高二统考期中）已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（ ）
A．3B．9C．D．
例17．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知，为圆：的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4B．5C．8D．10
例19．（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（ ）
A．B．C．D．
考点5：长度型
例21．（2023·河北唐山·高二唐山市第二中学校联考期中）设直线l：与圆C：交于两点，则 的取值范围是 ．
例22．（2023·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为 ．
例23．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）在定圆内过点作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则 的范围是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
例25．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期中）已知点，，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．4
考点6：坐标型
例27．（2023·四川省德阳中学校高二开学考试）已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（ ）
A．B．1C．3D．4
例28．（2023·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
例29．（2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．4
考点7：阿氏圆距离最值型
例30．（2023·湖南益阳·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例31．（2023·福建福州·高二校联考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 .
例32．（2023·河北沧州·校考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点与两定点的距离之比为(，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点为圆上的动点，，则的最小值为 .
例33．（2023·福建福州·高二福建省福州第八中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 .
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·湖北·高二郧阳中学校联考期中）若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·高二校联考阶段练习）已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知圆上存在四个点到直线的距离等于2，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）对于圆上任意一点，的值与，无关，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
8．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线与圆的位置关系与有关
B．直线截圆所得弦长最短时，直线的方程是
C．圆心到直线距离的最大值为2
D．直线截圆所得弦长范围是
9．（2023·四川成都·高二树德中学校考期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
10．（2023·山东·高二校考期中）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的范围是
11．（2023·广西河池·高二统考期末）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．直线的斜率范围为
D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
12．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知、满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
13．（2023·河北·高二校联考期中）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（ ）
A．曲线与轴和轴共有4个公共点B．曲线总长度为
C．点、在曲线上，则的最大值为D．曲线与坐标轴围成的图形面积为
14．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）已知圆：与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则说法正确的是（ ）
A．直线的方程为B．线段的长为
C．的最小值是2D．从点向圆引切线，切线长的最小值是．
15．（2023·吉林松原·高二前郭尔罗斯县第五中学校考期中）已知圆与直线，点P，Q分别在直线l和圆C上运动，则（ ）
A．的最小值为
B．过点的直线被圆C截得的弦长的最小值为
C．过P作圆C的切线PA，A为切点，的最小值为
D．存在点P使得过P所作圆C的两条切线互相垂直
三、填空题
16．（2023·四川资阳·高二四川省乐至中学校考期中）若实数满足，则的最大值为 ．
17．（2023·湖南常德·高二校考期中）著名数学家阿波罗证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点轨迹是圆，后世将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，求三角形PAB面积的最大值 ．
四、解答题
18．（2023·河北保定·高二校联考期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切.
(1)求的“欧拉线”方程；
(2)若圆M与圆有公共点，求a的范围；
(3)若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
19．（2023·山东烟台·高二校联考期中）已知，，P点满足．
(1)求点P的轨迹的方程，并说明是何图形；
(2)设T为直线上一点，直线TO，TA分别与相交于点B，C，求四边形面积S的最大值．
20．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知圆，线段的一个端点在圆上运动，另一端点．
(1)若线段的中点为，求点的轨迹方程，并指出点的轨迹是什么图形；
(2)设（1）中点的轨迹为图形，由图形外一点向该图形引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值．
21．（2023·广东江门·高二校考期中）已知方程，
(1)若此方程表示圆，求的取值范围；
(2)若的值为（1）中能取到的最大正整数，从而得到以为圆心的圆，已知动点为直线上的动点，由作圆的切线，切点为，试求的面积的最小值．
22．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）已知圆：．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点是，若（是原点），求的最小值及对应的点坐标．