清单06 椭圆及其性质-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

这是一份清单06 椭圆及其性质-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版），文件包含清单06椭圆及其性质9个考点梳理+题型解读+提升训练原卷版docx、清单06椭圆及其性质9个考点梳理+题型解读+提升训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。

【考点分布图】
【知识清单】
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
【考点精讲】
考点1：椭圆的定义与标准方程
例1．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）点在椭圆上，则等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
例3．（2023·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点．
(2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程．
例4．（2023·河南开封·高二校联考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.
（2）以点，为焦点，经过点.
例5．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．圆D．椭圆
例6．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
考点2：椭圆方程的充要条件
例7．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）当时，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆B．直线
C．焦点在轴的椭圆D．焦点在轴的双曲线
例8．（2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期末）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（ ）
A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是
B．当时，曲线表示一条直线
C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
D．存在，使得曲线为等轴双曲线
例9．（2023·陕西咸阳·高二校考期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·浙江绍兴·高二浙江省上虞中学校考期中）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例12．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例13．（2023·湖北·高二荆州中学校联考期中）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．4
例14．（2023·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
例16．（2023·山西吕梁·高二统考期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．16B．20C．18D．14
例18．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为 ）
A．4B．C．8D．
考点4：椭圆上两点距离的最值问题
例19．（2023·福建福州·高二福州三中校考期中）已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为－1的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
例20．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期中）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4B．8C．14D．18
例21．（2023·安徽·高二校联考期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．1B．5C．7D．
例22．（2023·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·河南开封·高二校联考期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
考点5：椭圆上两线段的和差最值问题
例24．（2023·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知F是椭圆E：的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；上的一点，则的最小值为 ．
例25．（2023·辽宁大连·高二大连二十四中校考期中）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为 .
例26．（2023·江西九江·高二九江一中校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则 的最大值为 .
例27．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
例28．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 .
例29．（2023·上海闵行·高二校考期末）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 ．
例30．（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为 .
考点6：离心率的值及取值范围
例31．（2023·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点满足，且，则椭圆的离心率为 .
例32．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
例33．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率 .
例34．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 .
例35．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 .
例36．（2023·全国·模拟预测）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ．
例37．（2023·湖南·高二校联考期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为 .
考点7：椭圆的简单几何性质问题
例38．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知椭圆：，在下列结论中正确的是（ ）
A．长轴长为8B．焦距为
C．焦点坐标为D．离心率为
例39．（多选题）（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知椭圆，则（ ）
A．的焦点坐标为B．的长轴长为8
C．的短轴长为6D．的一个顶点为
例40．（多选题）（2023·浙江金华·高二校考期中）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（ ）
A．B．离心率
C．短轴长为2，长轴长为D．不可能是钝角
例41．（多选题）（2023·陕西汉中·高二校考期中）若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．的长轴长为
C．的长轴长为4D．的离心率为
例42．（多选题）（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）近日，“英雄航天员”邓清明来到我校参加弘扬载人航天精神暨国防教育进校园主题活动，同学们在学习航天知识的同时，也深深被航天员的航天精神所感动.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
例43．（多选题）（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，点，是它的焦点，若一小球点弹出沿直线运动，经椭圆壁反弹，当它第一次回到点时，经过的路程可能为（ ）
A．2B．8C．10D．12
例44．（多选题）（2023·高二课时练习）在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
考点8：利用第一定义求解轨迹
例45．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
例46．（2023·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是 .
例47．（2023·内蒙古赤峰·高二校考期中）设，若，则点的轨迹方程为 .
例48．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为 ．
例49．（2023·广东东莞·高二校联考期中）在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是
例50．（2023·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ．
例51．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为 ；
例52．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ；
例53．（2023·四川乐山·高二统考期末）设点，，为动点（不在轴上），已知直线与直线的斜率之积为定值，则点的轨迹方程为 .
例54．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知圆C：上一动点M，点，线段MB的中垂线交直线MC于点，且点P到y轴的距离是，则 .
考点9：直线与椭圆的位置关系
例55．（2023·天津和平·高二天津市第五十五中学校考期中）已知椭圆：过点，且短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求
例56．（2023·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
例57．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
例58．（2023·陕西西安·统考三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
例59．（2023·青海西宁·高二校考期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．
例60．（2023·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
例61．（2023·浙江嘉兴·高二嘉兴一中校考期中）已知椭圆经过．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知矩形的四个顶点都在椭圆 上，边和分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津和平·高二耀华中学校考期中）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A．B．C．D．与弦斜率有关
5．（2023·天津和平·高二耀华中学校考期中）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（ ）
①直线与垂直
②若点的坐标为，则直线方程为
③若直线方程为，则点的坐标为
④若直线方程为，则
A．4B．3C．2D．1
6．（2023·云南大理·统考一模）直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津和平·高二耀华中学校考期中）椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·福建福州·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为B．的面积可能为2
C．的最大值为4D．的最小值为
10．（2023·福建泉州·高二泉州七中校考期中）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点P是椭圆上异于的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得
B．直线与直线斜率乘积为定值
C．
D．若，，则
11．（2023·浙江台州·高二校联考期中）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为锐角三角形
D．当时，的面积为
12．（2023·山东临沂·高二统考期中）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．直线为成双直线
C．若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为
三、填空题
13．（2023·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为9，则椭圆C长轴长的最小值为 .
14．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是 ．
15．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
16．（2023·湖北·高二校联考期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题
17．（2023·山东菏泽·高一统考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值．
18．（2023·天津红桥·高二天津三中校考期中）已知椭圆的长轴长为，焦点是、，点到直线的距离为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求线段的长．
19．（2023·河北·高二校联考期中）已知椭圆：的右焦点为，离心率为．
(1)求的方程．
(2)若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且．证明：直线过定点．
20．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期中）已知椭圆的方程椭圆左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，
(1)若，求的面积；
(2)在椭圆上找一点P，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离.
21．（2023·黑龙江佳木斯·高二校联考期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程.
22．（2023·江西宜春·高二校考期中）已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为上一点，且，求的面积.
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
切线方程
（为切点）
（为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）