清单08 抛物线及其性质-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
【方法技巧与总结】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
【考点精讲】
考点一：抛物线的定义与方程
例1．（2023·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
例2．（2023·黑龙江·高二统考期中）若抛物线上的点到直线的距离等于，则点到焦点的距离（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期中）若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（ ）
A．B．C．2D．
例4．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
例5．（2023·吉林辽源·高二校考期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程:
（1）过点;
（2）焦点在直线上.
例6．（2023·上海静安·高二上海市民立中学校考期中）根据下列条件分别写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）焦点到准线的距离为，焦点在轴的正半轴上.
例7．（2023·河南商丘·高二校联考期末）根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.
考点二：抛物线的轨迹方程
例8．（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
例9．（2023·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
例10．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ．
例11．（2023·江苏·高二假期作业）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是 ．
例12．（2023·高二课时练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ．
例13．（2023·天津·高二统考期末）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的差是4，则点M的轨迹方程为 .
例14．（2023·河北唐山·高二唐山一中校考期中）若动点与定点的距离和动点与直线的距离相等，则动点的轨迹方程是 ．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是 .
考点三：与抛物线有关的距离和最值问题
例16．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．8
例17．（2023·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
例18．（2023·河南焦作·高二统考期末）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
例19．（2023·广东深圳·高二统考期末）设点M为抛物线上的动点，点M在y轴上的投影为点N，点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
例20．（2023·陕西商洛·统考一模）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
例21．（2023·云南楚雄·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．11D．26
例22．（2023·江苏南京·高二南京市宁海中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例24．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10B．16C．11D．26
例25．（2023·四川凉山·高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
例26．（2023·青海西宁·统考二模）已知点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,为坐标原点,则的最大值为( )
A．B．C．D．
考点四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
例27．（2023·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（ ）
A．4B．C．5D．
例28．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，若的面积是，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
例29．（2023·贵州贵阳·高三校联考开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A．B．1C．2D．4
例30．（2023·高二课时练习）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
例31．（2023·北京·高二校考期末）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例32．（2023·浙江·高考真题）如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是
A．B．C．D．
例33．（2023·山东淄博·统考二模）已知抛物线的焦点是F，点M是其准线l上一点，线段交抛物线C于点N.当时，的面积是
例34．（2023·山东临沂·高二校联考期末）已知抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点A，B在准线上的投影分别为，且，则的面积与的面积比值为 ．
例35．（2023·重庆·高三阶段练习）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 ．
例36．（2023·江苏扬州·高三开学考试）抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．
考点五：焦半径问题
例37．（2023·吉林四平·高二统考期中）已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A．B．C．D．
例38．（2023·陕西·高二校联考期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，则的值为（ ）
A．B．C．6D．7
例39．（2023·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）已知抛物线：的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．12B．14C．15D．16
例41．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例42．（2023·福建福州·高二校联考期末）曲线上存在两点A，B到直线距离等于到的距离，则（ ）
A．12B．13C．14D．15
例43．（2023·河南信阳·高二统考期末）如图，过抛物线的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则（ ）
A．B．C．18D．25
例44．（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，则的最小值是（ ）
A．32B．36C．42D．46
例45．（2023·山东·高二校联考期中）已知某抛物线的焦点为，抛物线上一点在的正上方，过点的直线与抛物线交于另一点，满足，则钝角（ ）
A．B．C．D．
例46．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知点为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
例47．（2023·安徽·高二合肥一中校联考期末）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
例48．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
考点六：抛物线的性质
例49．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴
例50．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．准线方程为D．准线方程为
例51．（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（ ）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为
例52．（多选题）（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为B．
C．D．
例53．（多选题）（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为B．的最小值为4
C．对任意的直线，D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
例54．（多选题）（2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
考点七：直线与抛物线的位置关系
例55．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知抛物线与双曲线有相同的焦点.
(1)求的方程，并求其准线的方程；
(2)过且斜率存在的直线与交于不同的两点，求与的值.
例56．（2023·四川自贡·高二统考期末）已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求该抛物线准线方程及．
例57．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
例58．（2023·山西太原·高二统考期末）已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点.
(1)若直线的斜率为1，求；
(2)若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程.
例59．（2023·贵州贵阳·高二统考期末）设直线与抛物线相交于两点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)求面积的最小值.
例60．（2023·广西玉林·高二校考期末）已知抛物线C：的焦点为F，且抛物线C与直线的一个交点是．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求n．
例61．（2023·安徽·高二统考开学考试）已知直线与抛物线.
(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程.
【提升练习】
1．（2023·江西赣州·高二校联考期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面
下降0.9m时，水面的宽度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
2．（2023·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考期中）已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2023·河北·高二校联考期中）设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．27
4．（2023·江苏连云港·高二统考期中）抛物线的焦点到圆C：上点的距离的最小值为（ ）
A．0B．4C．5D．6
5．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知抛物线E：和圆F：，焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则与的乘积为（ ）
A．1B．2C．3D．
6．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）若抛物线的焦点为，直线：与抛物线交于A，B两点，且，则（ ）
A．4B．C．2D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（ ）
A．4B．6C．8D．16
8．（2023·浙江·高二路桥中学校考期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），点为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）已知抛物线的准线与x轴交于点D，O为坐标原点，点A，B是抛物线C上异于点O的两个动点，线段AB与x轴交于点T，则（ ）
A．若T为抛物线C的焦点，则线段AB的长度的最小值为4
B．若T为抛物线C的焦点，则为定值
C．若△AOT与△BOT的面积之积为定值，则T为抛物线C的焦点
D．若直线DA和直线DB都与抛物线C相切，则T为抛物线C的焦点
10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为4
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．存在直线，使得两点关于对称
11．（多选题）（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
12．（多选题）（2023·浙江宁波·高二校联考期中）如图，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．以弦为直径的圆与准线相切D．，，三点共线
13．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为 .
14．（2023·宁夏银川·高二银川二中校考期中）已知抛物线上一点为焦点.直线交抛物线的准线于点，满足.则 .
15．（2023·江苏常州·高二校联考期中）已知O为坐标原点，，Q为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．（2023·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 .
17．（2023·江西·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点.
(1)若，求直线的方程；
(2)证明：直线平行于轴.
18．（2023·浙江台州·高二台州一中校考期中）已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)取上一点，任作弦，满足,则直线AB是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.
19．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求．
20．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程．
21．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求证：；
(2)当时，求的值．
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径