清单10 等差数列、等比数列基本量-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【知识导图】
【考点分布图】
【知识清单】
1、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列．
⑵等差中项：若三数成等差数列
⑶通项公式：
或
⑷前项和公式：
⑸常用性质：
①若，则；
②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；
③数列（为常数）仍为等差数列；
④若、是等差数列，则、 （、是非零常数）、、，…也成等差数列．
⑤单调性：的公差为，则：
ⅰ）为递增数列；
ⅱ）为递减数列；
ⅲ）为常数列；
⑥数列{}为等差数列（p，q是常数）
⑦若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列．
2、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）．反之不一定成立．
⑶通项公式：
⑷前项和公式：
⑸常用性质
①若，则；
②为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）
③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；
④若是等比数列，则
是等比数列，公比依次是
⑤单调性：
为递增数列；为递减数列；
为常数列；
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列．
⑦若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列．
【考点精讲】
考点1：等差数列及其性质
1．（2023·重庆·高三统考期中）记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
2．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）数列，满足：，，，则数列的最大项是第（ ）项．
A．6B．7C．8D．9
3．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知是等差数列的前n项和，且，则的公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·甘肃临夏·高二校联考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．27B．45C．81D．18
5．（2023·福建三明·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
6．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列中，，则公差（ ）
A．4B．3C．D．
7．（2023·江苏盐城·高二校考期中）已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（ ）
A．12B．18C．6D．9
9．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
考点2：等比数列及其性质
10．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知数列满足，若， 则（ ）
A．2B．3C．4D．8
11．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）在等比数列中，，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
13．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．2D．4
14．（2023·河南·高二河南大学附属中学校考期中）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（ ）
A．192B．190C．180D．182
15．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等比数列中，若，则（ ）
A．B．3C．±3D．
16．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2B．C．4D．
考点3：等差等比数列的证明
30．（2023·云南昆明·高二云南民族大学附属中学校考期中）数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.
31．（2023·江苏盐城·高二校考期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若成立，求的最小值.
32．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知非零数列满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知数列满足且．
(1)若为等差数列，求其前项和；
(2)若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．
34．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知满足，且.
(1)求；
(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.
35．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列，并求.
36．（2023·北京海淀·高三统考期中）已知无穷等比数列的各项均为整数，其前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)证明：对这三个数成等差数列．
37．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)数列满足，求数列的前项和.
38．（2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）在数列中，，，设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
考点4：等差等比数列的交汇问题
39．（2023·浙江杭州·高二校联考期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证数列的前n项和．
40．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.
41．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列．
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和．
42．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
43．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得．
(1)若，，求的值；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
44．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求．
45．（2023·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求的前项和.
46．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值.
考点5：范围与最值问题
18．（2023·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·重庆·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ．
20．（2023·北京东城·高二东直门中学校考期中）已知等差数列满足，是数列的前n项和，则的最大值为 ．
21．（2023·安徽合肥·高二统考期末）记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为 ．
22．（2023·高二校考课时练习）已知等差数列的前n项和为，，，则取得最大值时n的值为 .
23．（2023·北京西城·高二统考期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：
①可能为等差数列；
②中最大的项为；
③不存在最大值；
④的最小值为36．
其中所有正确结论的序号是 ．
24．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 .
25．（2023·浙江绍兴·高二统考竞赛）已知各项均为整数的等差数列，若，，，则 的最小值是 ．
26．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 .
27．（2023·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为 .
28．（2023·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 .
29．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时， ．
47．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列中，.
(1)求数列的通项；
(2)若存在，使得成立，求实数的范围.
48．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求对所有的正整数都有成立的的范围．
49．（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知数列的前项和为，数列满足1点在直线上.
(1)求数列的通项和；
(2)令，求数列的前项和；
(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围.
50．（2023·浙江·高二校联考期中）已知数列、满足，，，﹒
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（ ）
A．33B．34C．36D．37
3．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
4．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
5．（2023·上海闵行·高二校考期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递增数列B．
C．是数列中的最大项D．
8．（2023·江西·高三开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·江苏苏州·高二统考期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B．数列的通项为，若为单调递增数列，则
C．等比数列中，，是方程的两根，则
D．等差数列，的前项和分别为，，若，则
10．（2023·江苏南通·高二海安高级中学校考期中）已知数列的前n项和为，则以下命题正确的有（ ）．
A．若数列为等差数列，则为等比数列
B．若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列
C．若数列为等比数列，则恒成立
D．若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到
11．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）设数列满足：，，则下列说法中，正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等差数列
C．D．当时，
12．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值
D．时，n的最大值为33
三、填空题
13．（2023·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 .
14．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第 项．
15．（2023·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 .
16．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则 ．
四、解答题
17．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
18．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
19．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等差数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．
20．（2023·河南·高二河南大学附属中学校考期中）设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若＝，数列的前n项和为，求证：.