清单11 数列的通项公式 -2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
类型Ⅰ观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【考点精讲】
考点1：观察法
例1．（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）数列 的一个通项公式为 .
【答案】
【解析】可化为，
所以分子部分为，
分母部分为，
奇数项为正，偶数项为负，则，
则.
故答案为：
例2．（2023·北京房山·高二统考期末）已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，，
所以前4 项都满足的一个通项公式为.
故答案为：
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为 .
【答案】
【解析】因为2，6，12，20，30分别可分解为，
所以的第n项的分子可表示为；
因为3，5，3，5，3分别减4得，
所以数列的第n项的分母可表示为，
故数列的一个通项公式为.
故答案为：.
考点2：叠加法
例4．（2023·浙江杭州·高二校联考期中）已知数列满足，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
当时，
，
当时，上式也成立，
所以.
故答案为：.
例5．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】因为数列满足，
所以，，…，，
当时，；
当时，，满足上式．
综上所述，．
故答案为：．
例6．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．

【答案】/
【解析】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.
故答案为：
考点3：叠乘法
例7．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知，则数列的通项公式是 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以，
所以，，，……，（），
所以，
所以，因为，所以，
因为也满足上式，
所以，
故答案为：
例8．（2023·北京·高二北京市第二十五中学校考期中）数列中，若，，则 .
【答案】
【解析】由题意，，可得，所以，
所以.
故答案为：.
例9．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，．
故答案为：
考点4：待定系数法
例10．（2023·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，而，
故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
故选：D
例11．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，而，
因此数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即，
所以.
故选：C
例12．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列满足:.
(1)证明:是等比数列;
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由得,
,
又,
故是以为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）知,,
则,
故
.
例13．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）已知数列满足，，
(1)求通项公式；
(2)令，求数列前项的和.
【解析】（1）在数列中，，则，而，
因此是以4为首项，2为公比的等比数列，，
所以.
（2）由（1）知，，
，
则有，
则
，
所以.
考点5：同除以指数
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：设，则，
与比较可得，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故选：D
例15．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】解法一：因为，
设，
所以，
则，解得，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：因为，两边同时除以得，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，所以.
例16．（2023·江西·高二校联考期中）已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
【解析】（1）依题意，又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
.
（2）（i）由（1）知.设的前项和为，则.
显然数列分组后第组有项，前面组共有项，
当时，，
当时，，满足上式，
数列的通项公式为.
（ii），
当时，.
当时，.
当时，
，
故.
考点6：取倒数法
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：求通项.
【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
例18．（2023·甘肃庆阳·高二校考期中）已知数列满足，.
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数.
【解析】（1）由已知，
得，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以当时，，此时，
即是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，所以，
所以，
因为，
则，
即，
解得，
所以的最大值为.
例19．（2023·福建漳州·高二校考期中）设数列的各项都为正数，且．
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）由数列的各项都为正数，且，
得，即，
所以数列是以为公差的等差数列；
（2），由（1）得，
所以，则，
所以.
例20．（2023·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，，
所以，
取倒得，
所以，
因为，
所以，
所以是，的等比数列，
所以．
（2）假设存在，则，，
由（1）得，
所以，
化简得，
因为，当且仅当时等号成立，
又，，互不相等，
所以，即不存在符合条件的，，.
考点7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例21．（2023·湖南常德·二模）已知数列的前项和为，且满足
(1)的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）因为①，
当时，则，
当时②，
①②得，即，
则，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.
（2）因为，所以，
所以③，
④，
③④得
，
所以.
例22．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）当时，，
即，又，所以．
当时，，
又，两式相减可得，
即，化简得，
又，所以，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列．
所以，
即数列的通项公式为
（2）证明：因为，所以，
所以，
所以
．
因为，
所以．
例23．（2023·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）由，，则，
有，则，
所以，又，显然也满足，
故是首项为1，公比为的等比数列，则
所以，则，
所以，故.
（2）由，则，
所以，则，
所以，则.
例24．（2023·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列的首项，其前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）已知，
当时，，即，由，解得.
当时，，
则相减得.
当时，也成立.
所以对于都有成立.
上式化为，所以是等比数列，首项为4，公比为3，
则，即.
（2）因为，
则，
两式相减得，
，
所以.
考点8：周期数列
例25．（2023·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）数列满足：，则的值为 .
【答案】
【解析】∵，，
∴当时，，
当时，，
依此类推，，
∴数列为周期数列，周期，
∴.
故答案为：.
例26．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）若数列满足，则 .
【答案】
【解析】由数列满足，
可得，，
所以是周期为4的数列，则.
故答案为：.
例27．（2023·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知数列中，，则 ．
【答案】
【解析】因为，则，
两式相加得，则，
所以数列的周期为6，
所以.
故答案为：.
例28．（2023·上海静安·高二校考阶段练习）已知数列满足若，则 .
【答案】
【解析】因为，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
因为，
所以．
故答案为：.
例29．（2023·甘肃临夏·高二临夏中学校考期中）已知数列的前n项和为.
(1)求，；
(2)求这个数列的通项公式.
【解析】（1）因为数列的前n项和为，
所以，则；
（2）当时，，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式.
例30．（2023·福建福州·高二校联考期中）已知数列的前项和为且
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求正整数的值．
【解析】（1），
，
，
又满足，
是公差为2的等差数列，
（2）由（1）得：，又，
，解得：.
考点9：前n项积型
例31．（2023·山东威海·高二统考期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
【解析】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
例32．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知数列各项均不为，且，为数列的前项的积，为数列的前项的和，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求的通项公式.
【解析】（1）为数列的前项的和，当时，，又，
则有，依题意，，因此，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，即，
当时，，而不满足上式，
因为为数列的前项的积，则当时，，
而，均不满足上式，
所以的通项公式是，.
例33．（2023·河北邢台·高三校联考开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
（2）
记前n项和为
①
②
①－②得
∴，
考点10：因式分解型求通项
例34．（2023•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又数列为正项数列，
，
①当时，数列不是等比数列；
②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
例35．（2023•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
【解析】解：（1），，，
可得，
则，
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
例36．（2023•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
【解析】证明：由，
变形得：，
由于为正项数列，，
利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
从而．
【提升练习】
1．（2023·福建泉州·高二统考期末）数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为数列满足，则，而，
因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，
又∀，因此对恒成立，即，
而数列是递增数列，则当时，，有，
所以实数的取值范围是.
故选：B
2．（2023·高二课时练习）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)

【答案】/
【解析】由图，第1个图中有6个化学键；
第2个图中有11个化学键；
第3个图中有16个化学键，
观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键，
则第个图有个化学键.
故答案为：
3．（2023·高二课时练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为 .

【答案】55
【解析】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列，
，，，，，…，
由此得，即，
则，
∴堆垛第10层球的个数为55.
故答案为：55.
4．（2023·北京·高二北京八中校考期中）若数列满足，则通项公式为 .
【答案】
【解析】因为，
所以当时，
，
当时，，满足，所以，
故答案为：.
5．（2023·河北沧州·高二校联考阶段练习）设等差数列满足，，且，，则 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则，解得：，
，则，
当时，，
又满足，，
.
故答案为：.
6．（2023·河北保定·高二统考期末）数列中，若，，则 ．
【答案】
【解析】由可得，
所以,
所以，
因为，所以，所以，
故答案为:.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】
，
也符合上式，
所以.
故答案为：
8．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）在数列中，，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，，，所以，
则，，则，，则，，则，
由此可得数列的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，，，
整个数列各项为：，
四个一组，以4为周期，
则
所以．
故答案为：
9．（2023·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）已知数列满足，，则 .
【答案】/
【解析】因为，可得，
可知，且，
所以.
故答案为：.
10．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知数列满足，若，则 ．
【答案】/0.5
【解析】数列满足，，
∴，，，
∴是以3为周期的数列，
∵，∴.
故答案为：.
11．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【解析】（1）由，解得.
因为，
所以.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
所以.
（2）由（1）得，所以，
所以，
所以.
12．（2023·北京海淀·高二人大附中期末）求下列数列的通项公式.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
【解析】（1）因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以；
（2）因为，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以；
（3）由，
当时，，
当时，，
当时，上式不成立，
所以
（4）因为，
所以，
则当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（5）因为，所以，
则当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（6）因为，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以；
（7）由，得，
当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以；
（8）由，
当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列数列从第二项起是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
当时，上式不成立，
所以.
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【解析】为等差数列，
首项，公差为，
.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的通项公式．
【解析】，，则，
则，
，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
于是，．
15．（2023·河南南阳·高二校联考期中）在数列中，，．
(1)求的通项公式．
(2)设，若是递增数列，求t的取值范围．
【解析】（1）因为，，
所以，显然（否则与矛盾），则．
因为，所以，
所以是以1为首项，4为公比的等比数列．
所以，即，
故的通项公式为.
（2）由（1）可得，则，
故．
因为是递增数列，
所以，即．
当n为奇数时，，即，故，
由于单调递减，
当时，，所以；
当n为偶数时，，即，故，
由于单调递增，
当时，，所以．
综上，t的取值范围为．
16．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列前n项和为．
(1)试写出数列的前5项；
(2)数列是等差数列吗？
(3)你能写出数列的通项公式吗？
【解析】（1）由得，，，
，，
所以.
（2）由（1）知，所以数列不是等差数列.
（3）当时，；
当时，；
综上.
17．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{}满足：．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列{}的最大项．
【解析】（1）因为，①
所以时，，②
①②得：
，所以，
又，不符合上式，故
（2）因为时，，
所以，
设为数列得最大项，
则
，又
故，又，
故数列{}的最大项为
18．（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列的各项均不为零，为其前项和，且．
(1)证明：．
(2)若，数列为等比数列，，求数列的前2023项和．
【解析】（1）因为①，则②，
②-①得，又，
所以．
（2）由，得，所以．
由，得的公比，
所以．
由，得，
由，得，
因此
．
由，得，
则．
19．（2023·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）因为，
所以当时，，
两式相减，得到，
整理得，
又因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列．
当时，，解得或，
因为，所以，
由（1）可知，即公差，
所以；
（2），
所以．
20．（2023·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）设数列的前n项和为，若
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）因为，
当时，，
，
，
，则，又，
所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故.
（2）由（1）得，
，
单调递增，，又，故，
综上.
21．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且
(1)证明：数列为等差数列
(2)求的通项公式
【解析】（1）数列的前n项和，，又，显然，因此，
所以数列为等差数列，首项，公差为2.
（2）由（1）知，，则
当时，，显然不满足上式，
所以的通项公式是.
22．（2023·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）为数列的前项和，为数列的前项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
【解析】（1）当时，，即，解得.
当时，，所以，所以，
即是以，公差为2的等差数列.
（2）因为的通项公式为，
所以当时，
当时，
又因为，
所以数列的通项公式为：.
23．（2023·江苏·高三统考阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【解析】（1）证明：，.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得，.
时，；
时，.
而，，，均不满足上式.
（）.