清单13 导数的基本问题：切线、单调、极值与最值-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【知识导图】
【考点分布图】
【知识清单】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、单调性基础问题
（1）函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
（2）已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
4、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
5、含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
6、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
7、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【考点精讲】
考点1：切线的综合问题
例1．（2023·甘肃武威·高二校联考期中）已知曲线在点处的切线为，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】，所以，又曲线在点处的切线为，所以.
故选：D.
例2．（2023·高二单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，.
故选：D．
例3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得．
故选：D．
例4．（2023·广东阳江·高二校考期中）曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，
∴曲线在点处的切线方程为，
取，可得．
∴曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为-1．
故选：C．
例5．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（ ）
A．0或1B．1或C．0或D．或
【答案】B
【解析】由函数，可得，
则且，
所以曲线在处的切线方程为，
取，可得；取，可得，
因为在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，可得，
解得或.
故选：B.
例6．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设切点为，由题意得，所以，
整理得，此方程有两个不等的实根．
令函数，则．
当时，，所以在上单调递增;
当时，，所以在上单调递减,且．
，方程有两个不等的实根,故．
故选：D.
例7．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
例8．（2023·四川资阳·高二统考期末）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
设切点为，则，切线斜率,
切线方程为，
∵切线过原点，∴，
整理得：,
∵切线有两条，∴，解得或，
∴的取值范围是,
故选：D
例9．（2023·北京·高二校考期中）函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】函数，有，
则，所以函数的图象在点的切线方程为，
又函数，有，
则，所以函数的图象在点的切线方程为，
因为函数与函数的图象在点的切线相同，
所以，即，
故选：.
例10．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
例11．（2023·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【解析】（1）由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
例12．（2023·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知曲线．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值．
【解析】（1）因为，又，，
故曲线在处的切线方程：，
即.
（2）因为，
则曲线在处的切线方程为：，
又直线与曲线相切，
联立方程消得：，
由题意有，即，
解得：.
考点2：含参数单调区间与不含参数单调区间
例13．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】易知的定义域为，
则，令，解得；
即可知函数在区间上是单调递减的，
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：
例14．（2023·高二课时练习）讨论函数的单调性．
【解析】的定义域为，；
①当时，在上恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
例15．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）由已知，则，
当时，，，
则曲线在处的切线方程为，即
（2）由（1）知，，
①当时，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
②当时，由，得，
（ⅰ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
（ⅱ）当时，，，在单调递增；
（ⅲ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，在，单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增；
④当时，在，单调递增，在单调递减.
例16．（2023·全国·高二专题练习）讨论函数 的单调性；
【解析】由已知得，
则①当时， ， 所以在单调递增；
②当时，， 所以在单调递减；
③当时， 则，
当时，，当时，，
所以 在 上单调递减， 在上单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时， 在 上单调递减， 在上单调递增.
例17．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．求函数的单调区间；
【解析】依题意，的定义域为R，
求导得，令，得或，
若，，，递增；
，，递减；，，递增，
若，则，在R上单调递增，
若，，，递增；
，，递减；，，递增，
综上，当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
例18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．
【解析】由题意知，定义域为，；
令，则.
①当，即时，（当且仅当，时取等号），
在上单调递减；
②当，即时，令，解得，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
例19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中，．求函数的单调区间；
【解析】；
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
例20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间．
【解析】由题意知：定义域为，；
①当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
例21．（2023·北京·高二汇文中学校考期末）函数在上的单调递增区间是 .
【答案】
【解析】，令得：，
.
，函数的单调递增区间为.
故答案为：
例22．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）函数的单调递减区间为 .
【答案】/
【解析】函数的定义域为，
，
由得，由得，
所以在区间上单调递减．
故答案为：
考点3：已知单调性求参数
例23．（2023·广西玉林·统考二模）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意得对恒成立，
即对恒成立．
因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，
所以，解得．
故选：B.
例24．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】D
【解析】由，所以，
单调递减区间是，的解集为，
即的解集为，
，，经检验符合题意.
故选：D.
例25．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
由题意可知：存在，使得，整理得，
且在上单调递减，则，可得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
例26．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在区间上是单调减函数，则在区间上恒成立，所以，
故选：B．
例27．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数定义域为，且，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递减，
且当时，所以，即实数的取值范围是.
故选：D
例28．（多选题）（2023·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，
故选：BD
考点4：极值问题
例29．（2023·河南郑州·高二校考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】函数，定义域为，
若函数有两个不同的极值点，
则有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
例30．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知是函数的极大值点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，可得，
①若时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时时，函数取得极小值，不符合题意；
②若时，令，可得，此时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时时，函数取得极小值，不符合题意；
③若时，令，单调递增，没有极值点，不符合题意；
④若时，令，可得，此时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时时，函数取得极大值，符合题意，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
例31．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）在等比数列中，，是函数的极值点，则 ．
【答案】-3
【解析】由函数
则其导数
由，是函数的极值点，
则，是函数的零点，
即，是方程的两个解，
故，，
在等比数列中，，且，同号，
故有，且
故答案为：-3.
例32．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）若在内存在极值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】在内存在极值，则在内有变号零点，
，，与同号，
则有，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：
例33．（2023·重庆巫溪·高二校考期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)求函数的极值．
【解析】（1）．
因为曲线在点处的切线与x轴平行，
所以，即，
所以 ．
（2）．
令，则或．
①当，即时，，
所以函数在上为增函数，函数无极值点；
②当，即时．
所以当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是；
③当，即时．
所以当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是．
综上所述，当时，函数无极值；
当时，，；
当时，，．
例34．（2023·河南开封·高二校考期中）已知函数，其图象在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间和极值；
【解析】（1），
，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）得，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
例35．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数在定义域内是奇函数
(1)求实数c的值；
(2)求函数f（x）的极小值（用b表示）
【解析】（1）由奇函数的定义知
，所以．
（2）定义域为，
当，在上恒成立，即为增函数，无极小值；
当，的解为，单调递减；
的解为或单调递增；
极小值为；
综上所述，当无极小值；
当，极小值为．
考点5：最值问题
例36．（2023·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中）已知函数，则函数的最小值为 .
【答案】
【解析】，
当时，，恒成立，
所以在上单调递减，所以，
当时，，恒成立，
所以在上单调递增，所以，
综上所述，的最小值为，
故答案为：.
例37．（2023·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）已知，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
构造函数，则，，即，
且，显然时，，
即在单调递增；
因为，又，所以，
因为，所以，则，即求的最大值，
因为，且，所以，
构造函数，，则，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以时，取得极大值即最大值，即，
所以的最大值为.
故答案为：
例38．（2023·四川眉山·高二校联考阶段练习）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知，
或时，，时，，
∴在和上递减，在上递增，
∴是的极小值点，且,
函数在区间上有最小值，则，解得．
故答案为：．
例39．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）已知，．
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)令，（e是自然对数的底数）.求当实数a等于多少时，可以使函数取得最小值为3？
【解析】（1）函数在上是增函数，∴，在上恒成立，
即，在上恒成立，
令，当且仅当时，取等号，
∴，∴a的取值范围为．
（2），．
∴，
①当时，在上单调递减，，解得（舍去）；
②当且时，即，在上单调递减，在上单调递增，
∴，解得，满足条件；
③当，且时，即，在上单调递减，
，解得（舍去）；
综上，存在实数，使得当时，有最小值3．
例40．（2023·全国·高二随堂练习）求函数在区间内的最值．
【解析】由题意得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在，上单调递增，上单调递减，
当时，；当时，；当时，；当时，，
所以函数在上的最大值为240，最小值为.
例41．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.
(1)求a，b的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）由得，
依题可得：，所以.
又，所以，
所以，.
（2）由（1）知，则，
令，解得或2，令，解得，
令，解得或.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
又，，，，
故在区间上的最大值为，
最小值为.
【提升练习】
1．（2023·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知曲线和曲线在公共点处的切线相同，则该切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，设切点坐标为，
由求导得：，由求导得，
于是，整理得，而，解得，
因此切点坐标为，切线斜率为，切线方程为，即，
此时，令，，
递减，递增，，
即恒成立，当且仅当时取等号，因此两曲线有唯一公共点，符合题意，
所以切线方程为.
故选：A
2．（2023·四川绵阳·高二校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
【答案】A
【解析】若，则，且，
若，则，且，
又是、的公切线，
设切点分别为、，则，
，则，即.
故选：A
3．（2023·河南平顶山·高二统考期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立；
即在上恒成立；
即在上恒成立；
所以，
故选：C
4．（2023·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数在上单调递增，
即在恒成立.
故，即在恒成立，
因为在上单调递减，
所以在处取得的最大值0，所以.
故选：A
5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
6．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
7．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
8．（2023·四川眉山·高二校联考阶段练习）的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】的定义域是，，
令，解得，
故的单调递减区间是.
故答案为：
9．（2023·天津·高二统考期中）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
故答案为：
10．（2023·江西九江·高二校联考期中）若函数存在两个极值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，且，
因为函数存在两个极值，所以即有两不相等实数根，
即，解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
11．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）函数（其中为实数）若不是的极值点，则 ．
【答案】/-0.5
【解析】，
，令，
，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
也即在上单调递增，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以是的极小值点，不符合题意.
当时，令，解的，
所以也即在区间上，函数单调递减；
在区间上，函数单调递增.
由于，且不是的极值点，所以.
故答案为：
12．（2023·甘肃白银·高二校考期中）若函数在处取得极值2，则 ．
【答案】
【解析】由，则，
又函数在处取得极值2，
则有，且，
所以，，经检验满足要求，所以．
故答案为：．
13．（2023·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为，
当时，则，
所以当时，当时，所以在上单调递增，
在上单调递增，
即在处取得极大值，又，
且当时，当时，当时，，
当时，则，
所以在上单调递减，且，当时，
因为函数恰有一个实根，即恰有一个实根，
即函数与恰有一个交点，
所以或，即实数的取值范围是.
故答案为：
14．（2023·江苏南通·高二校考阶段练习）已知曲线和，若直线与这两条曲线都相交，交点分别为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】令，则，
∵，∴，
由，得，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
则．
即的最小值为．
故答案为：.
15．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知不等式的解集中有且只有个整数,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】,
设,
则,
当,即当时,函数为增函数;
当,即当时,函数为减函数;
当时,;当时,,
则满足题意的函数的图像与直线图像如图:
,
所以,即,
解得.
故答案为:.
16．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为存在唯一的正整数，使得，则因为存在唯一的正整数，使得，
令，所以存在唯一的正整数，使得，，
所以，，所以单调递减；，，所以单调递增，
所以，恒过定点，
所以当时，有无穷多个整数，使得，
当时，函数单调递增，作出函数图象：
记上，所以，所以
实数a的取值范围是，
故答案为：.
17．（2023·河南许昌·高二统考期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，令得，
时，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
若函数在上有最小值，则其最小值必为，
则必有且，
即且，
则且，解得，
故答案为：.
18．（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）函数​的最小值为 .
【答案】
【解析】的定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
.
故答案为：.
19．（2023·浙江·高二校联考期中）函数的最小值是 .
【答案】
【解析】显然函数的定义域为，
令，显然，
当时，，
当时，该函数单调递增，当时，该函数单调递减，
所以当时，函数有最小值，最小值为，
故答案为：
20．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
【解析】（1）的定义域为，．
曲线在处的切线的斜率为．
把代入中得，即切点坐标为．
所以曲线在处的切线方程为．
（2）令，得．
①当时，在区间上，，函数为单调减函数．
②当时，在区间上，，为单调减函数；
在区间上，，为单调增函数．
综上，当时，为单调减函数；
当时，在区间上，为单调减函数，在区间上，为单调增函数．
21．（2023·河北沧州·高二校考阶段练习）讨论函数的单调性
【解析】的定义域为，
，
，
当时，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递增，
当时，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增.
22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调区间.
【解析】（1）因为，
所以，
所以，，
故曲线在处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以
当，即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当，即或时，
令，则，，
若，则，
在上恒成立，
所以在上单调递增；
若，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，
①当时，在上单调递增；
②当时，的单调递增区间为（0，）和（，+∞），
单调递减区间为（，）．
23．（2023·高二课时练习）已知函数．若，讨论函数的单调性.
【解析】由题意得：定义域为，；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
24．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的极大值．
【解析】（1）因为，
令，解得或，
当，即时，在上单调递增，无极值点，不合题意；
当，即时，令，解得或；令，解得；
则在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不合题意；
当，即时，令，解得或；令，解得；
则在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，符合题意；
综上所述：实数的取值范围.
（2）由（1）可知：在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为.
25．（2023·福建龙岩·高二统考期末）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间.
【解析】（1）因为所以，
所以，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：，
此时，，，
当，时，，
当时，，
所以符合题意.
综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.
26．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的极值点；
【解析】（1）函数，求导得，
因为在处的切线方程为，于是，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，求导得，
令，解得，显然恒有成立，
由，得或，函数递减；
由，得或，函数递增，
所以的极大值点为0和；极小值点为.
27．（2023·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）已知函数.
(1)设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极值.
【解析】（1）时，，是偶函数，
故，
，故，
故切线方程是：，
即；
（2），
，
时，，在递增，函数无极值，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故的最大值是；无极小值；
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
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0
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0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗