清单14 导数的综合问题-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
1、恒成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
2、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．

图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
3、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
5、利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【考点精讲】
考点1：构造函数解不等式问题
例1．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·四川乐山·高二校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A．B．
C．D．
考点2：证明不等式
例4．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：当x＞0时，．
例5．（2023·辽宁大连·高二统考期末）已知函数（R，为自然对数的底数），．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
例6．（2023·广西河池·高二统考期末）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：．
考点3：恒成立问题
例7．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，其中
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
例8．（2023·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）已知函数，的图象在点处的切线方程为，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的解析式及的值；
(2)若对于任意恒成立，求整数的最大值.
参考数据：，
例9．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．
考点4：能成立问题
例10．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数，对，，使得成立，求实数的取值范围．
例11．（2023·四川眉山·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围．
例12．（2023·海南省直辖县级单位·高二校考期中）已知.
(1)求函数的最小值；
(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
考点5：零点问题
例13．（2023·广东梅州·高三校考阶段练习）已知曲线C：
(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)若，讨论的零点个数．
例14．（2023·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知函数
(1)当时，求函数的极值
(2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围
例15．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的图象在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数有零点，求实数a的取值范围．
考点6：方程的根问题
例16．（2023·山东菏泽·高二校考阶段练习）给定函数
(1)判断的单调性并求极值；
(2)讨论解的个数．
例17．（2023·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有三个根，求的取值范围．
例18．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知函数，，其中，若.
(1)当时，求的单调区间；
(2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
考点7：双变量问题问题
例19．（2023·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
例20．（2023·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
例21．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
例22．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
考点8：实际应用问题
例23．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，现有一块边长为的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积是截下的小正方形边长的函数．

(1)写出函数的解析式．
(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？
例24．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）某汽车公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了，本年度出厂价比上年度降低了．
(1)若本年度年销售量比上年度增加了倍，问在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？
(2)若本年度年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？
例25．（2023·全国·高二随堂练习）如图所示，现要建一条高速公路连接城市A与城市B，且B在一条旧公路尽头，A距旧公路最近的点C的距离为40公里，B，C之间的距离为90公里．如果新建高速公路的成本为每公里300万元，将旧公路改造成高速公路的成本为每公里200万元．试判断高速公路怎样建才能使得成本最低．

例26．（2023·四川眉山·高二校考阶段练习）某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数的边际函数定义为．
(1)求利润函数及边际利润函数；（提示：利润＝产值－成本）
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
考点9：极值点偏移问题
例27．（2023·河南平顶山·汝州市第一高级中学校考模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
例28．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
例29．（2023·江苏苏州·高二江苏省震泽中学校考阶段练习）设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．
例30．（2023·重庆·高三统考期末）已知函数有两个不同的零点.
(1)求的最值；
(2)证明：.
【提升练习】
1．（2023·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．（0，）
C．（，+∞）D．
4．（2023·天津·高二校联考期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河南郑州·高二校联考期中）设函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
(3)当时，证明：
6．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知函数．
(1)求函数在区间的最值；
(2)当时，证明：．
7．（2023·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知函数，其中．
(1)讨论函数零点个数；
(2)求证：．
10．（2023·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)证明：.
11．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）函数，是的导函数：
(1)求的单调区间；
(2)证明：．
12．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时，在恒成立，求的最大值.
13．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
14．（2023·福建漳州·高二校考期中）已知函数．
(1)若在处取得极大值27，求函数的极小值；
(2)若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围．
15．（2023·黑龙江大庆·高二校考期中）已知函数．
(1)当时，若函数有个零点，求实数的取值范围；
(2)已知且，且，，求实数的取值范围．
16．（2023·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
17．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数为的导数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
18．（2023·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)若函数有且只有两个零点，求实数的值．
19．（2023·福建漳州·高二统考期末）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；
(2)若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数的取值范围.
20．（2023·广东东莞·高二统考期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．
21．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．
22．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当，讨论的零点个数.
23．（2023·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.
24．（2023·四川雅安·高二雅安中学期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在定义域内有两个极值点，求证：.
25．（2023·北京·高二校考期末）已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；
(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．
26．（2023·湖南郴州·高二统考期末）已知（且），．
(1)求在上的最小值；
(2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
27．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
28．（2023·高二课时练习）某分公司经销一品牌产品，每件产品的成本为4元，且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（）时，一年的销售量为万件．问：当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大？（结果精确到1元）
29．（2023·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
30．（2023·陕西安康·高二统考期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.
31．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
32．（2023·四川泸州·高二统考期末）已知函数，e为自然对数的底数.
(1)若函数在上有零点，求的取值范围；
(2)当，，且，求证：.
33．（2023·广东深圳·高三校联考阶段练习）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：