陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分)
1. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．
故选B．
2. 在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是．
故选A．
3. 反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（ ）
A （2，﹣3）B. （﹣3，﹣3）C. （2，3）D. （﹣4，6）
【答案】A
【解析】
【分析】将（-2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，将点（-2，3）代入解析式得k=-2×3=-6，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 A、2×(-3)=-6，则此函数的图象也经过点（2，﹣3），该选项符合题意；
B、-3×(-3)=9，则此函数的图象不经过点（﹣3，﹣3），该选项不符合题意；
C、2×3=6，则此函数的图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；
D、-4×6=-24，则此函数的图象不经过点（﹣4，6），该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4. 如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法解答即可．
【详解】解：因为一组邻边相等平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
5. 如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
7. 如图，是斜边上的高，．则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易证∠BCD=∠A，则求tan∠BCD的值就可以转化为求tan∠A，而tan∠A可由△ABC边长比求得，所以得解．
【详解】解：由勾股定理得，AB=，
∵∠BCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴tan∠BCD=tan∠A=，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用、锐角三角函数的定义及余角的性质和直角三角形的性质是解题关键．
8. 已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，通过解一元二次方程－x2－2x+3=0，求得A，B的坐标，根据二次函数的图象与性质得到顶点C的坐标；依题意画出图形，并作出CD⊥AB，可得Rt△CAD，根据相关点的坐标可计算出CD、AD的长；根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠CAB的值．
【详解】令y=0，则－x2－2x+3=0，解得x=1或－3，
所以抛物线y=－x2－2x+3与x轴的交点坐标为（1，0），（－3，0），
可设点A（－3，0），点B（1，0），
由函数解析式可得抛物线顶点C坐标为（－1，4）．
如图，画出函数图象，作CD⊥AB于D，连接AC，
在△ACD中，CD=4，AD=2，
则tan∠CAB==2．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题(本大题共有5小题，每小题3分，共15分．)
9. 若四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中 cm， cm， cm，则________cm.
【答案】6
【解析】
【分析】根据比例线段的定义，列出比例式（方程）即可求解.
【详解】解：因为a，b，c，d是成比例线段，所以，即3：2=9：d，解得cm.
故答案为6.
【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成或，不能随便更改位置，若写成就是错误的.
10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______．
【答案】-9
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的情况和判别式的关系求解即可．
【详解】解：根据题意得．
解得．
故答案为：-9．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况和判别式的关系，熟练掌握该知识点是解题关键．
11. 在三角形ABC中，已知∠A，∠B满足，则∠C＝________．
【答案】75°
【解析】
【分析】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，进而可求得∠C．
【详解】解：由题意得，sinA＝，tanB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值的非负性、平方式的非负性、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
12. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可．
【详解】抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式为：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
13. 二次函数的图像如图所示，则下列结论：① abc<0；②③④⑤对称轴为，其中正确结的确序号是_____．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解:根据题中二次函数的图像，可知抛物线图像开口向上，即，
与y轴交于负半轴，即，
抛物线与x轴的交点是，
∴对称轴是直线，故⑤正确；
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴故②正确；
当x=1时，y=a+b+c=0，故④错误；
当x=-2时，由图像可知，y=4a-2b+c<0,故③错误，
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图像的关系，运用数形结合的思想解题是关键．
三、解答题(本大题共 13小题，共81分．)
14. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式组
解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组的解集为：．
16. 解方程：﹣=1．
【答案】分式方程的解为x=﹣．
【解析】
【详解】【分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x﹣1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．
【详解】两边都乘以x（x+3），得：x2﹣（x+3）=x（x+3），
解得：x=﹣，
检验：当x=﹣时，x（x+3）=﹣≠0，
所以分式方程的解为x=﹣．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与注意事项是解题的关键.
17. 如图，在中，，，．

（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解；
（2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴根据勾股定理可得，
【小问2详解】
解：在中，，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为，，．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点B、C的对应点、的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）、
【解析】
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形，得出各点坐标即可．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
、．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19. 已知某二次函数图象经过，，三点，求该二次函数的顶点坐标．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：设二次函数解析式为，然后将，，三点代入解方程组即可．
【详解】解：设二次函数解析式为，
由，，，
则，
解得：，
则解析式：，
化为顶点式可得：，
顶点坐标．
20. 如图，在中，．垂足分别为，求证：四边形是矩形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，解题的关键是根据平行线的性质得出，进而利用平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．
【详解】解：证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形．
21. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用树状图表示所有等可能出现结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
22. 数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

【答案】米
【解析】
【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案．
【详解】解：过作于，设米，

在中，
即，
，
在中，
，
即，
，
解得分，
（米）．
答：河宽大约为72.6米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标是1，过点作轴于点，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为
（2），或
【解析】
【分析】（1）联立一次函数与反比例函数解析式，根据A点横坐标为1，可知是联立得到的方程的一个解，据此求解即可；
（2）利用图象法求解即可．
【小问1详解】
解：联立得，
∵一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标是1，
∴是方程的一个解，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：联立得，
∴，
解得或，
当时，，
∴点B的坐标为，
∵当或时，反比例函数图象一次函数图象上方，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两个对应的函数解析式是解题的关键．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD于点E．
（1）求证：△DAC∽△OBC；
（2）若BE⊥CD，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据AD＝CD，可得∠DAC＝∠DCA，根据AD∥BC，可得∠DAC＝∠ACB，再证∠OBC＝∠OCB即可；
（2）根据BE⊥CD，得出∠BEC＝90°，根据（1）得∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，可得3∠EBC=90°，求出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，根据30°直角三角形性质可得HC=，设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，再求出BC＝BH+CH＝3a即可．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵O是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
（2）解：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴3∠EBC=90°，
∴∠EBC=30°，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，
过点D作DH⊥BC于点H，∠BCE=2∠EBE=60°，
∴∠HDC=90°-∠ECB=30°，
∴HC=，
设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，
在Rt△DCH中，DC＝2a，CH＝a，BC＝BH+CH＝3a，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线性质，三角形相似判定与性质，30°直角三角形性质，线段比例，掌握等腰三角形性质，平行线性质，三角形相似判定与性质，30°直角三角形性质，线段比例是解题关键．
25. 承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度．
【答案】咸阳钟楼的高度米
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，设，则，，证明，得出，即，求出x的值，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：根据题干可知：米，米，米，米，米，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
（米），
答：咸阳钟楼的高度米．
26.
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
小问1详解】
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【小问2详解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
【小问3详解】
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．