高考数学真题分项汇编（2014-2023） 专题22 导数解答题（理科）（全国通用）（原卷版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数解答题目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc140596753" 题型一：导数的概念及几何意义  PAGEREF _Toc140596753 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc140596754" 题型二：导数与函数的单调性  PAGEREF _Toc140596754 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc140596755" 题型三：导数与函数的极值、最值  PAGEREF _Toc140596755 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc140596756" 题型四：导数与函数零点问题  PAGEREF _Toc140596756 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc140596757" 题型五：导数与不等式的证明  PAGEREF _Toc140596757 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc140596758" 题型六：导数与其他知识的交汇题型  PAGEREF _Toc140596758 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc140596759" 题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题  PAGEREF _Toc140596759 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc140596760" 题型八：导数的综合应用  PAGEREF _Toc140596760 \h 14题型一：导数的概念及几何意义1．(2020北京高考·第19题) 已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．2．(2018年高考数学天津（理）·第20题) (本小题满分14分)已知函数，，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第21题) 已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a取值范围．4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第22题) 已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．5．(2018年高考数学浙江卷·第22题) (本题满分15分)已知函数．(1)若在处导数相等，证明：；(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．6．(2014高考数学课标1理科·第21题) 设函数,曲线在点处的切线．(1)求; (2)证明:． 7．(2019·全国Ⅲ·理·第20题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．8．(2019·全国Ⅱ·理·第20题)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．题型二：导数与函数的单调性1．(2022高考北京卷·第20题) 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意，有．2．(本小题满分12分)已知函数，其中，为参数，且．(Ⅰ)当时，判断函数是否有极值；(Ⅱ)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．3．(2014高考数学重庆理科·第20题) 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为．确定的值；若，判断的单调性；(3)若有极值，求的取值范围．4．(2014高考数学天津理科·第20题) 设．已知函数有两个零点,且．(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)证明随着的减小而增大;(Ⅲ)证明 随着的减小而增大．5．(2014高考数学江西理科·第19题) 已知函数．(1)当时,求的极值;(2)若在区间上单调递增,求b的取值范围． 6．(2015高考数学重庆理科·第20题) (本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)设函数．(1)若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；(2)若在上为减函数，求的取值范围．7．(2016高考数学北京理科·第18题)(本小题13分)设函数，曲线在点处的切线方程为．(I)求的值； (Ⅱ)求的单调区间．8．(2021年高考全国甲卷理科·第21题)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．9．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．题型三：导数与函数的极值、最值1．(2023年北京卷·第20题) 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第22题) (1)证明：当时，；(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 3．(2021高考北京·第19题) 已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第21题) 已知函数．(1)若，证明：当时，，当时，；(2)若是的极大值点，求．5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第21题) (12分)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．6．(2018年高考数学北京（理）·第18题) (本小题13分)设函数．(Ⅰ)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(Ⅱ)若在处取得极小值，求的取值范围． 7．(2014高考数学山东理科·第20题) 设函数(为常数，是自然对数的底数)．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．8．(2014高考数学湖南理科·第22题) 已知常数函数．(Ⅰ)讨论在区间上的单调性；(Ⅱ)若存在两个极值点，且求的取值范围．9．(2014高考数学安徽理科·第18题) 设函数，其中．(Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值．10．(2015高考数学安徽理科·第21题) (本小题满分13分)设函数．(Ⅰ)讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(Ⅱ)记，求函数在上的最大值D；(Ⅲ)在(Ⅱ)中，取，求满足时的最大值．11．(2017年高考数学浙江文理科·第20题) 已知函数(Ⅰ)求的导函数;(Ⅱ)求在区间上的取值范围．12．(2017年高考数学山东理科·第20题)已知函数,,其中是自然对数的底数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)令,讨论的单调性并判断有无极值;有极值时,求出极值． 13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)(12分)已知函数．(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 14．(2017年高考数学江苏文理科·第20题)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求关于 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:;(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围． 15．(2017年高考数学北京理科·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值． 16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第21题)(12分)已知函数且．(1)求 ；(2)证明：存在唯一的极大值点，且．17．(2016高考数学天津理科·第20题)设函数，其中．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)若存在极值点，且，其中，求证：；(Ⅲ)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．18．(2023年全国乙卷理科·第21题)已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由．(3)若在存在极值，求a的取值范围．19．(2019·北京·理·第19题)已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程；(Ⅱ)当时，求证：；(Ⅲ)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值．题型四：导数与函数零点问题1．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第21题) 已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则环．2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第21题) (12分)已知函数．(1)若，证明：当时，；(2)若在只有一个零点，求．3．(2014高考数学四川理科·第21题) 已知函数其中为自然对数的底数． (Ⅰ)设是函数的导函数，求函数在区间 上的最小值； (Ⅱ)若，函数在区间内有零点，求的取值范围． 4．(2014高考数学辽宁理科·第21题) (本小题满分12分)已知函数，．证明：(1)存在唯一，使；(2)存在唯一，使，且对(1)中的．5．(2015高考数学新课标1理科·第21题) (本小题满分12分)已知函数 (Ⅰ)当为何值时，轴为曲线 的切线；(Ⅱ)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．6．(2015高考数学天津理科·第20题) (本小题满分14分))已知函数，其中．(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程为实数)有两个正实根，求证： ．7．(2015高考数学四川理科·第21题) 已知函数，其中．(1)设是的导函数，评论的单调性； (2)证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解．8．(2015高考数学江苏文理·第19题) 已知函数．(1)试讨论的单调性；(2)若(实数是与无关的常数)，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围． 10．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第21题)(本小题满分12分)已知函数有两个零点．(I)求a的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：．11．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第21题)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．12．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第21题)已知函数(1)当时，求曲线在点处切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．13．(2019·全国Ⅰ·理·第20题)已知函数，为的导数．证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点．14．(2019·江苏·第19题)设函数、为的导函数．(1)若，，求的值；(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；(3)若，且的极大值为，求证:．题型五：导数与不等式的证明1．(2022年浙江省高考数学试题·第22题) 设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：(ⅰ)若，则；(ⅱ)若，则．(注：是自然对数的底数)2．(2014高考数学大纲理科·第22题) 函数．(1)讨论的单调性；(2)设，证明：．3．(2015高考数学广东理科·第19题) (本小题满分14分) 设，函数． (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点； (3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明：．4．(2017年高考数学天津理科·第20题)设,已知定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数．(1)求的单调区间;(2)设,函数,求证:;(3)求证:存在大于的常数,使得对于任意的正整数,且满足． 5．(2021年高考浙江卷·第22题)设a，b为实数，且，函数(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足．(注：是自然对数的底数)6．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．7．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．8．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．9．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．题型六：导数与其他知识的交汇题型1．(2022新高考全国I卷·第22题) 已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．(2015高考数学湖南理科·第23题) 已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．证明：(1)数列是等比数列;(2)若，则对一切，恒成立．3．(2015高考数学湖北理科·第22题) (本小题满分14分)已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．(Ⅰ)求函数的单调区间，并比较与的大小；(Ⅱ)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(Ⅲ)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．4．(2015高考数学广东理科·第21题) (本小题满分14分) 数列满足 , ． (1) 求的值； (2) 求数列前项和； (3) 令，，证明：数列的前项和满足．5．(2023年天津卷·第20题)已知函数．(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：．6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第19题)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．7．(2018年高考数学江苏卷·第19题)(本小题满分16分)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．(1)证明：函数与不存在“S点”；(2)若函数与存在“S点”，求实数a的值；(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题1．(2023年全国甲卷理科·第21题)已知函数(1)当时，讨论单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．2．(2014高考数学浙江理科·第22题) 已知函数(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；(2)设若对恒成立，求的取值范围．3．(2014高考数学陕西理科·第23题) 设函数，其中是的导函数．⑴，求的表达式；⑵若恒成立，求实数的取值范围；⑶设，比较与的大小，并加以证明．4．(2014高考数学福建理科·第20题) (本小题满分14分)已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值及函数的极值；(2)证明：当时，；(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有． 5．(2014高考数学北京理科·第18题) 已知, (1)求证：(2)在上恒成立，求a的最大值与b的最小值6．(2015高考数学新课标2理科·第21题) (本题满分12分)设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．7．(2015高考数学山东理科·第21题) 设函数，其中．(Ⅰ)讨论函数极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若成立，求的取值范围．8．(2015高考数学北京理科·第18题) (本小题13分)已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，；(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值．9．(2016高考数学四川理科·第21题)设函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立，(为自然对数的底数)10．(2016高考数学山东理科·第20题)(本小题满分13分)已知．( = 1 \* ROMAN I)讨论的单调性；( = 2 \* ROMAN II)当时，证明对于任意的成立．11．(2015高考数学福建理科·第20题)已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．题型八：导数的综合应用1．(2014高考数学课标2理科·第21题) (本小题满分12分)已知函数=．(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)2．(2014高考数学湖北理科·第22题) 为圆周率，为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；(Ⅲ)将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．3．(2014高考数学江苏·第19题) 已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)证明：是R上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立． 试比较与的大小，并证明你的结论．4．(2015高考数学江苏文理·第17题) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为．如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数(其中为常数)模型． (1)求的值； (2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为．  = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．OC5．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤6．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．(Ⅰ)当时，(i)求曲线在点处的切线方程；(ii)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．7．(2019·浙江·第22题)已知实数，设函数，．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．8．(2019·天津·理·第20题)设函数为的导函数．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，证明；(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数解答题目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc140596753" 题型一：导数的概念及几何意义  PAGEREF _Toc140596753 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc140596754" 题型二：导数与函数的单调性  PAGEREF _Toc140596754 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc140596755" 题型三：导数与函数的极值、最值  PAGEREF _Toc140596755 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc140596756" 题型四：导数与函数零点问题  PAGEREF _Toc140596756 \h 55 HYPERLINK \l "_Toc140596757" 题型五：导数与不等式的证明  PAGEREF _Toc140596757 \h 79 HYPERLINK \l "_Toc140596758" 题型六：导数与其他知识的交汇题型  PAGEREF _Toc140596758 \h 93 HYPERLINK \l "_Toc140596759" 题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题  PAGEREF _Toc140596759 \h 105 HYPERLINK \l "_Toc140596760" 题型八：导数的综合应用  PAGEREF _Toc140596760 \h 121题型一：导数的概念及几何意义1．(2020北京高考·第19题) 已知函数．(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即．(Ⅱ)显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为．2．(2018年高考数学天津（理）·第20题) (本小题满分14分)已知函数，，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．【答案】(1)解：由已知，，则．令 ，解得．由，可知当变化时，的变化情况如下表：所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)证明：由可得曲线在点处的切线斜率为，由可得曲线在点处的切线斜率为因为这两条切线平行，故有，即．两边取以为底的对数，得，所以．(3)证明：曲线在点处的切线，曲线在点处的切线，要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．只需证明当时，存在，使得与重合．即只需证明当时，方程组 有解，由①得，代入②，得 因此只需证明当时，关于的方程③存在实数解．设函数，既要证明当时，函数存在零点．，可知当时，；当时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即，由此可得在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值．因为，故，所以．下面证明存在实数，使得．由(1)可得，，当时，有 ，所以存在实数，使得．因此，当时，存在，使得．所以当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第21题) 已知函数．(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a取值范围．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;(2)解法一：,，且．设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立．当时， ，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S点”．解析：(1)函数f(x)=x，g(x)=x2+2x-2，则f′(x)=1，g′(x)=2x+2．由f(x)= g(x)且f′(x)= g′(x)，得，此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S”点．(2)函数，，则，，设x0为f(x)与g(x)的“S”点，由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0)，得，即，(*)解得，即，则，当时，，满足方程组(*)，即为f(x)与g(x)的“S”点．因此，a的值为．(3)对任意a>0，设，因为，，且h(x)的图象是不间断的，所以存在，使得，令，则b>0．函数，，则，，由f(x)= g(x)且f′(x)= g′(x)，得，即(**)，此时满足方程组(**)，即是函数f(x)与g(x)在区间(0，1)内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S点”．题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题1．(2023年全国甲卷理科·第21题)已知函数(1)当时，讨论单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析． (2)解析：(1)令,则则当当,即．当,即．所以在上单调递增,在上单调递减(2)设设所以．若,即在上单调递减,所以．所以当,符合题意．若当,所以．．所以,使得,即,使得．当,即当单调递增．所以当,不合题意．综上,的取值范围为．2．(2014高考数学浙江理科·第22题) 已知函数(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；(2)设若对恒成立，求的取值范围．【答案】解析：( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)因为，所以，由于，( = 1 \* roman i)当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，( = 2 \* roman ii)当时，若，，在上是增函数，，若，，在上是减函数，所以，，由于，因此，当时，，当时，，( = 3 \* roman iii)当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)知，( = 1 \* roman i)当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；( = 2 \* roman ii)当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，( = 3 \* roman iii)当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，( = 4 \* roman iv)当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围．3．(2014高考数学陕西理科·第23题) 设函数，其中是的导函数．⑴，求的表达式；⑵若恒成立，求实数的取值范围；⑶设，比较与的大小，并加以证明．【答案】(1)；(2)；(3)详见解析．解析：由题设得，()．⑴由已知，，，，…，可得．下面用数学归纳法证明．①当时，，结论成立．②假设当时结论成立，即．那么当时，，即结论成立．由①②可知，结论对成立．⑵已知恒成立，即恒成立．设()，则，当时，(仅当，时等号成立)，∴在上单调递增，又∴在上恒成立，∴时，恒成立(仅当时等号成立)，当时，对恒有，∴在上单调递减，∴．即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是．⑶由题设知，，比较结果为．证明如下：证法一 上述不等式等价于，在⑵中取，可得，．令，，则．下面用数学归纳法证明．①当时，，结论成立．②假设当时结论成立，即．那么当时，，即结论成立． 由①②可知，结论对成立．证法二 上述不等式等价于，在⑵中取，可得，．令，，则． 故有，，…，Onxy123…上述各式相加可得，结论得证．证法三 如图，是由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，∴，结论得证．4．(2014高考数学福建理科·第20题) (本小题满分14分)已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值及函数的极值；(2)证明：当时，；(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有． 【答案】解析： ( = 1 \* ROMAN I)由得．又，得．所以得．令得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．( = 2 \* ROMAN II)令，则．由( = 1 \* ROMAN I)得，故在上单调递增，又，因此，当时，，即．( = 3 \* ROMAN III) 解法一： = 1 \* GB3 ①若，则．又由( = 2 \* ROMAN II)知，当时，．所以当时，．取，当时，恒有． = 2 \* GB3 ②若，令，要使不等式成立，只要成立．而要使成立，则只要，只要成立．令，则，所以当时，，在内单调递增．取，所以在内单调递增．又．易知，，，所以．即存在，当时，恒有．综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．解法二：对任意给定的正数，取．由( = 2 \* ROMAN II)知，当时，，所以．当时，．因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．解法三：首先证明当时，恒有．证明如下：令，则．由( = 2 \* ROMAN II)知，当时，．从而，在单调递减所以，即．取，当时，有．因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．5．(2014高考数学北京理科·第18题) 已知, (1)求证：(2)在上恒成立，求a的最大值与b的最小值【答案】解析：(Ⅰ)由得 ． 因为在区间上所以在区间上单调递减． 从而．(Ⅱ)当时,“”等价于“”；“”等价于“”． 令,则． 当时,对任意恒成立． 当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减．从而对任意恒成立． 当时,存在惟一的使得． 与在区间上的情况如下： 因为在区间上是增函数,所以．进一步,“对任意恒成立”当且仅当即． 综上所述,当且仅当时,对任意恒成立；当且仅当时,对任意恒成立． 所以,若对任意恒成立,则的最大值为,的最小值为．6．(2015高考数学新课标2理科·第21题) (本题满分12分)设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．7．(2015高考数学山东理科·第21题) 设函数，其中．(Ⅰ)讨论函数极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若成立，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)当 时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；(Ⅱ)的取值范围是．分析：(Ⅰ)先求，令通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；(Ⅱ)根据(1)的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围．解析：函数的定义域为 令， (1)当 时， ， 在上恒成立所以，函数在上单调递增无极值；(2)当 时， ①当时， ， 所以，，函数在上单调递增无极值；②当 时， 设方程的两根为 因为 所以， 由可得：所以，当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；因此函数有两个极值点．(3)当 时，由可得：当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；因此函数有一个极值点．综上：当 时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(1)当时，函数在上单调递增，因为所以，时， ，符合题意； (2)当 时，由 ，得 所以，函数在上单调递增，又，所以，时， ，符合题意；(3)当 时，由 ，可得所以 时，函数 单调递减；又所以，当时， 不符合题意；(4)当时，设 因为时， 所以 在 上单调递增，因此当时， 即： 可得： 当 时，此时， 不合题意．综上所述，的取值范围是 8．(2015高考数学北京理科·第18题) (本小题13分)已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，；(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值．【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)证明见解析，(Ⅲ)的最大值为2．分析：利用导数的几何意义，求出函数在处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式在成立，可用作差法构造函数，利用导数研究函数在区间(0，1)上的单调性，由于，在(0，1)上为增函数，则，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数作讨论，首先符合题意，其次当时，不满足题意舍去，得出的最大值为2．解析：(Ⅰ)，曲线在点处的切线方程为；(Ⅱ)当时，，即不等式，对成立，设，则，当时，，故在(0，1)上为增函数，则，因此对，成立；(Ⅲ)使成立，，等价于，；，当时，，函数在(0，1)上位增函数，，符合题意；当时，令，，显然不成立，综上所述可知：的最大值为2．9．(2016高考数学四川理科·第21题)设函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立，(为自然对数的底数)【答案】【官方解答】(1)令当时，，则所以在单调递减；当时，综上所述当时，在单调递减；当时，在单调递减；在单调递增(2)令，则，而当时，，所以在区间单调递增，又由，有，从而当时，当时，故当在区间内恒成立。必有当时，，由(1)有，所以此时故当在区间内不恒成立当时，，令当时，因此，所以当时，，即恒成立综上，．【民间解析】函数的定义域为，(1)令 当时，，则所以在单调递减；当时，，则所以在单调递减；当时，综上所述当时，在单调递减；当时， 在单调递减；在单调递增(2)令，且 当时，恒成立，在为减函数，所以不成立当时，时，，所以存在， ，，则在单调递减所以时，，所以不满足当时， 所以在单调递增，所以 所以在单调递增，所以，满足题意所以的取值为(2)法二：要使在区间内恒成立，即在区间内恒成立 令，且 要使在区间内恒成立，只需保证在单调递增在内恒成立由当 时，，设 则，易知是为增函数，所以时，，所以在单调递增所以，当时，所以当时，在在单调递增，所以所以要使在区间内恒成立，的取值为．10．(2016高考数学山东理科·第20题)(本小题满分13分)已知．( = 1 \* ROMAN I)讨论的单调性；( = 2 \* ROMAN II)当时，证明对于任意的成立．【答案】【解析】(Ⅰ)的定义域为；．当， 时，，单调递增；时，，单调递减．当时，．(1)，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；(2)时，，在内，，单调递增；(3)时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减．综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，，，令，．则，由可得，当且仅当时取得等号．又，设，则在单调递减，因为=-10,所以在上存在使得时，时，,所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于,因此,当且仅当时取等号，所以即对任意的恒成立．11．(2015高考数学福建理科·第20题)已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)．解析：解法一：(1)令则有当 ,所以在上单调递减；故当时，即当时，．(2)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意．当时，令得．取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即．综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．(3)当时，由(1)知，对于故，，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在．当时，由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有．此时,令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在．当，由(1)知，，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意．综上，．解法二：(1)(2)同解法一．(3)当时，由(1)知，对于，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在．当时，取由(2)知存在,使得．此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在．当，由(1)知，，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意．综上，．题型八：导数的综合应用1．(2014高考数学课标2理科·第21题) (本小题满分12分)已知函数=．(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)【答案】解析：(Ⅰ)，等号仅当时成立所以在上单调递增．(Ⅱ) 当时，，等号仅当时成立，所以在上单调递增，而，故．当时，若满足，即时，，而，故，．综上的最大值为2．(Ⅲ)由(2)知，当时，，得当时，，得所以2．(2014高考数学湖北理科·第22题) 为圆周率，为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；(Ⅲ)将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析．解析：(1)函数的定义域为．因为，所以． 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减． 故的单调递增区间为；单调递减区间为．(2)因为，所以，，即，． 于是根据函数在定义域上单调递增，可得， ，故这6个数中最大数在与之中，最小数在与之中． 由及(1)的结论，得，即． 由，得，所以．由，得，所以 ．综上6个数中最大的数是，最小的数是．(3)由(2)知，，；又由(2)知，，得． 故只需比较与和与的大小． 由(1)知，当时，，即． 在上式中，令，又．则，从而， 即得  = 1 \* GB3 ① 由 = 1 \* GB3 ①得，， 即，所以，又由 = 1 \* GB3 ①得，，即， 所以． 综上可得，，即个数从小到大排序为：．3．(2014高考数学江苏·第19题) 已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)证明：是R上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立． 试比较与的大小，并证明你的结论．【答案】(2) ；(3) 当时，，当时，，当时，．解析：(1) 因为对任意，都有，所以是R上的偶函数．(2) 解法一：由条件知上恒成立．令，则，所以对于任意成立．因为，所以，当且仅当，即时等号成立． 因此实数m的取值范围是．解法二：考虑不等式两边同乘，则不等式转化为在上恒成立．令，则问题可简化为：在上恒成立． 构造函数，由图象易得当时不符合题意．当时，或解得．综上可知，实数的取值范围为．(3)解法一： 令函数，则．当时，，，又，故，所以是上的单调增函数，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，当且仅当最小值，故，即．令函数，则，令，得．当时，，故是上的单调减函数．当时，，故是上的单调增函数．所以在上的最小值时．注意到，所以当时，．当时，，所以对任意的成立．①当时，，即，从而；②当时，；③当时，，即，故．综上所述，当时，，当时，，当时，．解法二：要比较与的大小，由于，那么，故只要比较与的大小． 令，那么．当时，；当时，．所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数．又，，则，；那么当时，，，；当时，，，．综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．(2015高考数学江苏文理·第17题) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为．如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数(其中为常数)模型． (1)求的值； (2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为．  = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．OC【答案】(1)(2)①定义域为，②千米分析(1)由题意得函数过点，列方程组就可解出a，b的值(2)①求公路l长度的函数解析式，就是求出直线l与x,y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l方程，再根据M，N为C的两个端点的限制条件得定义域为②对函数解析式解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势．解析：(1)由题意知，点，的坐标分别为，．将其分别代入，得，解得．(2)①由(1)知，()，则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，，则的方程为，由此得，．故，．②设，则．令，解得．当时，，是减函数；当时，，是增函数．从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时．答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．5．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤【答案】(1)当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．(2)证明见解析；(3)证明见解析．解析：(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增(2)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，，，据此可得：，，即．(3)结合(2)的结论有：．6．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．(Ⅰ)当时，(i)求曲线在点处的切线方程；(ii)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．【答案】(Ⅰ)(i)；(ii)的极小值为，无极大值；(Ⅱ)证明见解析．【解析】(Ⅰ)(i)当时，，．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．(ii)依题意，．从而可得，整理可得：，令，解得．当变化时，的变化情况如下表：所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．(Ⅱ)证明：由，得．对任意的，且，令，则． ①令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．因为，，，所以． ②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故 ③由①②③可得．所以，当时，任意的，且，有．7．(2019·浙江·第22题)已知实数，设函数，．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．【答案】【意图】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。【解析】(Ⅰ)当时，，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为(Ⅱ)由，得当时，，等价于令，则设，则(ⅰ)当时，则记，则列表讨论：(1)当时，令，则，故在上单调递增，，由得，，由知对任意，，，即对任意，均有，综上所述，所求的的取值范围是．8．(2019·天津·理·第20题)设函数为的导函数．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，证明；(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．【答案】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．(Ⅰ)解：由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为．(Ⅱ)证明：记．依题意及(Ⅰ)，有，从而．当时，，故．因此，在区间上单调递减，进而．所以，当时，．(Ⅲ)证明：依题意，，即．记，则，且．由及(Ⅰ)，得．由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由(Ⅱ)知，，故．所以，．-↗↘-0+极小值单调递减极小值单调递增10单调递减极小值单调递增