中考数学专题练——2方程和不等式

这是一份中考数学专题练——2方程和不等式，共13页。
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
2．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝4，y2＝﹣4B．y1＝2，y2＝﹣6C．y1＝4，y2＝﹣6D．y1＝2，y2＝﹣4
3．（2022•鼓楼区二模）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n＝mx的两个实数根，若x1＜x2＜0，则（ ）
A．m＞1n＞0B．m＞1n＜0C．m＜1n＞0D．m＜1n＜0
4．（2022•秦淮区一模）某施工队整修一条480m的道路．开工后，每天比原计划多整修20m，结果提前4天完成任务．设原计划每天整修xm，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．480x+20−480x=4B．480x−480x−4=20
C．480x−480x+20=4D．480x−4−480x=20
5．（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021bD．a2021＜b2021
6．（2021•南京模拟）关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为±25D．两实数根的积为﹣4
二．填空题（共12小题）
7．（2022•鼓楼区校级二模）已知x、y满足方程组|x|+2y=22|x|+y=7，则|x|+y的值为 ．
8．（2022•建邺区二模）设A、B为自然数，且满足A11+B3=1733，A+B＝ ．
9．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2： ．
10．（2022•玄武区二模）设x1，x2是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1+x1x2+x2的值是 ．
11．（2022•南京一模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个根，且x1＝x2，则k的值为 ．
12．（2022•建邺区一模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1（1+x2）+x2＝ ．
13．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ．
14．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
15．（2022•玄武区一模）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝ ．
16．（2022•建邺区一模）方程1x−1=2x−2的解为 ．
17．（2022•秦淮区校级模拟）若方程x2+2x﹣11＝0的两根分别为m、n，则m2n+mn2的值为 ．
18．（2022•建邺区二模）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝ 时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
三．解答题（共12小题）
19．（2022•雨花台区校级模拟）关于x的不等式组x+32≥x+m3+4(x−1)＞−9．
（1）当m＝1时，解该不等式组；
（2）若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是 ．
20．（2022•鼓楼区校级二模）根据不等式的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1n＞n−2n−1．
21．（2022•玄武区二模）解不等式组2(x+1)≥x4x−13+1＞3x+12，并将解集在数轴上表示出来．
22．（2022•南京二模）已知关于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：m2＝n；
（2）求证：m+n≥−14．
23．（2022•鼓楼区一模）为改善电力供求，某地自2021年10月1日起将高耗能企业用电单价调整为原来的1.5倍．某高耗能企业2021年9、10月的电费总额分别为8000元、7200元，10月份的用电量比9月份下降了4000度．求调整后的高耗能企业用电单价．
24．（2022•建邺区一模）解不等式组2−x＞05x+12+1≥x，并写出它的整数解．
25．（2022•玄武区一模）（1）计算（−12）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cs60°；
（2）解方程xx+1=2x3x+3+1．
26．（2022•雨花台区校级模拟）学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数．
27．（2022•秦淮区校级模拟）刘阿姨到超市购买大米．第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她花了140元，比第一次多购买了10kg．这种大米的原价是多少？
28．（2022•秦淮区校级模拟）解不等式组5x−2≥3x2−5＜1−3x2．
29．（2022•鼓楼区校级二模）解方程：2xx−1+31−x=1．
30．（2022•南京一模）解方程：1−xx−2=12−x−2．
中考数学专题练——2方程和不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2022•鼓楼区校级二模）方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【解答】解：方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为a，b，
∵a+b＝1，ab＝﹣1，
∴方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．
故选：C．
2．（2022•秦淮区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝4，y2＝﹣4B．y1＝2，y2＝﹣6C．y1＝4，y2＝﹣6D．y1＝2，y2＝﹣4
【解答】解：设t＝y+1，
则原方程可化为at2+bt+c＝0，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴t1＝3，t2＝﹣5，
∴y+1＝3或y+1＝﹣5，
解得y1＝2，y2＝﹣6．
故选：B．
3．（2022•鼓楼区二模）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n＝mx的两个实数根，若x1＜x2＜0，则（ ）
A．m＞1n＞0B．m＞1n＜0C．m＜1n＞0D．m＜1n＜0
【解答】解：一元二次方程x2+x+n＝mx化为一般形式，
得x2+（1﹣m）x+n＝0，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n＝mx的两个实数根，
∴x1+x2＝m﹣1，x1x2＝n，
∵x1＜x2＜0，
∴x1+x2＜0，x1x2＞0，
∴m﹣1＜0，n＞0，
∴m＜1，n＞0，
故选：C．
4．（2022•秦淮区一模）某施工队整修一条480m的道路．开工后，每天比原计划多整修20m，结果提前4天完成任务．设原计划每天整修xm，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．480x+20−480x=4B．480x−480x−4=20
C．480x−480x+20=4D．480x−4−480x=20
【解答】解：∵开工后，每天比原计划多整修20m，且原计划每天整修xm，
∴实际每天整修（x+20）m．
依题意得：480x−480x+20=4．
故选：C．
5．（2021•秦淮区一模）已知a＜b，下列式子不成立的是（ ）
A．a+2021＜b+2021B．a﹣2021＜b﹣2021
C．﹣2021a＜﹣2021bD．a2021＜b2021
【解答】解：A、不等式两边同时加上2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时减去2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣2021，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意；
D、不等式两边同时除以2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
6．（2021•南京模拟）关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为±25D．两实数根的积为﹣4
【解答】解：方程x2+2x﹣4＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∵Δ＝4+16＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，
∴x1﹣x2＝±(x1+x2)2−4x1x2=±(−2)2−4×(−4)=±25，
故结论错误的是B，
故选：B．
二．填空题（共12小题）
7．（2022•鼓楼区校级二模）已知x、y满足方程组|x|+2y=22|x|+y=7，则|x|+y的值为 3 ．
【解答】解：|x|+2y=2①2|x|+y=7②，
①+②得：3|x|+3y＝9，
∴|x|+y＝3．
故答案为：3．
8．（2022•建邺区二模）设A、B为自然数，且满足A11+B3=1733，A+B＝ 3 ．
【解答】解：∵A11+B3=1733，
∴3A+11B＝17．
又∵A，B均为自然数，
∴A=2B=1，
∴A+B＝2+1＝3．
故答案为：3．
9．（2022•秦淮区二模）写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2： x2﹣4x+2＝0 ．
【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵它的两根之和是4，两根之积是2，
∴﹣p＝4，q＝2，
∴p＝﹣4，
∴这个方程为：x2﹣4x+2＝0．
故答案为：x2﹣4x+2＝0．
10．（2022•玄武区二模）设x1，x2是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1+x1x2+x2的值是 0.5 ．
【解答】解：由一元二次方程根与系数关系可知：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1.5，
则x1+x1x2+x2＝（x1+x2）+x1•x2＝2﹣1.5＝0.5．
故答案为：0.5．
11．（2022•南京一模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个根，且x1＝x2，则k的值为 1 ．
【解答】解：根据题意，知x1+x2＝2x2＝2，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣2x+k＝0，得12﹣2×1+k＝0．
解得k＝1．
故答案是：1．
12．（2022•建邺区一模）设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1（1+x2）+x2＝ 1 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
所以x1（1+x2）+x2＝x1+x2+x1x2＝2+（﹣1）＝1．
故答案为：1．
13．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，
∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根，
∴x+y＝4，xy＝3，
则原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 12 ．
【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2=8c−49，
∵（m﹣2）2≥0，
∴8c−49≥0，
∴c的最小值是12．
故答案为：12．
15．（2022•玄武区一模）设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣m，
∵2x1＝x2，
∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1，
∴x2＝﹣2，
∴﹣m＝x1•x2＝2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（2022•建邺区一模）方程1x−1=2x−2的解为 x＝0 ．
【解答】解：1x−1=2x−2，
x﹣2＝2（x﹣1），
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，（x﹣1）（x﹣2）≠0，
∴x＝0是原方程的根，
故答案为：x＝0．
17．（2022•秦淮区校级模拟）若方程x2+2x﹣11＝0的两根分别为m、n，则m2n+mn2的值为 22 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣11＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣11，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣11×（﹣2）＝22．
故答案是：22．
18．（2022•建邺区二模）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝ 2 时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【解答】解：根据题意得AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，
当AB2+AC2＝BC2时，△ABC是以BC为边的直角三角形．
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
整理得k2+3k﹣10＝0，解得k1＝2，k2＝﹣5，
因为AB+AC＝2k+3＞0，
所以k的值为2．
故答案为2．
三．解答题（共12小题）
19．（2022•雨花台区校级模拟）关于x的不等式组x+32≥x+m3+4(x−1)＞−9．
（1）当m＝1时，解该不等式组；
（2）若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是 2＜m＜52 ．
【解答】解：（1）把m＝1代入得：x+32≥x+1①3+4(x−1)＞−9②，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1；
（2）不等式组整理得：x≤3−2mx＞−2，
∵该不等式组有解，但无整数解，
∴﹣2＜x≤3﹣2m，且﹣2＜3﹣2m＜﹣1，
解得：2＜m＜52．
故答案为：2＜m＜52．
20．（2022•鼓楼区校级二模）根据不等式的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则n−1n＞n−2n−1．
【解答】证明：n−1n−n−2n−1
=(n−1)2−n(n−2)n(n−1)
=1n(n−1)．
∵n＜0，
∴n﹣1＜0．
∴n（n﹣1）＞0．
∴n−1n＞n−2n−1．
21．（2022•玄武区二模）解不等式组2(x+1)≥x4x−13+1＞3x+12，并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：2(x+1)≥x①4x−13+1＞3x+12②，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
22．（2022•南京二模）已知关于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常数）有两个相等的实数根．
（1）求证：m2＝n；
（2）求证：m+n≥−14．
【解答】证明：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4n＝0，
∴4m2﹣4n＝0，
∴m2＝n；
（2）把n＝m2代入m+n得m+n＝m+m2，
∵m+m2＝m2+m+14−14
＝（m+12）2−14，
而（m+12）2≥0，
∴m+n≥−14．
23．（2022•鼓楼区一模）为改善电力供求，某地自2021年10月1日起将高耗能企业用电单价调整为原来的1.5倍．某高耗能企业2021年9、10月的电费总额分别为8000元、7200元，10月份的用电量比9月份下降了4000度．求调整后的高耗能企业用电单价．
【解答】解：设调整前的用电单价为x元，则调整后的用电单价为1.5x元，
由题意可得：8000x−4000=72001.5x
解得x＝0.8，
经检验，x＝0.8为原方程的解，且符合题意，
当x＝0.8时，1.5×0.8＝1.2．
答：调整后的用电单价为1.2元．
24．（2022•建邺区一模）解不等式组2−x＞05x+12+1≥x，并写出它的整数解．
【解答】解：2−x＞0①5x+12+1≥x②，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
则不等式组的整数解为﹣1，0，1．
25．（2022•玄武区一模）（1）计算（−12）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cs60°；
（2）解方程xx+1=2x3x+3+1．
【解答】解：（1）（−12）﹣1+（3.14﹣π）0﹣2cs60°
＝﹣2+1﹣2×12
＝﹣2+1﹣1
＝﹣2；
（2）xx+1=2x3x+3+1，
两边都乘以3（x+1）得：
3x＝2x+3x+3，
解得：x=−32，
检验：当x=−32时，3（x+1）≠0，
∴x=−32是原分式方程的根．
26．（2022•雨花台区校级模拟）学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数．
【解答】解：设评委有x人，则参加选手有（5x﹣2）人，
根据题意，得x（5x﹣2）＝168．
解这个方程，得x1＝6，x2=−285（不合题意，舍去）．
所以5x﹣2＝5×6﹣2＝28．
答：参赛选手有28人．
27．（2022•秦淮区校级模拟）刘阿姨到超市购买大米．第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她花了140元，比第一次多购买了10kg．这种大米的原价是多少？
【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，
根据题意，得1400.8x−105x=10，
解得：x＝7．
经检验，x＝7是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克7元．
28．（2022•秦淮区校级模拟）解不等式组5x−2≥3x2−5＜1−3x2．
【解答】解：解不等式5x﹣2≥3，得：x≥1，
解不等式x2−5＜1−3x2，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3．
29．（2022•鼓楼区校级二模）解方程：2xx−1+31−x=1．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1得：2x﹣3＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：将x＝2代入x﹣1＝2﹣1＝1≠0．
所以x＝2是原分式方程的解，
即原方程的解为x＝2．
30．（2022•南京一模）解方程：1−xx−2=12−x−2．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：
1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，因此x＝2不是分式方程的解，所以，原分式方程无解．