中考数学专题练——3一次函数

这是一份中考数学专题练——3一次函数，共38页。
A．﹣1B．0C．1D．2
2．（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝2x+2B．y＝2x+3C．y＝2xD．y＝2x﹣1
3．（2021•玄武区一模）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=−12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A．455B．5C．523D．655
二．填空题（共6小题）
5．（2022•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为 ．
6．（2022•建邺区二模）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 ．
7．（2021•鼓楼区二模）如图，A为y轴负半轴上一点，M、N是函数y=−34x+3的图象上的两个动点，且AM⊥AN，若MN的最小值为10，则点A的坐标为 ．
8．（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 ．
9．（2021•鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点（1，3），且与x轴的夹角为30°，则直线l与坐标轴所围成的三角形的周长是 ．
10．（2021•江宁区校级模拟）在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图，则乙在行驶过程中，直接写出当x＝ 时距甲5km．
三．解答题（共16小题）
11．（2022•秦淮区二模）小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与学校的距离是 m，小明骑车的速度是 m/min；
（2）求图中点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以300m/min的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待30s后以原速继续骑行，结果在离学校还有150m处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．
12．（2022•建邺区二模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣x+3．
（1）若y1的图象经过点（2，2），求k的值；
（2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）当x＞1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是 ．
13．（2022•南京二模）已知一次函数y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2＝x+1．
（1）当a＝﹣1时，求两个函数图象的交点坐标；
（2）不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过一个定点，这个定点坐标是 ；
（3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图象，直接写出a的取值范围．
14．（2022•玄武区二模）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6．
（1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
（2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
15．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝ ，a＝ ；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．
16．（2022•南京一模）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系．
（1）轿车出发时，两车相距 km；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；
（3）若轿车出发1.6h，此时与货车的距离小于12km，直接写出轿车速度v的取值范围．
17．（2022•南京一模）哥哥弟弟进行100米赛跑，哥哥跑得比弟弟快．图1、图2均描述了两人2次赛跑的实际情形．假设两人2次赛跑的速度保持不变，其中所跑路程为y米，时间为x秒．
（1）请描述图1中两人赛跑的实际情形；
（2）求哥哥、弟弟的速度；
（3）求图2中直线AB对应的函数表达式．
18．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
19．（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
20．（2022•雨花台区校级模拟）实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．
数学研究：如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
21．（2021•建邺区二模）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：
月用水量不超过20m3时，按2.5元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.2元/m3计费，设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元．
（1）分别写出0≤x≤20和x＞20时，y与x的函数表达式．
（2）小明家第二季度缴纳水费的情况如下：
小明家第二季度共用水多少立方米？
22．（2021•玄武区二模）小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅，稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第xmin时，与餐厅的距离为y1km，小明爸爸与餐厅的距离为y2km．y1，y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）小明的速度是 km/min；
（2）求线段MN所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）设小明与爸爸之间的距离为Skm，在图③中画出S与x之间的函数图象．（标明必要的数据）
23．（2021•鼓楼区二模）小明写完作业后到图书馆找妈妈一起看书．小明从家出发，走了一段路程后突然发现钥匙与图书证忘带，立即打电话给妈妈（打电话时间忽略不计）．妈妈立即骑车从图书馆出发，回家取相关证件并停留片刻后按原速度原路返回．两人距图书馆的路程y（米）与妈妈出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（注：小明和妈妈始终沿同一条直道行进）
（1）小明的速度是 米/分，妈妈在家停留了 分钟．
（2）当x为何值时，两人相距2100m．
24．（2022•雨花台区校级模拟）阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．
【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的对称点A2，连接A2B可以求解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．
【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是 ．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是 ，此时a＝ ，并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x图象上一点，CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是 ，此时点C的坐标是 ．
25．（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 kg，销售蜜桔 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
26．（2021•建邺区一模）已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中DE、OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象．
（1）乙先出发，甲后出发，相差 h；
（2）甲骑摩托车的速度为60km/h，直接写出甲离开A地后s（km）与时间t（h）的函数表达式及自变量t的取值范围；
（3）当乙出发几小时后，两人相遇．
中考数学专题练——3一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：观察图象可知，当P的横坐标为2时，P的坐标为（2，0），过点（2，0），（3，5）的直线与直线y＝﹣2x+4的夹角小于45°或大于90°，
故选：D．
2．（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝2x+2B．y＝2x+3C．y＝2xD．y＝2x﹣1
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+1）+1，即y＝2x+3．
故选：B．
3．（2021•玄武区一模）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图象知：k1＜0，k2＞0，
且﹣2k2+b2＝0，k1+b1＝0，
∴y＝y1•y2，
∴y＝（k1x+b1）（k2x+b2），
∴当x＝﹣2，y＝0，
当x＝1时，y＝0，
∴抛物线过（﹣2，0），（1，0），
且k1k2＜0，
抛物线开口向下，
由图象知：b1＞1，b2＞1，
∴b1×b2＞1
∴D错误，
故选：C．
4．（2021•鼓楼区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=−12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A．455B．5C．523D．655
【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
∠PMQ=∠PNQ'=90°∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，−12m+2），
∴PM＝|m﹣1|，QM＝|−12m+2|，
∴ON＝|3−12m|，
∴Q′（3−12m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3−12m）2+（1﹣m）2=54m2﹣5m+10=54（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为5，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
5．（2022•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为 y＝4x﹣4 ．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y＝4x的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为：y＝4（x﹣1）＝4x﹣4；
故答案为：y＝4x﹣4．
6．（2022•建邺区二模）平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k＞0且b＜0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y＝kx+b图象上的点为 D ．
【解答】解：∵k＞0且b＜0，
∴图象过一、三、四象限，
∵D点在第二象限，
故答案为：D．
7．（2021•鼓楼区二模）如图，A为y轴负半轴上一点，M、N是函数y=−34x+3的图象上的两个动点，且AM⊥AN，若MN的最小值为10，则点A的坐标为 （0，−134） ．
【解答】解：取MN的中点为B，
∵AM⊥AN，
∴AB=12MN，
∵MN的最小值为10，
∴AB最小值为5，
∴AB⊥MN时，AB最小，
设y=−34x+3的图象与x、y轴交于D、C两点，
∴C（0，3），D（4，0），
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=32+42=5，
∴sin∠OCD=ODCD=45，
在Rt△ABC中，sin∠BCA=ABAC=5AC=45，
∴AC=254，
∵OC＝3，
∴OA=134，
∴A(0，−134)，
故答案为：A（0，−134）．
8．（2021•南京二模）已知一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是 y=−13x+1或y＝3x+1 ．
【解答】解：如图1，∵一次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，
∴A（0，1），B（﹣2，0），
当直线y=12x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，
过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，
∴a=12，
∴DF＝OF＝1+a=32，
∴D（−32，32），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则32=−32k+1，解得k=−13，
∴y=−13x+1；
如图2，直线y=12x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，
∵点A（0，1），点B（﹣2，0），
∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝2，
∴b=12，
∴D（−12，−12），
设直线l的解析式为y＝kx+1，则−12=−12k+1，解得k＝3，
∴y＝3x+1；
综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=−13x+1或y＝3x+1．
故答案为y=−13x+1或y＝3x+1．
9．（2021•鼓楼区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点（1，3），且与x轴的夹角为30°，则直线l与坐标轴所围成的三角形的周长是 4+43 ．
【解答】解：∵直线经过点（1，3），且与x轴的夹角为30°，
∴y=−33x+b，
∴3=−33+b，
∴b=433，
∴直线l为：y=−33x+433，
令x＝0，则y=433；令y＝0，则x＝4，
∴直线与坐标轴的交点为A（4，0），B（0，433），
∴AB=OBsin30°=43312=833，
∴直线l与坐标轴所围成的三角形的周长＝4+433+833=4+43，
故答案为43+4．
10．（2021•江宁区校级模拟）在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图，则乙在行驶过程中，直接写出当x＝ 56或76或176 时距甲5km．
【解答】解：设y1＝kx+b，将（0，120）和（0.5，90）代入得：
120=b90=0.5k+b，解得k=−60b=120，
∴y1＝﹣60x+120，
设y2＝mx+n，将（0，90）和（3，0）代入得：
90=n0=3m+n，解得m=−30n=90，
∴y2＝﹣30x+90，
乙在行驶过程中距甲5km分三种情况：
①甲在乙后面5km即甲距C村远5km，则y1﹣y2＝5，
∴（﹣60x+120）﹣（﹣30x+90）＝5，
解得x=56，
②乙在甲后面5km即乙距C村远5km，则y2﹣y1＝5，
∴（﹣30x+90）﹣（﹣60x+120）＝5，
解得x=76，
③甲已经到C村，乙距C村5km，则y2＝5，
∴﹣30x+90＝5，
解得x=176，
故答案为：56或76或176．
三．解答题（共16小题）
11．（2022•秦淮区二模）小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与学校的距离是 1500 m，小明骑车的速度是 150 m/min；
（2）求图中点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以300m/min的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待30s后以原速继续骑行，结果在离学校还有150m处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．
【解答】解：（1）由图象可知，小明家与学校的距离是1500m，小明骑车的速度是600÷4＝150（m/min），
故答案为：1500；150；
（2）点A的横坐标为11﹣（1500﹣600）÷150＝5，
故点A的坐标为（5，600），它的实际意义小明骑5分钟后离家距离为600米；
（3）妈妈追上小明时，小明骑了10分钟，故妈妈从出发到追上小明所以时间为：（1500﹣150）÷300+3060=4.5，
10﹣4.5﹣0.5＝5（min），
故小明出发5分钟后，妈妈开始出发，
在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象如下：
12．（2022•建邺区二模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣x+3．
（1）若y1的图象经过点（2，2），求k的值；
（2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围；
（3）当x＞1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是 k≤﹣1 ．
【解答】解：（1）∵y1的图象经过点（2，2），
∴2＝2k﹣2，
解得k＝2；
（2）∵y1＜y2，
∴2x﹣2＜﹣x+3，
解得x＜53；
（3）由图象可知当x＞1时，y1＜y2，k的取值范围是k≤﹣1，
故答案为：k≤﹣1．
13．（2022•南京二模）已知一次函数y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2＝x+1．
（1）当a＝﹣1时，求两个函数图象的交点坐标；
（2）不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过一个定点，这个定点坐标是 （﹣3，2） ；
（3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图象，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y1＝﹣x﹣1，
当y1＝y2，得﹣x﹣1＝x+1，
解得x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y1＝﹣（﹣1）﹣1＝0，
∴两个函数图像的交点坐标为（﹣1，0）；
（2）y1＝ax+3a+2＝a（x+3）+2，
当x+3＝0时，y1＝2，
此时x＝﹣3，
∴不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过定点（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）；
（3）函数图象如图所示：
根据图象可知，两个函数图象的交点在第三象限，a的取值范围是：a＜﹣1或a＞1．
14．（2022•玄武区二模）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6．
（1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
（2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣x+m﹣3中，k＝﹣1，且一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，
∴b＝m﹣3＞0，
∴m＞3；
（2）∵y1＞y2，
∴﹣x+m﹣3＞2x﹣6，
∴x＜m+33，
∵当x＜3时，y1＞y2，
∴m+33≥3，
∴m≥6，
15．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝ 5：6 ，a＝ 75 ；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．
【解答】解：（1）由图可得，
180v1＝（180﹣30）v2，
解得v1：v2＝5：6，
乙的速度为：1200÷（430﹣30）＝3（m/s），
∴甲的速度为：3×56=2.5（m/s），
∴a＝30×2.5＝75，
故答案为：5：6，75；
（2）设y2与x之间的函数表达式是y2＝kx+b，
∵点（30，0）和点（430，1200）在该函数图象上，
∴30k+b=0430k+b=1200，
解得k=3b=−90，
即y2与x之间的函数表达式是y2＝3x﹣90；
（3）由题意可得，
当x＝30时，此时s＝75；
当x＝180时，s＝0，
当x＝430时，s＝（430﹣180）×（3﹣2.5）＝125，
当x＝1200÷2.5＝480时，s＝0，
由图①和题意可知：当0≤x≤30时，s随x的增大而增大，符合正比例函数；
当30＜x≤180时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
当180＜x≤430时，s随x的增大而增大，符合一次函数；
当430＜x≤480时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
图象如右图所示．
16．（2022•南京一模）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y（km）与货车出发时间x（h）之间的函数关系．
（1）轿车出发时，两车相距 84 km；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；
（3）若轿车出发1.6h，此时与货车的距离小于12km，直接写出轿车速度v的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知，货车5h行驶300km，
∴货车速度是300÷5＝60（km/h），
∴轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km），
故答案为：84；
（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），
设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b，将C（4.4，300），B（1.4，0）代入得：
4.4k+b=3001.4k+b=0，
解得k=100b=−140，
∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x﹣140；
由图象可知，a小时轿车追上货车，
∴100a﹣140＝60a，
解得a＝3.5，
∴a的值为3.5；
（3）∵轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，
∴1.6v−(1.4+1.6)×60＜12(1.4+1.6)×60−1.6v＜12，
解得：105＜v＜120，
∴轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．
17．（2022•南京一模）哥哥弟弟进行100米赛跑，哥哥跑得比弟弟快．图1、图2均描述了两人2次赛跑的实际情形．假设两人2次赛跑的速度保持不变，其中所跑路程为y米，时间为x秒．
（1）请描述图1中两人赛跑的实际情形；
（2）求哥哥、弟弟的速度；
（3）求图2中直线AB对应的函数表达式．
【解答】解：（1）由题意可得，
图1中两人赛跑的实际情形是：弟弟先跑两秒，然后哥哥出发，两人同时到达终点，弟弟一共用了14秒，哥哥一共用了12秒；
（2）由图1可得，
哥哥的速度为：100÷（14﹣2）
＝100÷12
=253（米/秒），
弟弟的速度为：100÷14=507（米/秒），
答：哥哥的速度为253米/秒，弟弟的速度为507米/秒；
（3）点A的纵坐标为：507×2=1007，
则点A的坐标为（0，1007），
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，
∵点A（0，1007），点B（12，100）在该直线上，
∴b=100712k+b=100，
解得k=507b=1007，
∴直线AB对应的函数表达式为y=507x+1007．
18．（2022•玄武区一模）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：
（1）慢车的速度为 12 km/min；
（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；
（3）请根据题意补全图象．
【解答】解：（1）由图象得：慢车20min行驶10km，
∴慢车的速度为：10÷20=12（km/min），
故答案为：12；
（2）设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，10）（30，5）代入y＝kx+b得：20k+b=1030k+b=5，
解得：k=−12b=20，
∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y=−12x+20（20≤x≤30）；
（3）快车的速度为：30×12−530−20=1（km/min），
快车追上慢车时x＝30+5÷1＝35（min），
快车到达乙地用时40÷1＝40（min），此时，x＝40+20＝60（min），
慢车到达乙地用时40÷12+5＝85（min），
补全图象如图：
19．（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
【解答】解：（1）如图：
（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，
由题意得：2v•t＝（t+1+5）v，
解得：t＝6，
6+1+5＝12（min），
答：甲整个行程所用的时间为12min．
20．（2022•雨花台区校级模拟）实际情境：甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，小狗随甲一起出发，每小时跑12千米，小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑，遇到甲时又往乙这边跑，遇到乙的时候再往甲这边跑…就这样一直跑下去．
数学研究：如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示甲、小狗在行进过程中，离乙的路程y（km）与甲行进时间x（h）之间的部分函数图象．
（1）求线段AB对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，直接写出x为何值时，它离乙的路程与它离甲的路程相等？
【解答】解：（1）设AB的解析式为y1＝ax+b，可得：
b=42k+b=0，
解得：k=−2b=4，
所以解析式为：y1＝﹣2x+4（0≤x≤2）；
（2）根据题意，得线段DE对应的函数关系式为y2=(12+4)×(x−12)=16x﹣8，
当y1＝y2时，﹣2x+4＝16x﹣8，解得x=23，把x=23代入y1＝﹣2x+4，得y1=83，
即点E的坐标为（23，83）；
（3）由题意可知：线段AD对应的函数关系式为y3＝﹣8x+4，分两种情况：
①y1﹣y3＝y3，即﹣2x+4＝2（﹣8x+4），解得x=27；
②y1﹣y2＝y2，即﹣2x+4＝2（16x﹣8），解得x=1017，
综上，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当x为27或1017时，它离乙的路程与它离甲的路程相等．
21．（2021•建邺区二模）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：
月用水量不超过20m3时，按2.5元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.2元/m3计费，设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元．
（1）分别写出0≤x≤20和x＞20时，y与x的函数表达式．
（2）小明家第二季度缴纳水费的情况如下：
小明家第二季度共用水多少立方米？
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y＝2.5x，
当x＞20时，y与x的函数表达式是：
y＝2.5×20+3.2（x﹣20）＝3.2x﹣14；
（2）小明家用水量x＝20时，水费y＝2.5×20＝50（元），
因为小明家四、五月份的水费都不超过50元，故0≤x＜20，此时y＝2.5x，
六月份的水费超过50元，x＞20，此时y＝3.2x﹣14，
所以把y＝40代入y＝2.5x中得，
2.5x＝40，
解得：x＝16，
把y＝45代入y＝2.5x中得，
2.5x＝45，
解得：x＝18，
把y＝56.4代入y＝3.2x﹣14中得，
3.2x﹣14＝56.4，
解得：x＝22，
所以，16+18+22＝56（m³），
答：小明家第二季度共用水56m³．
22．（2021•玄武区二模）小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅，稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第xmin时，与餐厅的距离为y1km，小明爸爸与餐厅的距离为y2km．y1，y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）小明的速度是 0.2 km/min；
（2）求线段MN所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）设小明与爸爸之间的距离为Skm，在图③中画出S与x之间的函数图象．（标明必要的数据）
【解答】解：（1）小明的速度是：6÷30＝0.2（km/min），
故答案为：0.2；
（2）6﹣0.2×18＝2.4，
∴点M（18，2.4），
设线段MN对应的函数表达式为y2＝kx+b（k，b为常数），
∵线段经过M（18，2.4）和点N（30，12），
∴18k+b=2.430k+b=12，
解得k=0.8b=−12，
∴线段MN对应的函数表达式为y2＝0.8x﹣12；
（3）如图所示：
23．（2021•鼓楼区二模）小明写完作业后到图书馆找妈妈一起看书．小明从家出发，走了一段路程后突然发现钥匙与图书证忘带，立即打电话给妈妈（打电话时间忽略不计）．妈妈立即骑车从图书馆出发，回家取相关证件并停留片刻后按原速度原路返回．两人距图书馆的路程y（米）与妈妈出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（注：小明和妈妈始终沿同一条直道行进）
（1）小明的速度是 80 米/分，妈妈在家停留了 5 分钟．
（2）当x为何值时，两人相距2100m．
【解答】解：（1）由图象可知：
小明在距图书馆2000米时给妈妈打电话，到达图书馆用了25分钟，
∴小明的速度为：200025=80（米/分），
妈妈的速度为：300015=200（米/分），
妈妈按原速度原路返回总共用时35分，
∴妈妈在家停留了：35﹣15﹣15＝5（分），
故答案为：80，5；
（2）设OA的函数解析式为：y＝kx，
∵A（15，3000），
∴3000＝15k，
解得：k＝200，
∴线段OA的解析式为：y＝200x（0≤x≤15），
设DE的函数解析式为：y＝mx+n，
∵D（0.2000），E（25，0），
∴2000=0+n0=25m+n，
解得：m=−80n=2000，
∴线段DE的函数解析式为：y＝﹣80x+2000（0≤x≤25），
同理，线段BC的函数解析式为：y＝﹣200x+7000（20≤x≤35），
观察图象，两人相距2100米有两种情况，
①妈妈从图书馆回家时，即yOA﹣yDE＝2100，
200x﹣（﹣80x+2000）＝2100，
解得：x=20514（分），
②妈妈从家返回图书馆时，即yBC﹣yDE＝2100，
﹣200x+7000﹣（﹣80x+2000）＝2100，
解得：x=1456（分），
答：当x为20514或1456时，两人相距2100米．
24．（2022•雨花台区校级模拟）阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．
【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的对称点A2，连接A2B可以求解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．
【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是 7 ．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是 32+5 ，此时a＝ 2 ，并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x图象上一点，CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是 34+2 ，此时点C的坐标是 （98，98） ．
【解答】解：【尝试解决】由题意得A1（2，3），B1（5，﹣1），
则A1B1=(5−2)2+(−1−3)2=5，
故A1B1+CD＝5+2＝7，
故答案为：7．
【灵活应用】先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点就是D点，以D点为圆心，AA1的长为半径画圆，与直线y＝1的交点就是C点，连接AC，CD，DB，此时AC+CD+DB最小，最小值即为A1B1+CD，
作图如下：
由作图得，AA1＝DC，且AA1∥DC，
∴四边形AA1DC是平行四边形，且A1（2，2），B1（5，﹣1），C（2，1），D（4，0），
∴最小值为A1B1+CD=(5−2)2+(−1−2)2+(2−4)2+(1−0)2=32+5，此时a为C点的横坐标2，
故答案为：32+5；2；
【拓展提升】
先将点A向右平移2个单位长度得到点A1，得到平行四边形AA1DC，AC＝A1D，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求AC+DA＝A1D+AD的最小值，由题意得：D点在直线y＝x﹣2上，作点A关于直线y＝x﹣2的对称点A′，连接AA'交直线y＝x﹣2于B，连接A1A'，交直线y＝x﹣2的交点为D点，D点往左平移2个单位为C点．如图：
∵AA'与直线y＝x﹣2垂直，
∴设直线AA'解析式为y＝﹣x+m，将A（0，3）代入得：3＝m，
∴直线AA'解析式为y＝﹣x+3，
解y=−x+3y=x−2得x=2.5y=0.5，
∴B（2.5，0.5），
∵B（2.5，0.5）是AA'中点，设A′（x，y），
∴0+x=2.5×23+y=0.5×2，解得x=5y=−2，
∴A′（5，﹣2）
设A1A'所在直线的解析式为y＝kx+b，将A1（2，3）、A'（5，﹣2）代入得：
得3=2k+b−2=5k+b，解得k=−53b=193，
∴y=−53x+193，
∵D点是直线y=−53x+193与直线y＝x﹣2的交点，
解y=−53x+193y=x−2得x=258y=98，
∴D（258，98），
∵C点是将D点向左平移2个单位长度，
∴C（98，98），
∴此时AC+CD+AD=(98−0)2+(98−3)2+2+(258−0)2+(98−3)2=34+2，
故答案为34+2；（98，98）．
25．（2021•秦淮区一模）“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．
（1）若销售的苹果和蜜桔的总成本为27400元，则销售苹果 2600 kg，销售蜜桔 2400 kg．
（2）当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设销售苹果x千克，销售蜜桔（5000﹣x）千克，
则列方程：5x+6（5000﹣x）＝27400，
解得：x＝2600（千克），
5000﹣2600＝2400（千克），
∴销售苹果2600千克，销售蜜桔2400千克，
故答案为：2600，2400；
（2）设销售苹果a千克，销售蜜桔（5000﹣a）千克，
则利润为：w＝（8﹣5）a+（10﹣6）（5000﹣a）＝﹣a+20000，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a≥2000，
∴当a＝2000时，利润最大，
最大利润为：w＝﹣2000+20000＝18000（元），
答：当苹果的销量为2000千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18000元．
26．（2021•建邺区一模）已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中DE、OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象．
（1）乙先出发，甲后出发，相差 1 h；
（2）甲骑摩托车的速度为60km/h，直接写出甲离开A地后s（km）与时间t（h）的函数表达式及自变量t的取值范围；
（3）当乙出发几小时后，两人相遇．
【解答】解：（1）根据题意，得乙先出发，甲后出发，相差1h；
故答案为：1；
（2）由题意，可设甲离开A地后s（km）与时间t（h）的函数表达式为：s甲＝60t+b，
根据题意，可得点E的横坐标为：1+80÷60=73，
∴s甲＝60t+b经过（73，80），
60×73+b=80，
解得b＝﹣60，
∴s甲＝60t﹣60（1≤t≤73）；
（3）由题意设OC解析式为s乙＝kt（k≠0），将（1，0）代入，得k=803，
∴s乙=803t（0≤t≤3），
∴60t﹣60=803t，
解得t＝1.8，
所以两人出发1.8h后，两人相遇．
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
40元
45元
56.4元
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四月份
五月份
六月份
交费金额
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45元
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