中考数学专题练——5二次函数

这是一份中考数学专题练——5二次函数，共26页。试卷主要包含了的图象上，+2的最小值为 　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
2．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜0
3．（2022•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m为常数），它的图象与x轴的公共点个数的情况是（ ）
A．有两个公共点B．有一个公共点
C．没有公共点D．无法确定
4．（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2021•鼓楼区一模）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
6．（2021•江宁区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②a﹣b+c＜0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共10小题）
7．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y=−12x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 ．
8．（2022•鼓楼区二模）已知点（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．若pq＜0，则p，q，m
的大小关系是 （用“＜”连接）．
9．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 ．
10．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ．
11．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若AB=42，则点A的坐标是 ．
12．（2021•秦淮区二模）将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
13．（2022•秦淮区校级模拟）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
14．（2021•建邺区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣4，0），与y轴的交点在（0，0）和（0，3）（不包括这两点）之间，则下列结论：①abc＞0；②一元二次方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根；③函数可取得最大值278；④−34＜b＜0．其中所有正确结论的序号是 ．
15．（2021•建邺区一模）下列关于二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与x轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2021•鼓楼区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2022•雨花台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜x＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
18．（2022•建邺区二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象．利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究．
绘制图象：
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
观察探究：
（2）结合图象，写出该函数的一条性质： ．
（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是 ．
（4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是 ．
延伸思考：
（5）将该函数的图象经过怎样的变换可以得到函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象？写出变换过程，并直接写出当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围．
19．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．
20．（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
（3）落点P与坡顶C之间的距离为 m．
21．（2022•建邺区二模）某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2800．
（1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？
（2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为W（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？
22．（2022•南京二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一：若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二：每亩土地的年租金是600元．
（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是 ；
（2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？并求出最大值；
（3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元（a＞0）给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构．当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金﹣捐款数）
23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 ；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 ；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 ．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
24．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
25．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
中考数学专题练——5二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1+32=1，
∴顶点坐标为（1，﹣1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
2．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜0
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：A．
3．（2022•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m为常数），它的图象与x轴的公共点个数的情况是（ ）
A．有两个公共点B．有一个公共点
C．没有公共点D．无法确定
【解答】解：方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有两个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有2个公共点．
故选：A．
4．（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝ax2﹣2ax，
该函数的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y＞0，
故顶点在第一象限，
故选：A．
5．（2021•鼓楼区一模）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：由题可得：∵A的值始终比B的值大，
∴有x2+a＞2x，
即x2﹣2x+a＞0，
即y＝x2﹣2x+a的函数图象与x轴无交点，
∴△＝4﹣4a＜0，
∴a＞1．
故选：D．
6．（2021•江宁区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②a﹣b+c＜0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：开口向上则a＞0，与y轴交点在原点下方，c＜0，故①正确；
对称轴为x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），则点（﹣1，a﹣b+c）在x轴下方，故②正确；
x＞2时，图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，故③正确；
图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
故选：D．
二．填空题（共10小题）
7．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y=−12x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 ②③④ ．
【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，
∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；
④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
8．（2022•鼓楼区二模）已知点（﹣2，m）、（2，p）和（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．若pq＜0，则p，q，m
的大小关系是 m＜q＜p （用“＜”连接）．
【解答】解：∵A（﹣2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象上．
且pq＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，且对称性直线x＝a（1＜a＜2），如图所示，
观察图象可知：m＜q＜p．
故答案为：m＜q＜p．
9．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 294 ．
【解答】解：∵x+y＝5，
∴xy≤（x+y2）2，
当且仅当x＝y=52时，等号成立，故xy最大值为254，
∴xy+1的最大值为294，
故答案为：294
10．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ﹣2 ．
【解答】解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，
∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
11．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若AB=42，则点A的坐标是 （﹣2，2）或（1，5） ．
【解答】解：如图，
过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD，
∵A、B关于直线y＝x对称，
设A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2，
∴42=(b−a)2+(a−b)2，
（42）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴当a1＝﹣2时，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
点A的坐标为（﹣2，2）；
当a2＝1时，b＝a+4＝1+4＝5，
点A的坐标为（1，5）．
故答案为：（﹣2，2）或（1，5）．
12．（2021•秦淮区二模）将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是 y＝2x2+4x﹣1 ．
【解答】解：将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是y＝2（﹣x）2﹣4•（﹣x）﹣1，即y＝2x2+4x﹣1，
故答案为y＝2x2+4x﹣1，
13．（2022•秦淮区校级模拟）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜1 ．
【解答】解：当y＝0时，﹣x3+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1，
由图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时，y＞0，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1．
14．（2021•建邺区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣4，0），与y轴的交点在（0，0）和（0，3）（不包括这两点）之间，则下列结论：①abc＞0；②一元二次方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根；③函数可取得最大值278；④−34＜b＜0．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：①对称轴为直线x＝﹣1，即−b2a=−1，得出b＝2a，a、b同号，
与y轴的交点在（0，0）和（0，3）（不包括这两点）之间，得出0＜c＜3，
∴abc＞0，正确；
②由对称性得，与x轴的两个交点为（﹣4，0），（2，0），且图象与y轴交于正半轴，
则图象开口向下，即a＜0，b＜0
可以判断y＝ax2+bx+c和y＝b有两个不同的交点，故②正确；
③将（﹣4，0）代入解析式，得16a﹣4b+c＝0，结合b＝2a，得：a=−c8、b=−c4．
∴ymax=a−b+c=98c＜278，故③错；
④∵b=−c4，0＜c＜3，∴−34＜b＜0，故④正确．
故答案为：①②④．
15．（2021•建邺区一模）下列关于二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与x轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【解答】解：①抛物线系数a＝1，
∴开口向上正确；
②当x＝1时代入抛物线解析式y＝12﹣（m+1）×1+m＝0，
∴该函数图象一定经过点（1，0）正确；
③令x2﹣（m+1）x+m＝0，
△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2，
当m＝1时该函数图象与x轴只有一个公共点，
故该函数图象与x轴有两个公共点不正确；
④∵y＝x2﹣（m+1）x+m＝（x−m+12）2+4m−(m+1)24，
∴二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的顶点坐标为（m+12，4m−(m+1)24），
又∵4m−(m+1)24=−(m−1)24=−（m+12−1）2，
∴函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上正确，
故答案为①②④．
16．（2021•鼓楼区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2 ．
【解答】解：由题意得y＝（x﹣m）2﹣1＜0，
∴x−m＜1x−m＞−1，
∴m﹣1＜x＜m+1，
当x＝﹣3时，则﹣4＜m＜﹣2，
当x＝﹣1时，则﹣2＜m＜0，
当x＝1时，则0＜m＜2，
∴m的取值范围是﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2，
故答案为：﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2．
三．解答题（共9小题）
17．（2022•雨花台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）该抛物线的对称轴为 直线x＝2 ；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜x＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3，
∴抛物线经过（0，3），
∵点（4，3）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故答案为：直线x＝2．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x=−b2a=2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+3，
∵m＞0，2﹣m≤x≤2+2m，
∴x＝2时，y＝﹣1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴﹣1＝4a﹣8a+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵2+2m﹣2＞2﹣（2﹣m），
∴x＝2+2m时，y＝3为最大值，
∵m＞0，
∴2+2m＝4，
解得m＝1，
∴a＝1，m＝1．
（3）∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝2，
∴当n≤2时，x＝n﹣2时y＝3n+5，x＝n时，y＝3n﹣3，
∴(n−2)2−4(n−2)+3=3n+5n2−4n+3=3n−3，
解得n＝1，
当n﹣2≥2时，x＝n﹣2时y＝3n﹣3，x＝n时y＝3n+5，
∴(n−2)2−4(n−2)+3=3n−3n2−4n+3=3n+5，
方程无解，
综上所述，n＝1．
18．（2022•建邺区二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象．利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究．
绘制图象：
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
观察探究：
（2）结合图象，写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称（答案不唯一） ．
（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是 x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3 ．
（4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是 b＜﹣4或−74＜b＜94 ．
延伸思考：
（5）将该函数的图象经过怎样的变换可以得到函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象？写出变换过程，并直接写出当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图象知：函数图象关于y轴对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解为x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3，
故答案为：x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3；
（4）当﹣（x﹣2）2＝x+b有两个相等的实数根时，则x2﹣3x+4+b＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（4+b）＝0，
∴b=−74，
当﹣（x+2）2＝x+b有两个相等的实数根时，则x2+5x+4+b＝0，
∴Δ＝52﹣4（4+b）＝0，
∴b=94，
∴方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解时，b＜﹣4或−74＜b＜94，
故答案为：b＜﹣4或−74＜b＜94；
（4）将函数y＝﹣（|x|﹣2）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象，
当2＜﹣（|x﹣1|﹣2）2+3≤3，
∴﹣1＜﹣（|x﹣1|﹣2）2≤0，
∴﹣1＜|x﹣1|﹣2＜1，
∴1＜|x﹣1|＜3，
∴﹣3＜x﹣1＜﹣1或1＜x﹣1＜3，
∴﹣2＜x＜0或2＜x＜4．
19．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴y=(x−2)2+1y=x+n得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞−54．
∴n的取值范围为：n＞−54．
20．（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
（3）落点P与坡顶C之间的距离为 50 m．
【解答】解：（1）∵OA为70m，
∴A（0，70），
设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，
把（0，70）（4，75）（8，78）代入得c=7016a+4b+c=7564a+8b+c=78，
解得a=−116b=32c=70，
所以二次函数的表达式为y=−116x2+32x+70；
（2）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4，
∴OB＝80m，即B（80，0），
设线段BC的关系式为y＝kx+b，则b=6080k+b=0，
解得：k=−34b=60，
所以线段BC的关系式为y=−34x+60，
设M（a，−116a2+32a+70），则N（a，−34a+60），
则MN=−116a2+32a+70+34−60=−116a2+94a+10=−116（a﹣18）2+30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离是30.25米；
（3）如图，
由题意得−116x2+32x+70=−34x+60，
解得x1＝40，x2＝﹣4（舍去），即P（40，30），
∴PD＝40米，OD＝30米，
∴CD＝60﹣30＝30（米），
∴PC=302+402=50（米），
答：落点P与坡顶C之间的距离为50米，
故答案为：50．
21．（2022•建邺区二模）某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2800．
（1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？
（2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为W（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：（x﹣60）（﹣20x+2800）＝24000，
解得x＝120或x＝80，
∵尽量给顾客实惠，
∴x＝80，
答：售价应定为80元；
（2）∵每件利润不允许超过每件进价的50%，
∴x﹣60≤60×50%，
解得x≤90，
∴60≤x≤90，
根据题意得W＝（x﹣60）（﹣20x+2800）＝﹣20x2+4000x+168000＝﹣20（x﹣100）2+32000，
∵﹣20＜0，抛物线对称轴为直线x＝100，
而60≤x≤90，
∴x＝90时，W取最大值，最大值为﹣20×（90﹣100）2+32000＝30000（元），
答：售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元．
22．（2022•南京二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一：若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二：每亩土地的年租金是600元．
（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是 500元 ；
（2）当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？并求出最大值；
（3）农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元（a＞0）给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构．当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金﹣捐款数）
【解答】解：（1）根据题意得：400+5（100﹣80）＝400+100＝500（元），
故答案为：500元；
（2）设出租的土地为x亩，
方式一年总租金为y1元，根据题意，得y1＝[400+5（100﹣x）]•x＝﹣5x2+900x，
方式二年总租金为y2元，根据题意，得y2＝600x，
∴y1﹣y2＝﹣5x2+900x﹣600x＝﹣5（x﹣30）2+4500，
∴当x＝30时，y1﹣y2有最大值4500，
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，最大值为4500元；
（3）设出租x亩土地，方式一的年收入为：﹣5x2+900x﹣ax，
方式二的年收入为：600x﹣1800，
设方式一与方式二的年总收入差为w元，由题意可得：
w＝﹣5x2十900x﹣ax﹣600x+1800
＝﹣5x2+（300﹣a）x+1800
∴对称轴为直线x=−300−a2×(−5)=30−110a，
∵a＞0，
∴对称轴直线x＝30−110a＜30，
∵0＜x≤60，
∴当x＝60时，w取得最小值
w60＝﹣5×602+（300﹣a）×60+1800＝﹣60a+1800，
租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，
则w60＝﹣60a+1800≥0，
即60a≤1800，
解得：a≤30，
∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a≤30．
23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 （1，2） ；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 2 ；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 3 ．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3，
①y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以最小值为2，
故答案为：2；
③y＝x2﹣2x+3，
当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧，
y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3，
故答案为：3；
（2）∵对称轴为x=−b2a=−−2m2=m，
当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝﹣1时，有最小值1，
∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3，
解得m=−32；
当1﹣≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝m时，有最小值1，
∴1＝m2﹣2m×m+3，
∴m=±2，
∵﹣1≤m≤3，
∴m=2；
当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝3时，有最小值1，
∴1＝32﹣2m×3+3，
解得m=116＜3，舍去．
综上所述，m=−32或2．
24．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
【解答】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，
当a＝1时，y1＝y2，
当0＜a＜1时，y1＜y2；
（3）∵二次函数v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函数的图象交轴于（﹣1，0）和（1+a，0）两点，
对称轴x=−−a(a+2)2a=a+22，
当x=a+22时，
y＝a（a+22−1）（a+22−1﹣a）＝a×a2×（−a2）=−a34
∴二次函数图象的顶点坐标为（a+22，−a34），
由（2）可知：当x＝0时，y1＝a2+a，
当t＝3时，y2＝﹣2a2+4a，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴a2+a≤2−2a2+4a≤2，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x=a+22，
当0＜a+22＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴−a24＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
当2+a2≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
25．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
【解答】解：（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得0=1−2(p+1)+q−5=q，
解得p=−3q=−5．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，
∴y1＝x 12+4x1﹣5，y2＝x 22+4x2﹣5，
∴y1+y2＝x 12+x 22+4（x1+x2）﹣10，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴y1+y2＝x 12+（2﹣x1）2﹣2＝2x 12−4x1+2＝2（x1﹣1）2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…