中考数学专题练——7四边形

这是一份中考数学专题练——7四边形，共35页。试卷主要包含了，以下结论等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．（2022•秦淮区一模）如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ）
A．0.9B．1.2C．1.5D．1.8
3．（2022•鼓楼区一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
4．（2022•南京一模）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AC＝BDD．BC＝CD
5．（2022•雨花台区校级模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．AC⊥BD
6．（2021•秦淮区二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
7．（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（ ）
A．6B．7C．8D．10
8．（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
二．填空题（共10小题）
9．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD＝2，则EF的长是 ．
10．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB＝a，CF＝b，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）
11．（2022•玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1﹣∠2＝ °．
12．（2022•南京二模）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标为A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），则点D的坐标是
13．（2022•鼓楼区二模）如图，正六边形ABCDEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，若∠ABG＝19°，则∠NMD的度数是 °．
14．（2022•鼓楼区一模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．若OE＝5，BD＝12，则AC＝ ．
15．（2022•南京一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
16．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，则∠C＝ °．
17．（2021•建邺区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是 ．
18．（2021•建邺区二模）如图，直线l将正九边形ABCDEFGHI分为两个区域，且分别与AB、FG相交于P点、Q点．若∠APQ＝85°，则∠PQF＝ °．
三．解答题（共9小题）
19．（2022•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为 时，四边形BCDE为正方形．
20．（2022•秦淮区二模）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，AD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）要使四边形ADCF是菱形，△ABC的边需要满足的条件是 ．
21．（2022•玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．
（1）求证EF＝EC；
（2）连接AC，DF，若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF为矩形．
22．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）若AB＝4，BC＝8，当AE的长为 时，四边形BHDG是菱形．
23．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝53，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是 ．
A．3
B．52
C．3
D．23
（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．
（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
24．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为 ．
25．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 （填写满足要求的所有条件的序号）．
26．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；
（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．
27．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 ．
中考数学专题练——7四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022•秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确；
②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确；
③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故③不正确；
故选：A．
2．（2022•秦淮区一模）如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（ ）
A．0.9B．1.2C．1.5D．1.8
【解答】解：点P在正方形边AD上运动，
当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，
此时tan∠BPC＝tan45°＝1；
当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，
如图，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，
设正方形的边长为1，则AP′＝DP′=12，
∴BP′=AB2+AP'2=12+(12)2=52，
同理CP′=CD2+DP'2=12+(12)2=52，
∵BE⊥CP′，
∴∠BEC＝∠CDP′＝90°，
∵∠BCE+∠DCP′＝DCP′+∠CP′D＝90°，
∴∠BCE＝∠CP′D，
∴△BCE∽△CP′D，
∴BCCP'=BECD=CEDP'，
∴152=BE1=CE12，
∴BE=255，CE=55，
∴P′E＝CP′﹣CE=52−55=3510，
∴tan∠BP′C=BEP'E=255×1035=43，
∴1≤tan∠BPC≤43，
∴tan∠BPC的值可能是1.2，
故选B．
3．（2022•鼓楼区一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
【解答】解：A、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（2022•南京一模）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AC＝BDD．BC＝CD
【解答】解：在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：D．
5．（2022•雨花台区校级模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．AC⊥BD
【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．
故选：C．
6．（2021•秦淮区二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【解答】解：①连接AC并延长至点E，
∵∠BCE为△ABC的外角，
∴∠BCE＝∠BAC+∠B，
∵∠DCE为△DAC的外角，
∴∠DCE＝∠CAD+∠D，
∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D．
故①正确，符合题意．
②连接AC，BD，
在△ABC和△ACD中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ACD（SSS）．
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AC⊥BD，
故②正确，符合题意．
③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，
不能得出BC＝CD．
故③错误，不符合题意．
④连接BD，假设存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC，
则在△ABD和△CDB中，
AB=CDAD=BCBD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D，
故④错误，不符合题意．
故选：A．
7．（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
8．（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是36°，
∴n＝360°÷36°＝10，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
9．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD＝2，则EF的长是 1 ．
【解答】解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AC＝BD＝2．
∵E，F分别是BA，BC的中点．
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF=12AC=12×2＝1．
故答案为：1．
10．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB＝a，CF＝b，则BE的长为 4a2−b2 ．（用含a，b的代数式表示）
【解答】解：过点E作EH∥AB交BC于H，连接AH，AH交BE于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠EBH，
四边形ABHE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBH，
∴AB＝AE，
∴四边形ABHE是菱形，
∴AH⊥BE，OB＝OE，OA＝OH，AH平分∠BAD，
∴∠AHB＝∠HAD=12∠BAD，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB=12∠BCD，
∴∠AHB＝∠FCB，
∴AH∥CF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AH＝CF＝b，
∴OA=12AH=b2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=AB2−OA2=a2−(b2)2=4a2−b22，
∴BE＝2OB=4a2−b2，
故答案为：4a2−b2．
11．（2022•玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1﹣∠2＝ 36 °．
【解答】解：如图，过M作EM∥BC，
∵五边形AEFGH是正五边形，
∴∠AEF＝∠EAH=15×（5﹣2）×180°＝108°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AD∥EM，
∴∠AEM+∠DAE＝180°，
即∠AEM+∠2+∠EAH＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠AEM﹣∠EAH＝180°﹣∠AEM﹣108°＝72°﹣∠AEM，
∵EM∥BC，
∴∠1+∠AEM＝108°，
∴∠1＝108°﹣∠AEM，
∴∠1﹣∠2＝108°﹣∠AEM﹣（72°﹣∠AEM）＝108°﹣∠AEN﹣72°+∠AEM＝36°，
故答案为：36．
12．（2022•南京二模）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标为A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），则点D的坐标是 （5，6）
【解答】解：∵▱ABCD的顶点坐标为A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），
∴点D的坐标是（5，6），
故答案为：（5，6）．
13．（2022•鼓楼区二模）如图，正六边形ABCDEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，若∠ABG＝19°，则∠NMD的度数是 41 °．
【解答】解：∵四边形GHMN是平行四边形，
∴GH∥MN，
∴∠NMD＝∠H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝（6﹣2）×180°×16=120°，
∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，
∵∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣19°＝101°，
∴∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝101°﹣60°＝41°，
∴∠NMD＝41°，
故答案为：41．
14．（2022•鼓楼区一模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．若OE＝5，BD＝12，则AC＝ 16 ．
【解答】解：∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，
∴DO⊥CO，DO＝BO=12BD＝6，
∵E是DC边上的中点，
∴OE=12DC，
∴DC＝10，
∴OC=DC2−DO2=8，
∴AC＝2OC＝16，
故答案为：16．
15．（2022•南京一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 455 ．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC=AC2+AB2=25，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴COBC=OP'AB，
∴225=OP'2，
∴OP′=255，
∴则PQ的最小值为2OP′=455，
故答案为：455．
16．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，则∠C＝ 115 °．
【解答】解：∵四边形AEFG为正方形，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠CEF＝90°﹣13°＝77°，
∵∠B+∠BAE+∠BEA＝180°，
∴∠B＝180°﹣38°﹣77°＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝115°，
故答案为：115．
17．（2021•建邺区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是 6037≤DE≤209 ．
【解答】解：如图1，当DEFG为正方形时，亦为菱形，
∵GF∥AB．
∴sinA＝sin∠CGF=BCAB=35，sinB＝sin∠CFG=ACAB=45，
设DE＝x，则由题意可得AB=AC2+BC2=5，
∴CF=35x，CG=45x，BF=EFsinB=x45=54x，
∵CF+BF＝BC，
∴35x+54x=3，解得：x=6037．
如图2，当点E与点B重合时，即当DBFG为菱形时，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CFCB=GFAB，
∴3−BF3=BF5，解得：BF=158，
即DE=158．
如图3，当点D与点A重合时，即当GAEF为菱形时，
设菱形边长为y，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CGCA=GFAB，
∴4−y4=y5，解得：y=209．
由于6037＜158＜209，
综上所述，DE的取值范围为6037≤DE≤209．
故答案为：6037≤DE≤209．
18．（2021•建邺区二模）如图，直线l将正九边形ABCDEFGHI分为两个区域，且分别与AB、FG相交于P点、Q点．若∠APQ＝85°，则∠PQF＝ 105 °．
【解答】解：正九边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°，
每个内角的度数为：1260°÷9＝140°，
六边形APQGHI的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠PQG＝720°﹣140°×4﹣85°＝75°,
∴∠PQF＝180°﹣∠PQG＝180°﹣75°＝105°,
故答案为：105．
三．解答题（共9小题）
19．（2022•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为 5 时，四边形BCDE为正方形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC为BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE∥CD，
∴∠EBO＝∠CDO，
在△EOB和△COD中，
∠EBO=∠CDO∠BOE=∠DOCOB=OD
∴△EOB≌△COD（ASA），
∴EO＝CO，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵CB＝CD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：设OB＝x，
∵四边形BCDE是菱形，
∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，
此时BC=2x，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE＝2x，
在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝52，
解得x1=102，x2=−102（舍去），
∴BC=2×102=5，
即当BC的长为5时，四边形BCDE为正方形．
20．（2022•秦淮区二模）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，AD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）要使四边形ADCF是菱形，△ABC的边需要满足的条件是 AB2+AC2＝BC2 ．
【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴AE＝EC，DE∥AB，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）解：AB2+AC2＝BC2，四边形ADCF是菱形，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝90°，
∴DF⊥AC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．
故答案为：AB2+AC2＝BC2．
21．（2022•玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．
（1）求证EF＝EC；
（2）连接AC，DF，若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF为矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EDC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
∵AE＝DE，∠FEA＝∠DEC，∠FAE＝∠EDC，
∴△EAF≌△DEC（ASA），
∴EF＝EC；
（2）如图，
∵EF＝EC，AE＝DE，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵AC平分∠FCB，
∴∠ACE＝∠ECA，
∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴AE＝CE，即AD＝FC，
∴四边形ACDF为矩形．
22．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）若AB＝4，BC＝8，当AE的长为 3 时，四边形BHDG是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠AGE＝∠CHF，
∵∠BAD+∠GAE＝∠BCD+∠HCF＝180°，
∴∠GAE＝∠HCF＝90°，
在△AGE和△CHF中，
∠AGE=∠CHF∠GAE=∠HCF=90°AE=CF，
∴△AGE≌△CHF（AAS），
∴AG＝CH，
∴AB+AG＝CD+CH，即BG＝DH，
∵AB∥CD
∴四边形BHDG是平行四边形；
（2）∵四边形BHDG是菱形，
∴BH＝DH，
∵BH2＝BC2+CH2，
∴BH2＝64+（BH﹣4）2，
∴BH＝10＝DH，
∴CH＝6，
∵AB∥CD，
∴△BGF∽△CHF，
∴CHBG=CFBF，
∴610=CF8−CF，
∴CF＝3，
故答案为：3．
23．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝53，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是 C ．
A．3
B．52
C．3
D．23
（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．
（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC于点F，连接AC，
∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B＝90°，
∵AD＝5，DC＝53，
∴AC=AD2+CD2=52+(53)2=10，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴QA＝1，QM=3，
∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，
∴四边形MQBF是矩形，
∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，
∵MF⊥CB，OE⊥BC，
∴OE∥MF，
∴ONOM=NEEF，
∵OM＝ON，
∴NE＝EF，
∴OE=12MF＝3，
故选：C；
（2）过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，
∵点P是线段MN的“勾股点”，
∴∠MPN＝90°，
∴∠QPM＝∠BNP，
又∵∠Q＝∠B＝90°，
∴△QPM∽△BNP，
∴QPBN=QMBP，
∴3BN=33，
∴BN＝33；
（3）①如图，以MN为直径的圆经过点A时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∵∠NAM＝∠D＝90°，
∴AN∥CD，
∴∠C＝∠BNM＝60°，
∴BN=ABtan60°=53=533，
如图，当BN=3时，线段MN有一个“勾股点”，
∴当0＜BN＜533且BN≠3时，线段MN恰好有两个“勾股点”；
②如图，当以MN为直径的圆经过点C和D时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∴BN＝BC＝53．
综上所述，当0＜BN＜533且BN≠3或BN＝53时，线段MN恰好有两个“勾股点”．
24．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为 3 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴BE=12BC，DF=12CD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）解：连接AC交EF于H，连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴S△ABC＝S△ADC＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴S△ACE＝S△ACF＝2，EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴CHCO=CEBC=12，
∴CO＝2CH，
∴AC＝4CH，
∴S△AEH=34S△AEC=32，S△AFH=34S△AFC=32，
∴S△AEF＝3，
故答案为：3．
25．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 ①② （填写满足要求的所有条件的序号）．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°．
∴∠C+∠B＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
连接BD，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
又∵②AB＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①②．
26．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；
（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=12AB，CF=12CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理：DE∥BF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）解：当▱ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EE=12AB，CF=12CD，
∴BE＝CF，
在△EBC与△FCB中，
BE=CF∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△EBC≌△FCB（SAS），
∴CE＝BF，∠ECB＝∠FBC，
∴BH＝CH，
∴CE﹣CH＝BF＝BH，
即EH＝FH，
∴平行四边形EHFG是菱形．
27．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 96 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12DC，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：连接EF，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵M，N分别是BF，DE的中点，
∴EN＝DN＝BM＝FM=12BF，
∵EM＝EN＝5，
∴EM=12BF，
∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，
∵AB＝12，
∴BE＝6，
∴EF=BF2−BE2=8，
∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，
故答案为：96．