04正、余弦定理在几何中的应用（正、余弦定理判定三角形的形状）-【三角函数与解三角形专题】2024届

这是一份04正、余弦定理在几何中的应用（正、余弦定理判定三角形的形状）-【三角函数与解三角形专题】2024届，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
2．三条线段的长分别为6，7，9，则用这三条线段（ ）
A．能组成锐角三角形B．能组成直角三角形
C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形
3．在和中，若，，则（ ）
A．与均是锐角三角形
B．与均是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
4．在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
5．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形D．等腰直角三角形
6．在中，，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
7．设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形
B．C为直角的直角三角形
C．C为顶角的等腰三角形
D．A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形
8．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
9．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为
A．等边三角形B．直角边不相等的直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
10．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
11．在△中，，，，下列说法中正确的是
A．用、、为边长不可以作成一个三角形
B．用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形
C．用、、为边长一定可以作成一个直角三角形
D．用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形
12．已知中，三边长分别为a，b，则三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
二、多选题
13．一个锐角三角形的三边长为，，，则，，的值可能为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
14．下列命题错误的是（ ）
A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比
B．在中，若，则
C．在的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个
D．当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形
三、填空题
15．在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是 ．
16．在三角形ABC中，若，则三角形ABC是三角形 .
17．在△ABC 中，若，则△ABC的形状是 .
18．在中，由以下各个条件分别能得出为等边三角形的有： .
①已知且；②已知且；
③已知且；④已知且.
四、解答题
19．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)证明；△ABC是钝角三角形；
(2)在四个条件① ② ③ ④中，哪三个条件同时成立能使△ABC存在？请说明理由．
20．设钝角△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，其中R是外接圆的半径．
(1)若，求C的大小；
(2)若，，证明：为等腰三角形．
21．设的内角 所对的边分别为 ，已知．
(1)求角A；
(2)若，求证：是直角三角形．
22．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
参考答案：
1．D
【分析】由余弦定理化简计算即可.
【详解】由及余弦定理得：，即.
故选：D
2．A
【分析】首先根据三角形任两边之和大于第三边可判断能构成三角形，再根据大边对大角，计算最长边对应的余弦值即可判断三角形的形状，从而得到答案.
【详解】根据三角形任两边之和大于第三边可判断能构成三角形，
不妨设的三边分别为，，，
因为，所以角为最大的角.
因为，，
所以为锐角，故三角形为锐角三角形.
故选：A
3．D
【分析】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断是锐角三角形，然后再由，判断的形状即可得到结果.
【详解】在和中，因为，
所以均为锐角，即为锐角三角形.
另一方面，可得或
即，
所以为锐角或者钝角，
同理可得为锐角或者钝角，
但是中必然有一个为钝角，否则不成立，所以为钝角三角形.
故选:D
4．C
【分析】分别在和中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到，然后在中，由余弦定理判断.
【详解】解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式相加得，则，，
在中，由余弦定理得，
所以是钝角三角形，
故选：C
5．A
【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求．
【详解】向量，共线，，
由正弦定理得：，
，则，
，，，即．
同理可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
6．A
【分析】根据三角形三边的性质，大边对大角，先利用余弦定理求出最大角的余弦值，进而判断三角形的形状即可.
【详解】在中，因为，则，
所以，由余弦定理可知：
，
所以角为钝角，则为钝角三角形，
故选：A.
7．D
【分析】将式子去分母整理即可得到，即可判断；
【详解】解：，
，
即，
合并得：，
，
，
，
，
，
或，
所以为以为顶角的等腰三角形或为顶角的等腰三角形；
故选：D．
8．D
【分析】由已知条件可以得到然后分与两种情况，若可直接判断，若，则得到，结合正弦定理边化角即可判断.
【详解】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
9．A
【解析】由、、依次成等差数列可得，利用余弦定理可得：，结合整理可得：，问题得解．
【详解】因为、、依次成等差数列，
所以
由余弦定理可得：
将代入上式整理得：
所以，又
可得：为等边三角形
故选A
【点睛】本题主要考查了等差数列的概念及余弦定理，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题．
10．A
【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.
【详解】因为在三角形中，变形为
由内角和定理可得
化简可得：
所以
所以三角形为钝角三角形
故选A
【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.
11．B
【分析】由三角形的性质可得：任意两边之和大于第三边，再由余弦定理即可得出结果.
【详解】因为在△中，，，，
所以，，，
所以，所以；
同理可得；，故、、可以作为三角形的三边；
若、、分别对应三角形的三边，根据余弦定理可得：
；；；
即、、所对应的三个角均为锐角，
所以用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形.
故选B
【点睛】本题主要考查三角形的性质以及余弦定理，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
12．A
【详解】解析过程略
13．AD
【分析】根据锐角三角形与余弦定理的关系，转化为较小两边平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形，逐项验证即可.
【详解】解：锐角三角形的三边长为，，其充要条件为：最大角的余弦值大于零.
结合三角形大边对大角可知：较小两边平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形.
所以对于A，，符合；
对于B，，不构成三角形三边，不符合
对于C，，不符合；
对于D，，符合.
故选：AD．
14．ACD
【分析】对于ACD，举例判断，对于B，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.
【详解】对于A，等腰直角三角形的三边比为，而三个内角的比为，所以A错误，
对于B，在中，当时，由正弦定理可得，因为在三角形中大边对大角，所以，所以B正确，
对于C，在中，若三个角确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C错误，
对于D，在中，时，由余弦定理可知角为锐角，而角的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D错误，
故选：ACD
15．等边三角形
【解析】由和余弦定理可得，由得，然后将化为即可.
【详解】因为
所以，因为
所以
因为，所以
所以，即，所以
所以，因为，
所以
所以是等边三角形
故答案为：等边三角形
【点睛】本题考查的是用正余弦定理判断三角形的形状，较为典型.
16．直角
【详解】解析过程略
17．钝角三角形
【分析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判断的取值范围
【详解】解：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得
是钝角三角形
故答案为钝角三角形．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题
18．①③
【分析】根据余弦定理求得边的关系即可判断①，利用正弦值求解角即可判断②，利用边的关系及完全平方式判断③，利用正弦定理及二倍角求出角判断④.
【详解】对于①，因为，所以，由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，所以，
所以为等边三角形；
对于②，因为，，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以为等腰三角形；
对于③，因为且，所以，所以，所以，
又，所以，所以为等边三角形；
对于④，因为，所以，即，所以，
所以或，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以，所以为直角三角形；
故答案为：①③
【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）如果题目给的边的关系，往往配方找到边的等量关系判断，（2）利用余弦定理化边为角，判断三角形的形状，（3）利用正弦定理化角为边，利用边长关系判断三角形的形状，其中边角互化是解决此类问题的关键.
19．(1)证明见解析；
(2)条件①③④同时成立能使△ABC存在，理由见解析
【分析】（1）根据正余弦定理将角的正弦化为边长的关系，再利用余弦定理即可；
（2）先分析条件①②不能同时成立，然后再分类讨论①③④，②③④能否同时成立.
【详解】（1）因为，由正弦定理可知．
由余弦定理可得，所以．
于是△ABC是钝角三角形．
（2）由（1）知，若①成立，则；若②成立，则．
因为，所以①与②不能同时成立．③④将同时成立，
由正弦定理可得：．
若①③④同时成立，则，由（1）可知．从而，△ABC存在．
若②③④同时成立，则，△ABC不存在．
综上，条件①③④同时成立能使△ABC存在．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）应用正余弦边角关系及三角形内角性质得，即可求C的大小；
（2）由（1）及题设易知，则有，应用余弦定理可得，进而确定三角形形状.
【详解】（1）因为，由余弦定理得：，所以，
由正弦定理得：，所以，
又，，所以，又，所以．
（2）由题意得，，
由（1）知：，所以，
所以，则，即，即，
在中，在中，
所以，解得，故，
又，故，，
所以为等腰三角形．
21．(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.
【详解】（1）由条件，得，
即，亦即，
故，因为，所以．
（2）证明：由正弦定理及得，
由（1）知，故，于是，
则，即，
因，故，又，
从而，
所以，则，
因此是直角三角形．
22．(1)
(2)等边三角形
【分析】（1）由条件结合诱导公式和正弦定理可得，从而得到，得出答案.
（2）由条件可得，结合余弦定理可得，从而得到，结合可判断出三角形的形状.
【详解】（1）因为，由诱导公式得
由正弦定理得
∵，∴，即∴
∵，∴
（2）∵b，a，c成等比数列，则∴
又因为
即，所以，即∴
又∵，△ABC为等边三角形