2022-2023学年河南省开封市通许县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省开封市通许县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2022的相反数是( )
A. 12022B. −12022C. 2022D. −2022
2.如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为( )
A. 3×10−5B. 3×10−4C. 0.3×10−4D. 0.3×10−5
4.下列说法中，正确的是( )
A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B. “太阳东升西落”是不可能事件
C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
5.下列运算正确的是( )
A. a3+a4=a7B. a8÷a2=a4C. (2a4)3=8a7D. 2a3⋅a4=2a7
6.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=45°，那么∠BAF的大小为( )
A. 15°B. 10°C. 20°D. 25°
7.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是( )
A. 400x−50=300xB. 300x−50=400xC. 400x+50=300xD. 300x+50=400x
8.定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q.有[m,p]※[q,n]=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5−2k,k]=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k<54且k≠0B. k≤54C. k≤54且k≠0D. k≥54
9.当作用于一个物体的压力F(N)一定时，这个物体所受的压强p(Pa)与它的受力面积S(m2)的函数表达式为p=FS(S≠0)，则下列描述不正确的是( )
A. 当压力F=5N，受力面积S为1m2时，物体所受压强为5Pa
B. 图像位于第一、三象限
C. 压强p(Pa)随受力面积S(m2)的增大而减小
D. 图像不可能与坐标轴相交
10.在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(−1,0)，每一次将△AOB绕着点O顺时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2022的坐标为( )
A. (−22022,0)B. (22022,0)C. (22022,22022)D. (−22021,−22022)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式组6−2x≥02x12.荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是______．
13.若一次函数y=x+b(b是常数)的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是______(写出一个即可)．
14.如图，已知∠MON，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM、ON分别交于A、B，再分别过点A、B作OM、ON的垂线，交点为P，画射线OP，可以判定△AOP≌△BOP，依据是______(请从“SSS，SAS，AAS，ASA，HL”中选择一个填入)．
15.如图，矩形ABCD中，AB=2 3，BC=4，连结对角线AC，E为AC的中点，F为AB边上的动点，连结EF，作点C关于EF的对称点C′，连结C′E，C′F，若△EFC′与△ACF的重叠部分(△EFG)面积等于△ACF的14，则BF= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
先化简：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，并从0，−1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
17.(本小题8分)
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是______，女生收看“两会”新闻次数的中位数是______；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如表)．
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．
18.(本小题8分)
如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．
参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点(点A在点B左侧)，已知A点的纵坐标是2；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出−12x>kx的解集；
(3)将直线l1：y=−12x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
20.(本小题8分)
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
(2)请再仔细阅读上面的操作步骤，在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
(3)上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA′Z′Y′放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是______．
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
21.(本小题8分)
5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
22.(本小题8分)
某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=6，CB=8，点D是边CB上的一个动点，连接
AD.若△ABD是等腰三角形，求线段CD的长．
(1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程；
(2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整．
①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格：
表格中a的值为______；
②然后将CD的长作为自变量x(0≤x≤8)，AD的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．
写出该函数的一条性质______；
③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：______；
④继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值(精确到0.1)．
23.(本小题8分)
问题提出
在等腰Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别在边AB，AC上(不同时在点A)，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，探究AF与BC的位置关系．
问题探究
(1)先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出AF与BC的位置关系；
(2)再探讨一般情形，如图2，证明(1)中的结论仍然成立．
问题拓展
(3)如图3，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AB的中点，点E在边AC上，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，点K是点C关于直线AB的对称点，若点K，D，F在一条直线上，求AEEC的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2022的相反数等于−2022，
故选：D．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2.【答案】B
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：B．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【解答】
解：0.00003=3×10−5．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
根据全面调查与抽样调查，随机事件，统计图，概率等相关知识逐一判断即可解答．
【解答】
解：A：调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故A符合题意；
B：“太阳东升西落”是必然事件，故B不符合题意；
C：为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故C不符合题意；
D：任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】
本题考查了全面调查与抽样调查，随机事件，统计图，概率等知识，熟练掌握相关的概念是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、a3与a4不是同类项，不能合并，错误；
B、a8÷a2=a6，错误；
C、(2a4)3=8a12，错误；
D、2a3⋅a4=2a7，正确；
故选D．
根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的乘法和除法，对各项计算后即可判断．
本题考查包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法和除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
6.【答案】A
【解析】解：由题意知DE/​/AF，
∴∠AFD=∠CDE=45°，
∵∠B=30°，
∴∠BAF=∠AFD−∠B=45°−30°=15°，
故选：A．
由DE/​/AF得∠AFD=∠CDE=45°，再根据三角形的外角性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
400x=300x−50，
故选：B．
根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得k(x2+1)+(5−2k)x=0，
整理得kx2+(5−2k)x+k=0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ=(5−2k)2−4k2≥0，解得k≤54且k≠0．
故选：C．
先根据新定理得到k(x2+1)+(5−2k)x=0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(5−2k)2−4k2≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：A.当压力F=5N，受力面积S为1m2时，p=51=5pa，故本选项不符合题；
B.结合实际意义可知S>0，即函数图像位于第一象限，故本选项符合题；
C.压强p(Pa)随受力面积S(m2)的增大而减小，故本选项不符合题；
D.根据题意可知，S≠0，又F≠0，由此可得p≠0，故图像不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题．
故选：B．
根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，关键是掌握相关性质．
10.【答案】A
【解析】解：∵A(−1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
∵2022÷6=374，
∴第2022次旋转后，点A2与点A的位置相同，都在x轴的负半轴上，
∵第一次旋转后，OA1=2，
第二次旋转后，OA2=22，
第三次旋转后，OA3=23，
……
∴第2022次旋转后，OA2022=22022，
∴点A2022的坐标为(−22022,0)，
故选：A．
根据旋转角度为60°，可知每旋转6次点A的位置重复出现，由此可知第2022次旋转后，点A2与点A的位置相同，都在x轴的负半轴上，再由OAn=2n，即可求解．
本题考查图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11.【答案】x≤3
【解析】解：6−2x≥0 ①2x由不等式①得，x≤3，
由不等式②得，x<4，
故原不等式组的解集为：x≤3．
故答案为x≤3．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
12.【答案】35
【解析】解：画树状图如下：
由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为P(一男一女)=1220=35，
故答案为：35．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】1(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
根据一次函数的图象经过第一、二、三象限可知b>0，则从大于0的数中取一个即可．
【解答】
解：∵一次函数y=x+b(b是常数)的图象经过第一、二、三象限，
∴b>0，
∴b可取一切大于0的数，如1，2，3，...，等，
故答案为：1(答案不唯一)．
14.【答案】HL
【解析】解：由题意知OA=OB，∠OAP=∠OBP=90°，
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
OP=OPOA=OB，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，
故答案为：HL．
据直角三角形全等的判定HL定理，可证△AOP≌△BOP．
本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．
15.【答案】2 3− 7或2 3+ 7
【解析】解：如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥CF于M，EN⊥FC′于N．
∵△EFC′与△ACF的重叠部分(△EFG)面积等于△ACF的14，
∴EG=AG，
∵∠EFC=∠EFC′，EM⊥BC于M，EN⊥FC′于N，
∴EM=EN，
∴S△EFCS△FEG=ECEG=12FC⋅EM12FG⋅EN=2，
∴FC=2FG，
∵FC′=FC，
∴FG=C′G，
∵AG=GE，
∴四边形AFEC′是平行四边形，
∴EC′=AF=EC=12AC=12× (2 3)2+42= 7，
∴FB=2 3− 7；
如图2中，点F在线段BA的延长线上时，
同法可得AF=EC′=EC= 7，
∴BF=2 3+ 7；
故答案为2 3− 7或2 3+ 7．
分两种情形，①如图1中，当点F在线段AB上时，连接C′E，C′A，作EM⊥BC于M，EN⊥PC′于N.只要证明四边形AFEC′是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F在线段AB的延长线上时，同法可求．
本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】解：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1
=3−(a−1)(a+1)a+1⋅a+1(a−2)2
=(2+a)(2−a)a+1⋅a+1(a−2)2
=−2+aa−2，
∵a≠−1且a≠2，
∴当a=0时，原式=−2+00−2=1．
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，−1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
17.【答案】(1)20，3；
(2)由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为1320×100%=65%
所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%
设该班的男生有x人
则x−(1+3+6)x=60%，解得：x=25
答：该班级男生有25人；
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为1×2+2×5+3×6+4×5+5×220=3，
女生收看“两会”新闻次数的方差为：2(3−1)2+5(3−2)2+6(3−3)2+5(3−4)2+2(3−5)220=1310
因为2>1310，所以男生比女生的波动幅度大．
【解析】解：(1)20，3；
(2)见答案．
(3)见答案．
【分析】
(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数．
(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可．
(3)比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠ACB=45°，
∴AD=CD，
设AB=x，
在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cs58°≈0.53x，
又∵BC=221，即CD+BD=221，
∴0.85x+0.53x=221，
解得，x≈160，
答：AB的长约为160m．
【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
19.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−12x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y=2时，x=−4，
∴A(−4,2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k=−4×2=−8，
∴反比例函数的表达式为y=−8x；
(2)∵直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，
∴B(4,−2)，
∴不等式−12x>kx的解集为x<−4或0(3)如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD//AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△AOD+S△BOD=30，即12OD(|yA|+|yB|)=30，
∴12×OD×4=30，
∴OD=15，
∴D(15,0)，
设平移后的直线l2的函数表达式为y=−12x+b，
把D(15,0)代入，可得0=−12×15+b，
解得b=152，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y=−12x+152．
【解析】(1)直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A(−4,2)，代入反比例函数解析式可得k的值；
(2)依据直线l1：y=−12x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，即可得到不等式−12x>kx的解集为x<−4或0(3)设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD/​/AB，即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等，求得D(15,0)，即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为(15,0)．
20.【答案】(1)四边形AXYZ是菱形．
证明：∵ZY//AC，YX//ZA，
∴四边形AXYZ是平行四边形．
∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形．
(2)证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY//AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY．
(3)D(或位似)
【解析】解：(1)见答案．
(2)见答案．
(3)通过作平行线把四边形BA′Z′Y′放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA′Z′Y′∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．
故答案是：D(或位似)．
【分析】
(1)四边形AXYZ是菱形．首先由“两组对边相互平行的四边形是平行四边形”推知四边形AXYZ是平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；
(2)利用菱形的四条边相等推知AX=XY=YZ.根据等量代换得到AX=BY=XY．
(3)根据位似变换的定义填空．
考查了相似综合题型，掌握菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，位似变换，位似图形的两个图形必须是相似形．
21.【答案】解：(1)设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
3000a+3500b=32000(3400−3000)a+(4000−3500)b=4400，
解得，a=6b=4，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
(2)设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30−x)部，获得的利润为w元，
w=(3400−3000)x+(4000−3500)(30−x)=−100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30−x≤2x，
解得，x≥10，
∵w=−100x+15000，k=−100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=10时，w取得最大值，此时w=14000，30−x=20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
(1)根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
(2)根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
22.【答案】解：(1)∵△ABD为等腰三角形时，
∴AD=BD，
设CD=x，则BD=8−x，
∴AD=BD=8−x．
在直角三角形ACD中，利用勾股定理，可得：62+x2=(8−x)2．
解得：x=74．
所以当△ABD为等腰三角形时，CD的长为74．
(2)①10；
② y随x的增大而增大；
③ CD+BD=8；
④由上可知，CD与BD的关系为：y=−x+8，在图中画出图象如下所示，
当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值1.8．
【解析】解：(1)见答案．
(2)①当CD=8时，点D与点B重合，AD=AB=10；
故答案为：10．
②由图象可直接得到y随x的增大而增大；
故答案为：y随x的增大而增大；
③由图形可直接得到CD+BD=8；
故答案为：CD+BD=8；
④见答案．
(1)设CD=x，则AD=BD=8−x.利用勾股定理，可得：62+x2=(8−x)2.解得：x=74．
(2)①当CD=8时，点D与点B重合，AD=AB=10；
②由图象可直接得到y随x的增大而增大；
③由图形可直接得到CD+BD=8；
④在坐标系中画出y=−x+8，当CD=BD时找到CD的值．
本题考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判断和性质以及勾股定理的应用，题目以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．
23.【答案】(1)AF//BC；
(2)证明：如图2，过E作EM⊥AC交AB的延长线于点M，
则∠AEM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
在△AEM中，∠AEM=90°，∠BAC=45°
∴∠AME=45°
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴ME=AE
由旋转的性质得：FE=DE，∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠AEM，
∴∠DEF−∠AED=∠AEM−∠AED，
即∠AEF=∠MED，
在△AEF和△MED中，
AE=ME∠AEF=∠MEDFE=DE
∴△AEF≌△MED(SAS)，
∴∠EAF=∠EMD=45°，
∴∠EAF=∠BCA，
∴AF/​/BC；
(3)解：如图3，连接AF、CF，过E作EG⊥AB于点G，延长GE交CF于点H，
则∠EGD=90°，
由(1)可知，AF/​/BC，
∴∠DAF=∠DBK，∠AFD=∠K，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADF和△BDK中
∠DAF=∠DBK∠AFD=∠KAD=BD
∴△ADF≌△BDK(AAS)，
∴AF=BK，
∵点K是点C关于直线AB的对称点，
∴BK=BC，
∴AF=BC，
又AF/​/BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCF是正方形，
∴AB/​/CF，∠BCF=90°，∠ACF=45°，
∵GH⊥AB，
∴GH⊥CF，
∴BG=CH，∠CHE=∠FHE=90°，
∴∠EFH+∠FEH=90°，
由旋转的性质得：FE=DE，∠DEF=90°，
∴∠DEG+∠FEH=90°，
∴∠EFH=∠DEG，
在△EFH和△DEG中
∠EFH=∠DEG∠EGD=∠FHE=90°FE=DE
∴△EFH≌△DEG(AAS)，
∴EH=DG，
∵∠ACF=45°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∴EH=CH，
∴DG=BG=12BD=12AD，
∴AG=3BG，
∵∠EGD=∠ABC=90°，
∴EG/​/BC，
∴AEEC=AGBG=3．
【解析】(1)解：AF/​/BC，理由如下：
由旋转的性质得：∠DEF=90°，DE=FE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠DEF=180°，
∴CF//AB，
∵AB=BC，
∴AB=CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF/​/BC；
(2)见答案；
(3)见答案
(1)先证CF/​/AB，再证AB=CF，则四边形ABCF是平行四边形，即可得出结论；
(2)过E作EM⊥AC交AB的延长线于点M，证△AEF≌△MED(SAS)，得∠EAF=∠EMD=45°，则∠EAF=∠BCA，即可得出结论；
(3)连接AF、CF，过E作EG⊥AB于点G，延长GE交CF于点H，证四边形ABCF是正方形，得AB//CF，∠BCF=90°，∠ACF=45°，再证△EFH≌△DEG(AAS)，得EH=DG，然后证△ECH是等腰直角三角形，得EH=CH，进而得AG=3BG，即可解决问题．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．统计量
平均数(次)
中位数(次)
众数(次)
方差
…
该班级男生
3
3
4
2
…
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD.第二步，在CB上取一点Y′，作Y′Z//CA，交BD于点Z′，并在AB上取一点A′，使Z′A′=Y′Z′.第三步，过点A作AZ//A′Z′，交BD于点Z.第四步，过点Z作ZY//AC，交BC于点Y，再过点Y作YX//ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ//A′Z′，∴∠BA′Z′=∠BAZ，
又∵∠A′BZ′=∠ABZ.∴△BA′Z′～△BAZ．
∴Z′A′ZA=BZ′BZ．
同理可得Y′Z′YZ=BZ′BZ.∴Z′A′ZA=Y′Z′YZ．
∵Z′A′=Y′Z′，∴ZA=YZ．
进价(元/部)
售价(元/部)
A
3000
3400
B
3500
4000
CD
0
1
2
3
4
5
6
7
8
AD
6
6.1
6.3
6.7
7.2
7.8
8.5
9.2
a