福建省龙岩第一中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试题

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数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
5. 已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于
A. 4B. 3C. 2D.
6. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知抛物线：（）焦点为，点为抛物线上一点，，若，则点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知，直线，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在棱长为4正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则（ ）
A. 两条异面直线和所成的角为
B. 存在点P，使得平面
C. 对任意点P，平面平面
D. 点到直线的距离为4
11. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）
A. 为周期函数，且最小正周期为
B. 为奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 的导函数的最大值为7
12. 已知函数，数列满足函数的图像在点处的切线与x轴交于点且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题．
13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
14. 已知函数有2个极值点，，则______．
15. 已知定义在上函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________.
16. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列是以黄金分割数为公比的等比数列，且，则_________．
四、解答题：本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角；
（2）若的中线长为，求面积的最大值.
18. 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前n项和为，证明：.
19. 如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面；
（2）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值.
20. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：当时，，使得．
21. 已知椭圆离心率为，焦距为.
（1）求的方程；
（2）过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点.
22. 设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
（1）若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角；
（2）求的值.