专题06 平面向量和复数-备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编

专题06 平面向量和复数考点一：平面向量的加减数乘运算1．（2021春·河北）在中，设，，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵，∴D为BC的中点，∴，又∵，，∴.故选：A.2．（2021秋·吉林）在中，点D在BC边上，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B3．（2021秋·青海）化简（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】故选：B4．（2022·北京）如图，已知四边形为矩形，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知.故选：C5．（2022春·广西）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；故选：B6．（2022春·贵州）如图，在平行四边形ABCD中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，.故选：B.7．（2021·北京）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；对于C，利用三角形法则知，故C错误；对于D，利用三角形法则知，故D正确；故选：D8．（2021春·天津）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【详解】在平行四边形中.故选：B9．（2023·河北）在中，设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，则，故选：.10．（2023·江苏）已知是边长为2的等边三角形，分别是边的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，错误；对选项D：，正确.故选：D11．（2023春·福建）如图所示，，，M为AB的中点，则为（    ）  A． B．C． D．【答案】B【详解】，，M为AB的中点，所以.故选：B12．（2023春·湖南）在中，D为BC的中点，设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，故，故选：B13．（2022春·天津）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，，因为，，所以.故选：B14．（2022·山西）已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（    ）A．P在△ABC外部 B．P在线段AB上C．P在线段AC上 D．P在线段BC上【答案】B【详解】因为，所以所以点P在线段AB上故选：B15．（2022春·辽宁）已知向量，，则（    ）．A． B． C． D．（1，1）【答案】C【详解】因为向量，，所以.故选：C.16．（2022春·辽宁）如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（    ）．A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为在中，为边上的中线，所以故选：C17．（2022春·浙江）在中，设，，，其中.若和的重心重合，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】设为和的重心，连接延长交与，连接延长交与，所以是的中点，是的中点，所以，，，可得，解得.故选：D.18．（2022·湖南）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设，因为，所以，所以.故选：D.19．（2022秋·广东）已知点，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】,故选:D.20．（2022春·广西）如图，在中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由平行四边形法则知，.故选：B.21．（2022春·贵州）已知向量，则（    ）A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）【答案】A【详解】因为，所以，故选：A22．（2023·山西）中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为 【答案】【详解】因为，所以 ，所以，所以故答案为：23．（2023春·浙江）在矩形ABCD中，，，点M、N满足，，，则 .【答案】14【详解】, ,所以,故答案为：14  24．（2023·云南），则的坐标为 .【答案】【详解】因为，则，所以的坐标为.故答案为：25．（2021秋·福建）已知向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，.故选：C.考点二：平面向量的模1．（2021春·河北）已知向量，满足，，，则（    ）A．5 B．4 C． D．【答案】C【详解】因为，所以，两边平方，得，又，所以，解得.故选：C.2．（2021·湖北）已知两个单位向量，满足，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：.故选：A.3．（多选）（2021·湖北）已知向量，，则（   ）A． B． C． D．【答案】CD【详解】解：，，所以，因为，所以.故选：CD.4．（2022秋·浙江）已知向量满足，则（    ）A．2 B． C．8 D．【答案】B【详解】∵,又∵∴，∴，∴，故选：B.5．（2021秋·浙江·）已知平面向量满足，则 .【答案】【详解】因为，所以，，，故答案为：6．（2023春·湖南）已知向量，，则 .【答案】5【详解】由，可得,所以,故答案为：57．（2022春·天津）已知向量，.(1)求，的坐标；(2)求，的值.【答案】(1)，(2)，【详解】（1），（2），8．（2021春·天津）已知向量，．(1)求、的坐标；(2)求、的值．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：因为向量，，则，.（2）解：因为向量，，则，.9．（多选）（2023春·浙江）已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A． B．向量在向量上的投影向量为C． D．【答案】BD【详解】因为，，，所以，故A错误；向量在向量上的投影向量，故B正确；因为，，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：BD10．（2022春·贵州）已知平面向量满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，又，不妨设在直线上，又可得，即，则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.故选：D.考点三：平面向量的数量积1．（2023·云南）已知与的夹角为，则（    ）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【详解】.故选：B2．（2022·北京）已知向量，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】.故选：B.3．（2021春·贵州）已知向量和的夹角为，，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】由故选：D4．（2023·广东）已知向量和的夹角为，，，则 .【答案】【详解】由平面向量数量积的定义可得.故答案为：.5．（2022春·浙江）已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是 .【答案】【详解】解：由题意，令，，则，所以，由，得，所以.，故答案为：6．（2021秋·广西）已知向量，，则 .【答案】2【详解】由题意可得：.故答案为：2.7．（2021·北京）已知向量，且，则实数 ； .【答案】 2 4【详解】解：（1）由题得；（2）.故答案为：2；4.8．（2022春·浙江）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（    ）\A． B． C． D．【答案】B【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，，，，，，即的取值范围为.故选：B.9．（2021·北京）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，那么（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】解：建立如图所示的直角坐标系由题意可知，，，故选：B考点四：平面向量的夹角1．（2022秋·福建）已知向量与满足，且，则与的夹角等于 ．【答案】/【详解】依题意， ，∴ 与 的夹角为 ；故答案为： .2．（2023·河北）已知向量满足，那么向量的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得：，∵，∴向量的夹角为.故选：D3．（2021秋·福建）已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为 .【答案】【详解】解：设与的夹角为，因为，，，所以，所以与的夹角的余弦值为．故答案为：.4．（2021春·河北）若向量，，则向量与的夹角是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】向量，， ，设向量与的夹角为，则，由，得.故选：A.5．（2021秋·河南）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，.（1）求；（2）求的余弦值.【答案】（1）-16（2）【详解】解：（1）由已知，得，.所以.（2）.考点五：平面向量的平行和垂直关系1．（2023·北京）已知向量，．若，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为向量，且，则.故选：C.2．（2023·河北）已知向量，，若，则实数（    ）A．1 B． C．4 D．【答案】A【详解】因为，则，又因为向量，，所以，则，故选：.3．（2023·山西）已知向量，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，，所以，所以，，A错误，B错误，所以，所以，C正确，D错误.故选：C.4．（2023春·福建）已知，，且，则y的值为（    ）A．3 B． C．4 D．【答案】A【详解】因为，，且，则，解得，所以y的值为3.故选：A5．（2023·云南）已知向量，若，则（    ）A．-8 B．8 C．-10 D．10【答案】D【详解】由向量，，则，解得.故选：D.6．（2023春·新疆）已知向量，若，则（    ）A． B．C．6 D．【答案】D【详解】向量，且，则，所以.故选：D7．（2021秋·吉林）已知向量，，若，则实数m等于（    ）A． B． C．-2 D．2【答案】A【详解】由于，所以.故选：A8．（2021·吉林）已知向量，若，则实数的值为（    ）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】B【详解】因为，所以，所以，即.故选：B9．（2021春·贵州）已知向量．若，则实数m的值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】解：因为，所以，解得.故选：B.10．（2021秋·贵州）已知向量，若，则实数x＝ .【答案】-6【详解】因为，所以，解得：故答案为：-611．（2022春·浙江）已知平面向量，.若，则实数（    ）A． B．3 C． D．12【答案】B【详解】由，可得，解得.故选：B.12．（2022秋·广东）设向量，，若，则 ．【答案】1【详解】由于，所以.故答案为：13．（2022春·辽宁）已知向量，，(1)求；(2)若，求y的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：向量，，所以.（2）解：向量，，若，则，解得.14．（2021秋·广东）已知向量，若与共线，则m = .【答案】【详解】因为向量，且与共线，所以，解得：，故答案为：.15．（2023·江苏）已知向量，则实数（    ）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【详解】由已知向量，可得，由可得，即，解得，故选：D16．（2023春·新疆）已知向量与的夹角为60°，．(1)求的值；(2)求为何值时，向量与相互垂直．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为向量与的夹角为60°，所以（2）因为向量与相互垂直，所以，则，所以，则考点六：正、余弦定理1．（2023·北京）在中，，，，则（    ）A．60° B．75° C．90° D．120°【答案】D【详解】由余弦定理得： ，.故选：D.2．（2023·河北）在中，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，，，由余弦定理可得，即又可得；利用正弦定理可知，所以.故选：A3．（2023·江苏）在中，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，解得.故选：D4．（2023春·浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C为（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【详解】，，由正弦定理，,由角B为三角形内角，则，可得，由，可得或，故选：B5．（2023春·湖南）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由余弦定理可得：.故选：C.6．（2023春·新疆）在△ABC中，角的对边分别为，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由余弦定理得，，又，所以.故选：C7．（2021春·河北）在中，内角所对的边分别是.若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由正弦定理可得，即，解得，因为中，所以，所以，，故选：D8．（2021春·河北）如图，在平面四边形ABCD中，，，，为等边三角形，则该四边形的面积是（    ）A．12 B．16 C． D．【答案】D【详解】中，根据余弦定理，则，则,因为是等边三角形，所以，的面积，所以四边形的面积.故选：D9．（2021秋·吉林）在中，，，，则角B为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由正弦定理得，即，解得由于，所以为锐角，所以.故选：B10．（2021春·浙江）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】由余弦定理可得，，所以.故选：B.11．（2021秋·河南）的三边长分别为3，5，7，则的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【详解】设最大角为，则，是钝角，三角形为钝角三角形．故选：C．12．（2021秋·河南）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，，则B=（    ）A．45° B．60° C．60°或120° D．45°或135°【答案】D【详解】由正弦定理得，因为，即，所以或．故选：D．13．（2021春·贵州）三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由三角形面积公式知：.故选：A14．（2021春·贵州）三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】解：在中由正弦定理可得，即，即，解得；故选：C15．（2021春·贵州）△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，则，所以，而，则且，又，当时的最大值为.故选：A16．（2021秋·贵州）△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，则b=（    ）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】由余弦定理得，因为，所以，故选：D17．（2021秋·福建）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 .【答案】【详解】由可得,由正弦定理可得，解得，故答案为：18．（2023·北京）在中，，，则 ．【答案】4【详解】由正弦定理可得，故，所以.故答案为：4.19．（2023春·福建）已知分别为三个内角的对边，若，，则= .【答案】/【详解】由余弦定理，则，又，所以，故答案为：.20．（2022秋·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b= .【答案】【详解】解：因为a=2，A=45°，B=60°，，所以.故答案为：.21．（2022秋·福建）的内角所对的边分别为，且，则 ．【答案】【详解】由正弦定理得： ；故答案为： .22．（2022·湖南）在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为 ．【答案】【详解】由正弦定理： 可得： ，由 可得 ，则： .23．（2022春·广西）在中，，则cosA= .【答案】【详解】由余弦定理得.故答案为：24．（2021秋·广西）如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为 m.【答案】【详解】在中，，，，则，因为，所以，所以点与点间的距离为.故答案为：.25．（2021秋·贵州）已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D是线段BC上任意一点，ADBC，且AD＝BC，则的取值范围是 .【答案】【详解】因为ADBC，且，D是线段BC上任意一点，所以当点D与B重合时，c最小，b最大，取最大值，当点D与C重合时，c最大，b最小，取最小值，所以，由对勾函数的性质可得.故答案为：.26．（2022春·贵州）已知的外接圆半径为，边所对圆心角为，则面积的最大值为 ．【答案】【详解】解：如图设外接圆的圆心为，过点作，交于点，依题意，，所以，，要使的面积最大，即点到的距离最大，显然点到的距离，所以故答案为：27．（2021春·天津）已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则 ．【答案】【详解】因为，，，由余弦定理可得.故答案为：.28．（2023春·福建）已知分别为三个内角的对边，.(1)求的值；(2)若，求b的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，因为，所以.（2）由正弦定理，，又，所以.29．（2023·广东）在中，内角、、的对边分别为、、，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由正弦定理可得，所以，，因为，则，故.（2）解：由（1）可知，所以，.30．（2023·云南）在中，角的对边分别为.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)4；(2)1.【详解】（1）在中，，由正弦定理，得，所以的值是4.（2）在中，，由余弦定理，得，则有，即，解得，所以的值为1.31．（2022·山西）在中，内角的对面分别为，且满足.（1）求；（2）若，求及的面积.【答案】（1）；（2）8，.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，且易知所以，又，所以.（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，，即，因为，解得，所以.32．（2022春·辽宁）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．(1)求A的大小；(2)若，，求a．【答案】(1)或；(2)答案见解析.【详解】（1）解：由以及正弦定理可得，.又，所以.因为，所以或.（2）解：当时，，由余弦定理可得，，，解得；当时，，由余弦定理可得，，，解得.综上所述，当时，；当时，.33．（2022秋·广东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，(1)求b(2)求的值【答案】(1)(2)【详解】（1）由余弦定理，所以.（2）由正弦定理.34．（2021秋·广东）如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，由余弦定理可得，则，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.35．（2021·吉林）在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求角的大小.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）∵，∴，∴，∵是的内角，∴.（2）∵，∴，∴，∵，∴，又因为，所以.考点六：复数的概念及四则运算1．（2023·河北）若实数满足，则（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，故选：A.2．（2023·山西）复数z满足，则（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】设，则，由，根据复数的模长公式，，即，.故选：B3．（2023·江苏）已知，则（    ）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【详解】因为，所以.故选：C.4．（2023春·湖南）已知i为虚数单位，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，故选：B5．（2023·云南）若复数，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】复数，则在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B6．（2023春·新疆）设复数，则的虚部是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为复数，所以的虚部是.故选：D7．（2023春·新疆）若复数满足，则对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】依题意，，复数对应的点位于第三象限.故选：C8．（2022·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵复数z对应的点的坐标是，∴.故选：D.9．（2022春·天津）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限.故选：A10．（2022春·辽宁）计算的值是（    ）．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【详解】.故选：A.11．（2022春·浙江）复数（为虚数单位）的实部是（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】显然复数的实部是2.故选：C.12．（2022春·浙江）复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四像限【答案】B【详解】，对应的复平面内的点为，位于第二象限.故选：B.13．（2022·湖南）已知，为虚数单位，，若为实数，则取值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】为实数，则 故选：B14．（2022春·广西）若复数，为虚数单位，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【详解】因为，所以.故选：C15．（2021·北京）在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：在复平面内，复数对应的点为，在第二象限.故选：B16．（2021春·天津）复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】根据复数的几何意义，在复平面内对应的点是，在第一象限.故选：A17．（多选）（2023春·浙江）已知是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】因为，复数是共轭复数,所以，所以，故A正确；，故B正确；因为虚数不能比较大小，故C错误；，故D正确；故选：ABD18．（2021秋·吉林）若,其中是虚数单位,则的值分别等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解:由题知,,.故选:C19．（2021·湖北）复数所对应的点位于复平面的（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】复数所对应的点的坐标为，所以位于第一象限，故选：A.20．（2021秋·广西）已知是虚数单位，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得：.故选：D.21．（2023·北京）已知复数，，则 ．【答案】/【详解】因为，，所以.故答案为：.22．（2023春·福建）已知为虚数单位，则 .【答案】【详解】.故答案为：.23．（2023·广东）已知复数，要让z为实数，则实数m为 .【答案】2【详解】为实数，则，．故答案为：2.24．（2022春·天津）是虚数单位，则复数 .【答案】【详解】由题意得，.故答案为：25．（2022·山西）已知是虚数单位，复数 .【答案】【详解】故答案为：26．（2022春·浙江）若复数（为虚数单位），则 ．【答案】/0.4【详解】．故答案为：27．（2021春·天津）为虚数单位，复数 ．【答案】【详解】．故答案为：．