2024江苏省高三上学期期末迎考卷数学含解析

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数学参考答案与评分标准
1. C 解析:因为A={20,24},B={20,23},所以A∪B={20,23,24},则A∪B中的合数为20和24.
2. A 解析:z=cs2π3-32i=-12-32i,z3=-12-32i3=-18-338i+98+338i=1.
3. C 解析:若y=f(x)为奇函数,则f(x)满足f(-x)=-f(x),所以cs(-x+φ)=-cs(x+φ),则有cs xcs φ=0,则cs φ=0.因为-π2≤φ≤π2,所以φ=±π2,所以“y=f(x)为奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件.
4. C 解析:由题意得F1+F2+F3=0,所以-F3=F1+F2,两边平方得F32=F12+2F1·F2+F22,即F32=1+2×1×2×-12+4=3,所以F3=3.
5. A 解析:第r+1项的系数为C6rar,由题意得C64a4>C63a3,C64a4>C65a5,解得436. B 解析:由题知|AB|=T=πω,由f(0)=2tanπ4=2,得yC=2,所以S△ABC=12×2×πω=π2,所以ω=2.
7. C 解析:由题意得2an+1=an+an+2,n∈N*,所以an+1-an=an+2-an+1,n∈N*,则数列{an}为等差数列,设公差为d.因为Sn=na1+n(n-1)2d,所以Snn=a1+n-12d,Sn+1n+1-Snn=d2(常数),则Snn也为等差数列.因为5S7-7S5=35,所以S77-S55=1,则数列Snn的公差为12,所以Snn=S11+(n-1)×12=1+n-12=n+12,所以n(n+1)4SnSn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以∑n=12024n(n+1)4SnSn+1=∑n=120241n+1-1n+2=12-12026=5061013.
8. D 解析:因为g(x)=(f(x))2-f(f(x)),所以令t=f(x),则g(x)=t2-f(t),令g(x)=0,可得t2=f(t).当t>0时,由t2=f(x),可得t2=(t-2)2,即-4t+4=0,解得t=1;当t≤0时,由t2=f(t),可得t2=2t+3,即t2-2t-3=0,解得t=-1或t=3(舍去).所以t=±1,即f(x)=±1.当x>0时,令(x-2)2=1或(x-2)2=-1(舍去),解得x=1或x=3;当x≤0时,令2x+3=±1,解得x=-1或x=-2.所以函数g(x)=(f(x))2-f(f(x))的零点之和为1+3-1-2=1.
9. ABD 解析:对于A,因为P(X>9)=12,所以μ=9,所以P(X<7)=P(X>11)=25,所以P(710. AD 解析:令f(x)=0,得(x2+ax+b)ex=0,即x2+ax+b=0.Δ1=a2-4b.当Δ1>0时,f(x)有两个零点;当Δ1=0时,f(x)有一个零点;当Δ1<0时,f(x)无零点.又f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex.令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0.Δ2=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4.当Δ2>0时,f'(x)有两个变号零点,即f(x)有两个极值点;当Δ2≤0时,f'(x)没有变号零点,即f(x)没有极值点.对于A,因为f(x)没有极值点,所以Δ2=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,故Δ1<0,所以f(x)没有零点,故A正确;对于B,若f(x)没有零点,则Δ1=a2-4b<0,此时Δ2=a2-4b+4<4,当Δ2>0时,f(x)有两个极值点,故B错误;对于C,若f(x)恰有一个零点,则Δ1=a2-4b=0,此时Δ2=a2-4b+4>0,故f(x)有两个极值点,故C错误;对于D,若f(x)有两个零点,则Δ1=a2-4b>0,此时Δ2=a2-4b+4>0,故f(x)一定有两个极值点,故D正确.公众号：高中试卷君
11. BD 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=y12,x2=y22.对于A,假设直线PA的斜率为110,则kAP=y1-3y12=110⇒y12-10y1+30=0,由于Δ=100-120<0,则该方程无解,所以直线PA的斜率不可能为110,故A错误;对于B,|PA|=y14+(3-y1)2,记y=y14+(3-y1)2,则y'=4y13-2(3-y1),记g(y1)=4y13-2(3-y1),则g'(y1)=12y12+2>0,y'=g(y1)单调递增.由于y' y1=1=0,因此,当y1>1时,y'>0,y=y14+(3-y1)2单调递增,当y1<1时,y'<0,y=y14+(3-y1)2单调递减,故当y1=1时,y=y14+(3-y1)2取最小值5,因此|PA|=y14+(3-y1)2的最小值为5,故B正确;对于C,若P,A,B三点共线,A为线段PB的中点,则0+x2=2x1,3+y2=2y1,所以x2=2x1,y2=2y1-3.又y12=x1,y22=x2,所以(2y1-3)2=x2=2x1=2y12,即2y12-12y1+9=0,Δ=144-4×2×9=72>0,故2y12-12y1+9=0有两个不相等的实数根,所以满足条件的点B不唯一,故C错误,D正确.
12. AC 解析:易证四边形ABCO为菱形,所以BO⊥AC,如图,连接PO,因为PA=PD=2,O为AD中点,所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD,所以PO⊥AC.又PO,OB⊂平面POB,PO∩OB=O,所以AC⊥平面POB.又BP⊂平面POB,所以AC⊥BP,故A正确.易证△AOE为等腰直角三角形,△AOB为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,所以三棱锥B-AOE外接球的球心为等边三角形AOB的中心,所以三棱锥B-AOE外接球的半径为33,所以三棱锥B-AOE外接球的体积为V=43π×333=4327π,故B错误.因为PD∥OE,所以∠CPD为异面直线PC与OE所成的角(或其补角).因为PO=PD2-OD2=1,所以PC=PO2+OC2=2.在△PCD中,由余弦定理,得cs∠CPD=2+2-12×2×2=34,故C正确.因为PO⊥平面ABCD,连接OQ,PQ,若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°.则∠PQO=60°.因为PO=1,所以OQ=33,故点Q的轨迹是以O为圆心,33为半径的半圆,所以点Q的轨迹长度为3π3,故D错误.
(第12题)
(第13题)
13. (x+1)2+y2=9或(x-114)2+y2=916 解析:由题知两圆心连线过点A(2,0),圆x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径为1,故圆C的圆心C在x轴上.
①若两圆内切,则C(2-r,0),故d=|3(2-r)-12|5=r,解得r=3,则圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9;
②若两圆外切,则C(2+r,0),故d=|3(2+r)-12|5=r,解得r=34,则圆C的标准方程为x-1142+y2=916.
14. 3 解析:4sin 40°-tan 40°=4sin 40°-sin40°cs40°=
4sin40°cs40°-sin40°cs40°=2sin80°-sin40°cs40°=
2cs10°-sin40°cs40°=2cs(40°-30°)-sin40°cs40°=
2cs40°cs30°+2sin40°sin30°-sin40°cs40°=3.
15. 4π3 解析:如图,画出截面图.易得O1B=BE=r1,O2C=CE=r2,所以BC=r1+r2.记内切球的半径为R,则O1O2=2R.过B作BG⊥DC,垂足为G,则CG=r2-r1,BG=O1O2=2R,所以(r1+r2)2=4R2+(r2-r1)2⇒4R2=4r1r2≤22r1+r222=4⇒R≤1,所以它的内切球的体积的最大值为43πR3=4π3.
(第15题)
16. 22 解析:由题可得双曲线为y=33x+34x,所以渐近线为x=0及y=33x,渐近线夹角为60°,则ba=33,所以焦点所在的直线方程为y=3x.由y=3x,y=33x+34x,
得3x=33x+34x,解得x=64,y=324或x=-64,y=-324.
此时a=642+3242=62,则b=22,所以c=a2+b2=2,则焦距为22.
17. 解答:(1) 因为2a=bccs C+c,c=2,所以a=bcs C+1,所以由余弦定理得a=ba2+b2-c22ab+1,所以2a2=a2+b2-c2+2a,所以a2+c2-b2=ac,所以cs B=a2+c2-b22ac=12.又B∈(0,π),所以B=π3.(5分)
(2) 设∠DCA=α,则∠ADB=α+π6,∠BAD=π2-α.
在△ABD中,由正弦定理有BDsinπ2-α=ADsinB,即BDcsα=ADsinπ3.在△ACD中,由正弦定理有DCsinπ6=ADsinα.因为BD=DC,所以sinπ6sinα=csαsinπ3,即sin αcs α=sin π6sin π3,所以sin 2α=32.因为α∈0,π2,所以2α=π3或2α=2π3,
所以α=π6或α=π3(舍去).(8分)
当α=π6时,A=π2,AC=23,△ABC的面积为12×2×23=23.(10分)
(第17题)
18. 解答:(1) 设“第1次取出的是一次性手套”为事件A,“第2次取出的是非一次性手套”为事件B,则P(B)=35×12+25×25=2350,P(AB)=P(A)P(B|A)=35×12=310,所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下,第1次取出的是一次性手套的概率为P(AB)=P(AB)P(B)=1523.(5分)公众号：高中试卷君
(2) 记取出的一次性手套的双数为X,则X=0,1,2,3,
P(X=0)=253=0.064,P(X=1)=35×122+25×35×12+252×35=0.366,P(X=3)=35×24×13=0.1,则P(X=2)=1-0.064-0.366-0.1=0.47,
则X的分布列为
数学期望E(X)=0.366+2×0.47+3×0.1=1.606.(12分)
19. 解答:(1) 因为AC⊥AB,且平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以AB⊥平面ACC1A1.又CM⊂平面ACC1A1,所以AB⊥CM.因为M,N分别为AA1,BB1的中点,所以MN∥AB,所以MN⊥CM.因为AM=A1M=3,AC=A1C1=3,所以CM=C1M=9+9=32,所以CM2+C1M2=18+18=36=CC12,所以CM⊥C1M.又因为MN,C1M⊂平面C1MN,MN∩C1M=M,所以CM⊥平面C1MN.(5分)
(2) 因为AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,所以以A为原点,分别以AB,AC,AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,所以C(0,3,0),C1(0,3,6),M(0,0,3),N(4,0,3),所以CC1=(0,0,6),C1N=(4,-3,-3),CM=(0,-3,3).设平面CC1N的法向量为n=(x,y,z),则n·CC1=0,n·C1N=0,即6z=0,4x-3y-3z=0,令x=3,则n=(3,4,0).由(1)知CM⊥平面C1MN,故可取平面C1MN的一个法向量m=(0,-1,1),因为cs=m·n|m||n|=-225,故二面角C-C1N-M的正弦值为1--2252=175.(12分)
(第19题)
20. 解答:(1) 当a=1时,f(x)=ex-ln x⇒f'(x)=ex-1x(x>0),所以切线斜率k=f'(1)=e-1.又f(1)=e,所以f(x)在点A(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+1.(5分)
(2) f(x)=ex-lnxa⇒f'(x)=ex-1ax=1xxex-1a(x>0),易知y=xex在(0,+∞)上单调递增,且y∈(0,+∞),又01,所以存在唯一x0∈(0,+∞),使得x0ex0-1a=0,即ex0=1ax0⇔ln x0=-x0-ln a.当0x0时,f'(x)>0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0a=1ax0+x0a+lnaa=1ax0+1x0+lna≥1a2x0×1x0+lna=2+lnaa,当且仅当x0=1x0,即x0=1时等号成立.所以当021. 解答:(1) 由对任意正整数m,n都有am+n=an+am+2mn,令m=1,可得an+1=an+1+2n,所以an+1-an=2n+1.
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+2n-1=n2;
当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=n2.(4分)
(2) 由(1) 得an=n2,当n为偶数时,
Sn=(-12+22)+(-32+42)+…+-(n-1)2+n2=
3+7+11+…+(2n-1)=n2(3+2n-1)2=n(n+1)2;
当n为奇数时,n-1为偶数,Sn=Sn-1+(-1)nan=Sn-1-an=n(n-1)2-n2=-n2-n2.
综上所述,Sn=n2+n2,n为偶数,-n2-n2,n为奇数.
若k为偶数,则k+1为奇数,由2Sk+Sk+1=0,即k2+k-(k+1)2+k+12=0,整理得k2-k-2=0,解得k=-1(舍去)或k=2;
若k为奇数,则k+1为偶数,由2Sk+Sk+1=0,即-k2-k+(k+1)2+k+12=0,整理得k2-k-2=0,解得k=-1或k=2,均不合题意,舍去.
综上,所求k的值为2.(8分)
(3) 由bn=12ln1+1an+1an+1=ln1+1n2+1(n+1)2
=lnn2(n+1)2+n2+(n+1)2n2(n+1)2
=lnn2(n+1)2+n2+n2+2n+1n2(n+1)2
=lnn2(n+1)2+2n(n+1)+1n2(n+1)2
=lnn(n+1)+1n(n+1)=ln1+1n(n+1)=ln1+1n-1n+1.
结合当x>0时,ln (x+1)22. 解答:(1) 将点C,D代入椭圆方程有1b2=1,6425a2+925b2=1,解得a2=4,b2=1,所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(4分)
(2) 设P(x0,y0),A(m,0),B(n,0).
直线PD:y+35=y0+35x0+85x+85,
令y=0,得xN=35x0-85y0y0+35.直线PC:y=y0+1x0x-1,
令y=0,得xM=x0y0+1.
MB·NA=n-x0y0+1m-35x0-85y0y0+35
=(ny0+n-x0)(5my0+8y0+3m-3x0)5y02+8y0+3.
令5my0+8y0+3m=-3ny0-3n,
则5m+8=-3n,3m=-3n,得n=4,m=-4,
则MB·NA=-3[(4y0+4)2-x02]5y02+8y0+3
=-3[(4y0+4)2-(4-4y02)]5y02+8y0+3=-12(5y02+8y0+3)5y02+8y0+3
=-12.X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1