2022-2023学年山东省临沂市河东区九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市河东区九年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中没有实数根的是( )
A. x2+2x+1=0B. x2−x+2=0C. x2+2x=0D. 2x2−x−1=0
2.小明连续抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面
( )
A. 一定是正面B. 是正面的可能性较大
C. 一定是反面D. 是正面或反面的可能性一样大
3.已知△ABC∽△DEF，AB：DE= 2：1，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 4：1B. 2：1C. 1：2D. 1：4
4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形
5.函数y=x+3 x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x>2B. x>2且x≠−3C. x>−3D. x≥−3且x≠2
6.函数y=ax2−2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2−7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为( )
A. 8B. 20C. 8或20D. 10
8.从数字1、2、3、4中任意两个数字相加，和为偶数的概率为( )
A. 13B. 23C. 12D. 56
9.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=8，则⊙O半径为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB=10，tan∠B=34，则BC的长为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
11.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )
A. 100米
B. 50 3米
C. 200 33米
D. 50米
12.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象相交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数y=−kx(x>0)的图象于点C，连接BC，若S△ABC=3，则k的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是______ (列举出两种即可)．
14.铁道口栏杆的短臂长为0.8米，长臂长为8米，当短臂端点下降0.4米时，长臂端点升高______ 米.(杆的粗细忽略不计)．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是______，半径是______．
16.如图，一个圆形花坛分成三个区，四小圆以外的部分是外围区来种草，四小圆两两相交的部分是中心区来种花，这两区的面积比是______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.2016年国庆节前夕，全球最长跨海大桥−港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长55千米.大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长(结果精确到0.1米， 3=1.732)．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．

(2)请你用无刻度的直尺画一条直线把如图分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+x−12=0；
(2)(x−1)2−5(x−1)−6=0．
20.(本小题8分)
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
(1)当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC的长度．
(2)连接BD，求证：DE=DB．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,6)，将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
(1)求k的值及点C的坐标；
(2)在y轴上有一点D(0,5)，连接AD，BD，求△ABD的面积．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD．
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=6，AC=4，求AD的长．
23.(本小题8分)
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．
(1)写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式；
(2)当销售单价定为55元时，计算月销售量和销售利润；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
(4)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式Δ=b2−4ac的关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等实数根；③当Δ<0时，方程无实数根是解决问题的关键．
分别计算出每个方程的判别式的值，从而得出答案．
【解答】
解：A.方程x2+2x+1=0中，Δ=22−4×1×1=0，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
B.方程x2−x+2=0中，Δ=(−1)2−4×1×2=−7<0，此方程没有实数根，故本选项符合题意；
C.方程x2+2x=0中，Δ=22−4×1×0=4>0，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D.方程2x2−x−1=0中，Δ=(−1)2−4×2×(−1)=9>0，此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：抛一枚质量均匀的硬币5次，都是正面朝上，若他再抛一次，有可能正面朝上，有可能反面朝上，
所以正面或反面的可能性一样大；
故选D．
根据抛掷一枚硬币，要么正面朝上，要么反面朝上，可以求得相应的概率，从而得出答案．
此题考查了可能性的大小，解答此题的关键是要明确再抛一次这枚硬币的结果与前5次无关．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE= 2：1，
∴△ABC与△DEF的面积比为2：1，
故选：B．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确，
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，难度适中．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得，x−2>0，
解得x>2．
故选：A．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6.【答案】C
【解析】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=−−22a>0，故选项正确；
D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=−−22a<0，故选项错误．故选：C．
可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
7.【答案】B
【解析】解：∵解方程y2−7y+10=0得：y=2或5
∵对角线长为6，2+2<6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为5．
∴菱形ABCD的周长为4×5=20．
故选：B．
边AB的长是方程y2−7y+10=0的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
8.【答案】A
【解析】解：画树状图如图所示：
共有12个等可能的结果，和为偶数的结果有4个，
∴任意两个数字相加，和为偶数的概率为412=13；
故选：A．
画出树状图，共有12个等可能的结果，和为偶数的结果有4个，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法求概率、概率公式；画出树状图是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接OB，OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，BC=8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=8．
故选：C．
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵tan∠B=ADBD=34，
∴AD=34BD，
∵AD2+BD2=AB2，
∴(34BD)2+BD2=102，
∴BD=8，
∴BC=16；
故选：D．
根据等腰三角形的性质得到BD=CD，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：过B作BM⊥AD，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=CB=100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC=90°，
∴∠CBM=30°，
∴CM=12BC=50米，
∴BM= 3CM=50 3米.
故选：B．
过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．
12.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，AC与y轴交于D，
∵正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象相交于A，B两点，
∴S△AOD=12，
根据正比例函数的中心对称性可知，OA=OB，
因此有S△AOC=S△BOC，
又∵S△ABC=3，
∴S△AOC=12×3=32，
∴S△COD=32−12=1=12|−k|，
而−k<0，
∴k=2，
故选：A．
根据函数的对称性和交点坐标，结合反比例函数的系数k的几何意义可得S△AOD=12进而求出S△COD=1，确定k的值．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握两个函数的图象和性质以及反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
13.【答案】正方体，球体
【解析】解：正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，且每个正方形大小相同；球体的主视图、左视图、俯视图，都是圆，且每个圆的大小相同．
故答案为：正方体，球体．
几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，根据定义选取三视图完全相同的几何体即可．
本题考查几何体的三视图，牢记主视图、左视图、俯视图的定义是做题的重点．
14.【答案】4
【解析】解：如图所示：过点A作AB⊥BC于点B，过点D作DC⊥BC于点C，
∴∠ABO=90°=∠DCO，∠AOB=∠DOC，
∴△ABO∽△DCO，
∴ABOA=CDOD，即，
解得CD=8×(米)，
故答案为：4．
由相似三角形的判定与性质，结合题意可知△ABO∽△DCO，从而ABOA=CDOD，代值求解即可得到答案．
本题考查利用相似三角形的判定与性质解决实际问题，读懂题意，准确找到相似三角形列出相似比是解决问题的关键．
15.【答案】(5,2) 2 5
【解析】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，
∴三角形的外心位置基本确定，只有(5,2)点到三角形三个顶点距离相等，
∴(5,2)点是三角形的外接圆圆心．
利用勾股定理可得半径为：2 5．
故答案为：(5,2)，2 5．
利用三角形的外心与三角形三个顶点的距离相等，确定出外心的位置，即可解决．
此题主要考查了三角形的外心相关知识，以及结合平面坐标系确定特殊点，题目比较典型．
16.【答案】1：1
【解析】解：设小圆的交叉部分种花的面积为S1，在四小圆以外部分种草的面积为S2，令小圆半径为r，则大圆半径为2r，
∴S2=π×(2r)2−4×(πr2−S14×2)−S1，
即S2=S1，
故答案为：1：1．
设小圆的交叉部分种花的面积为S1，在四小圆以外部分种草的面积为S2，令小圆半径为r，则大圆半径为2r，数形结合即可得到答案．
本题考查不规则图形面积的求法，根据题意，设出面积及半径，数形结合表示出面积之间的关系是解决问题的关键．
17.【答案】解：设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH⋅tan60°= 3x，
∴BH=BC+CH=2+ 3x，
∵∠A=30°，
∴AH=BHtan30°= 3BH=2 3+3x，
∵AH=AD+DH，
∴2 3+3x=20+x，
解得：x=10− 3，
∴BH=2+ 3×(10− 3)=10 3−1≈16.3(米)．
答：立柱BH的长约为16.3米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．
设DH=x米，由三角函数得出CH= 3x，得出BH=BC+CH=2+ 3x，求出AH= 3BH=2 3+3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．
18.【答案】解：(1)由题意可得，4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形，
根据中心对称图形定义及轴对称图形定义可得，如下图所示，
；
(2)根据梯形面积公式及矩形的中心对称关系，找到矩形的对称中心，连接两点将两个矩形分成上下底相等的图即可，如图所示，或将矩形补全，根据梯形面积公式及矩形的中心对称关系，找到矩形的对称中心，连接两点将图形分成上下底相等的梯形，如图所示，

【解析】(1)根据中心对称图形定义及轴对称图形定义即可得到答案；
(2)根据梯形面积公式及矩形中心对称关系找到矩形的对称中心，连接两对称中心即可得到答案；
本题考查中心对称图形定义，轴对称图形定义，矩形的中心对称关系及题型面积公式，解题的关键是根据矩形中心对称关系找到对称中心连线将矩形分成面积相等的两个梯形．
19.【答案】解：(1)x2+x−12=0，
∴(x+4)(x−3)=0，
解得x1=3，x2=−4；
(2)(x−1)2−5(x−1)−6=0，
令m=x−1，则m2−5m−6=0，
∴(m−6)(m+1)=0，解得m=6或m=−1，
∴x−1=−1或x−1=6，
解得x1=0，x2=7．
【解析】(1)利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；
(2)先换元，令m=x−1，将(x−1)2−5(x−1)−6=0转化为m2−5m−6=0，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．
本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．
20.【答案】(1)解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BC的长度=120π×1180=23π．
(2)证明：连接BE，如图2所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5
∠5=∠2，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB．
【解析】(1)设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；
(2)连接BE，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE，即可得出结论．
本题考查了三角形的外心与内心、圆周角定理、弧长公式、三角形的外角性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)把点A(2,6)代入y=kx，k=2×6=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x，
∵将点A向右平移2个单位，
∴x=4，
当x=4时，y=124=3，
∴B(4,3)，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
由题意可得6=2m+n3=4m+n，
解得m=−32n=9，
∴y=−32x+9，
当x=0时，y=9，
∴C(0,9)；
(2)由(1)知CD=9−5=4，
∴S△ABD=S△BCD−S△ACD=12CD⋅|xB|−12CD⋅|xA|=12×4×4−12×4×2=4．
【解析】(1)由点A(2,6)求出反比例函数的解析式为y=12x，可得k值，进而求得B(4,3)，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=−32x+9，即可求出C点的坐标；
(2)由(1)求出CD，根据S△ABD=S△ACD−S△ACD可求得结论．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线AB的解析式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵△BCD为等边三角形，

∴∠3=∠4=60°，DC=DB，
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠5−∠1+∠4=∠1+60°，
∴∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°，∠BAC=120°，
∴∠1+∠2=180°，∠BAC=60°，
∴∠2+∠3+∠5−60°+120°=180°，
∴点A、C、E在一条直线上；
∵点A、C E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAD−∠BAC−∠DAE−120°−60°=60°；
∴∠BAD的度数为60°；
(2)∵点A、C、E在一条直线上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=6+4=10，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE=10．
∴当AB=6，AC=4，AD的长为10．
【解析】(1)先证明点A、C、E在一条直线上再说明△ADE为等边三角形即可；
(2)利用△ADE为等边三角形，可得AD=AE=5．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等边三角形的判定与性质．
23.【答案】解：(1)由题意，得
y=(x−40)[500−10(x−50)]，
y=−10x2+1400x−40000．
答：y与x之间的函数关系式为：y=−10x2+1400x−40000；
(2)由题意，得
当x=55时，月销售量为：500−(55−50)10=450千克；
销售利润为：y=−10×552+1400×55−40000=6750．
答：销售单价定为55元时，月销售量为450千克，销售利润为：6750元；
(3)由题意，得
8000=−10x2+1400x−40000，
解得：x1=60，x2=80．
当x=60时，销售成本为：40(1000−60×10)=16000元>10000元舍去，
当x=80时，销售成本为：40(1000−80×10)=8000元<10000元．
答：销售单价应定为80元；
(4)∵y=−10x2+1400x−40000．
∴y=−10(x−70)2+9000．
∴a=−10<0，y有最大值．
∴当x=70时．y最大=9000元．
【解析】(1)根据月销售利润=每千克的利润×数量就可以表示出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式；
(2)把x=55代入(1)的解析式就可以求出销售利润，由售价与销售量的关系就可以求出结论；
(3)当y=8000时，代入(1)的解析式求出结论即可，
(4)将(1)的解析式化为顶点式就可以求出结论．
本题考查了利润率问题的数量关系的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．