四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟七数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟七数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．过点，且倾斜角为的直线方程为
A．B．C．D．
2.设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.
B．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
4．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于
A．B．C．D．
6．如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是（ ）
A．数据中可能有异常值 B．数据中众数可能和中位数相同
C．数据中可能有极端大的值 D．这组数据是近似对称的
7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A. B. C. 4D. 2
8．已知两点，，以及圆C: ，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述错误的是（ ）
A．用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样
B．若事件发生的概率为，则
C．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
D．对于任意两个事件和，都有
10. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为
C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为4
11．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
12. 已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（ ）
A. 抛物线的方程为B. 直线一定过抛物线的焦点
C. 线段长最小值为D.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，则 ．
14. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是______.
15．直线：与直线：相交，则m的取值范围为 ．
16. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________．
四、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。
17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程．
18．某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)由频率直方图求样本中分数的分位数；
(2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.
19．已知圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.
（1）若P的坐标为，求切线方程；
（2）求四边形PAMB面积的最小值.
20．独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
(1)若事件与事件相互独立，证明：与相互独立；
(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．
21. 已知四棱锥（如图），四边形ABCD为正方形，面面ABCD，，M为AD中点.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面所成角的余弦值.
22．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
参考答案
一、单选DBBC ADCB
二、多选 CD ACD AC ACD
三、填空题
13． 14. 15． 16. 6
16【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.
四、解答题：
17..【解析】（1）因为边上的高所在直线方程为，
设线的斜率为，则，解得，
又因为直线过点，则直线的方程为,，
又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点，
所以联立，解得的坐标为．
（2）设，因为边上的中线所在直线方程为，
所以的中点在直线上，且边上的高所在直线过顶点，
所以，解得，即的坐标为．
由（1）知，由两点式方程得，即直线的方程为．
18【详解】（1）由频率分布直方图可得分数分位数位于并设为,
则有,解得.故频率分布直方图可得分数分位数为：.
（2）由频率分布直方图知，分数在的频率为,
在样本中分数在的人数为人，、
在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为人，
所以总体中分数小于的人数为.
（3）总样本的均值为,所以总样本的方差为.故总样本的方差为.19．已知圆，
19【详解】由题意知切线的斜率存在,设切线方程为,
由点到直线的距离公式可得,点到直线的距离为,解得或,
所以所求的切线方程为和;
设四边形PAMB面积为,因为为圆的切线,
所以,即,因为,所以,
即当取最小值时四边形PAMB面积取得最小值,
因为,所以当取最小值时取最小值,
因为点为,点为直线上一动点,
所以当线段与直线垂直时,取最小值,
由点到直线的距离公式可得,的最小值为,
此时取最小值为,
所以四边形PAMB面积的最小值为
20【详解】（1）证明：已知事件与事件相互独立，则
因为，且事件与事件互斥
所以
所以由事件的独立性定义，与相互独立；
（2）设分别表示甲在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件
分别表示乙在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件
根据独立性假定，得
设“甲乙两人在两轮活动中答对3道题”，则
且与互斥，与，与分别相互独立
所以
所以甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率时.
21【解析】证明：取AB中点O，连接OP，并过点O作BC的平行线OE，交CD于E，则，
∵，∴为等边三角形，又∵O为AB中点，∴，
又∵面面ABCD，面面，面，
∴面ABCD，∴，
以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
因为.则，，，，，，
所以，所.
【小问2详解】，，设平面PBM的一个法向量为，则有，即，令，则，，所以 ，
设直线PC与平面PBM所成角为，则，
因为，所以，
所以直线PC平面PBM所成角的余弦值为.
22【详解】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，
于是，双曲线C的方程为，即，
所以双曲线C的标准方程为.
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化简得，
即，解得或，均满足条件，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，
由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，
综上得直线过定点，
由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，
所以存在定点，使为定值.