山东省德州市平原县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山东省德州市平原县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，证明题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．山东省第二十五届运动运在日照成功举办，下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．3cm，6cm，6cm
C．2cm，4cm，6cmD．5cm，6cm，7cm
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．分式，当x等于（ ）时分式的值为零．
A．3B．C．3或D．无法确定
5．下面四个图形中，表示线段是中BC边上的高的图形为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则的值为（ ）
A．42B．28C．54D．66
7．如图，，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知中，，在上取一点P，使，下列尺规作图的方法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
11．如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50B．62C．65D．68
12．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题
13．石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.000034米，这个数用科学记数法表示 ．
14．如图，已知，，请你补充一个条件， 使，你添加的条件是 ．
15．如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，则 的值为 ．
16．已知和关于x轴对称，则的值为 ．
17．如图，将两张边长相等的正五边形和正方形纸片按如图1所示位置叠放在一起，设它们的公共边为．沿正方形的对角线将两个多边形剪开，得到了四边形，如图2，则的度数为 ．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、计算题
19．计算：
(1)解方程：．
(2)先化简，再求值：，其中，．
20．先化简，然后从1，2，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
四、证明题
21．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．
五、作图题
22．如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)作的平分线，交于点D；
(2)在线段上求作一点E，使得，并说明理由．
六、解答题
23．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
24．某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．
(1)甲、乙两种型号的节能灯的单价各是每盏多少元？
(2)李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？
(3)根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？
七、证明题
25．（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点，图中与全等的三角形是______，与全等的三角形是______；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为，探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点，求证：．
参考答案：
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可．
【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，不符合题意；
C、，不能构成三角形，符合题意；
D、，能构成三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．解题时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. 根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. 和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. 根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
4．B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得，，
故选：B
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据三角形高的画法知，过点作，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：线段是中边上的高的图是选项D．
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．掌握三角形高的概念是解题的关键．
6．B
【分析】根据完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，熟记完全平方公式是解题的关键．
7．A
【分析】先利用三角形内角和求出，然后利用线段垂直平分线的性质可得，，从而利用等腰三角形的性质可得，，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．D
【分析】由题意可证，结合线段垂直平分线的性质，即可知点P应为线段的垂直平分线与的交点．
【详解】∵，，
∴，
∴点P应为线段的垂直平分线与的交点．
故选D．
【点睛】本题考查作图—线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
9．A
【分析】根据时间=路程÷速度，列出分式方程计算即可．
【详解】根据题意，得：，
故选A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
10．A
【分析】先根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长．
【详解】解：，平分，于点，于点，
，，
，
，，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．A
【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】∵且，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
同理证得，，，
故，
故．
故选：A．
【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键．
12．D
【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案．
【详解】∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称．
连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴．
∵，BC＝4，
∴．
∵MA＝MC，
∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键．
13．3.4×10-5
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000034=3.4×10-5．
故答案为：3.4×10-5．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．或或或．（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】已知条件是，，补充的第三个条件可以是边，用SAS判断全等，也可以是角，用AAS或者ASA判定全等，所补充的条件一定要符合全等三角形的判定定理．
【详解】解：，，
根据ASA判断全等添加；
根据AAS判断全等添加；
根据SAS判断全等添加或，
故答案为：或或或．（答案不唯一，符合题意即可）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，熟练运用判定定理是解题的关键．
15．
【分析】先把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，即，，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
16．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
17．
【分析】根据正多边形的性质，可求出，由正方形的性质可知，再根据四边形的内角和可求出．
【详解】解：由正五边形的性质可得，
，
根据正多边形内角和公式得：，
，
根据正方形的性质可得：，
由四边形的内角和定理得：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正多边形的内角和问题，解题的关键是求出正多边形内角的度数．
18．①②④
【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB=BC，AD=CD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵AD=CD，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠DAB=90°，
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，
∴BD=2AD，故②正确；
∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19．(1)
(2)，2023
【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤，规范解答即可．
（2）根据完全平方公式，平方差公式，多项式除法运算后，代入求值．
【详解】（1）解：两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：．
将检验，是原分式方程的解．
原分式方程的解为：．
（2）解：
；
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了解分式方程，完全平方公式，平方差公式，多项式除法，熟练掌握分式方程，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
20．，
【分析】先计算括号内的，再计算除法化简原式，然后根据分式有意义的条件可得且，可选择代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
根据题意得：
∴且，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键，要注意分式有意义的条件．
21．见解析
【分析】只需要利用SAS证明△ACE≌△DBF即可得到EC=BF．
【详解】解：∵，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴EC=BF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）作线段的垂直平分线交于点E，点E即为所求．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：如图，点E即为所求．
理由：根据作法得：垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查作图——作线段的垂直平分线，角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23．(1)
(2)小明，理由见解析
(3)5
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可；
（2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可；
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，
∴△DBC是等边三角形 ，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．
在△ADB和△ADC中， ，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC ，
∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．
（2）解：小明的说法更准确，理由如下：
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC ，
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE ．
∵∠ABE=60° ，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE，如图所示，
∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，
∴∠EDC=30° ，
∴ ．
∵△ABD≌△EBC，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
24．(1)甲型号节能灯的单价为30元，乙型号节能灯的单价为25元
(2)40盏
(3)购买5盏甲型号节能灯，6盏乙型号节能
【分析】（1）设乙型号节能灯的单价为元，则甲型号节能灯的单价为（+5）元，根据用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同，列方程求解即可；
（2）设购买甲型号节能灯盏，则购买乙型号节能灯(60－a)盏，根据投入的经费不超过1700元，列不等式求解即可；
（3）设购买了盏甲型号节能灯，盏乙型号节能灯，根据两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，列二元一次方程，再根据m，n均为正整数，求解即可．
【详解】（1）解：设乙型号节能灯的单价为元，则甲型号节能灯的单价为（+5）元，根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，此时+5=30，
答：则甲型号节能灯的单价为30元，乙型号节能灯的单价为25元.
（2）解：设购买甲型号节能灯盏，则购买乙型号节能灯(60－a)盏，根据题意，得
30a+25(60-a)≤1700，
解得：a≤40，
答：最多可购买甲型号节能灯40盏.
（3）解：设购买了盏甲型号节能灯，盏乙型号节能灯，根据题意，得
30m+25n=300,
故.
因为m，n均为正整数，所以，.
答：购买5盏甲型号节能灯，6盏乙型号节能灯.
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，二元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键．
25．（1）；（2），见解析；（3）见解析
【分析】（1）由HL证明≌，结合同角的余角相等可得，继而由ASA证明≌，据此解答；
（2）利用AAS证明≌，根据全等三角形对应边相等的性质结合线段的和差即可解答；
（3）延长，交于点，由ASA证明≌，≌，再根据全等三角形对应边相等的性质．
【详解】解：（1），
，
，，
≌，
，
，
，
，
又，
≌，
故答案为：，；
（2），理由如下：
，，
，
，
，
，
平分，
，
又，，
≌，
，，
；
（3）如图，延长，交于点，

平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．