2023-2024学年北师大版（2012）九年级上册第四章图形的相似单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 北师大版（2012）九年级上册 第四章� �图形的相似� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（    ）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，已知，若， ， ，则AE的长是（　　）A．3.2 B．4 C．5 D．203．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A、点B为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧交于点M、点N，连结交于点D，连结，若，则的大小为（）  A． B． C． D．4．如图，矩形被分割成4个小矩形，其中矩形矩形矩形，，对角线交边于点Q．若要求的面积，需知道下列哪两个图形的面积之差（    ）A．矩形和矩形 B．矩形和矩形C．矩形和矩形 D．矩形和矩形5．已知，那么（    ）A． B． C． D．6．如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，，，则下列比例式不正确的是（   ）A． B． C． D．8．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（    ）A． B． C． D．9．如图，平行四边形内接于，已知，，的面积为1，3，1，那么的面积为（　　）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在和中，，，，点在上，与交于点，连接，下列结论错误的是（    ）．A． B． C． D．11．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为 ．12．如图，在直角坐标系中有两点、，如果点在轴上（与不重合），当点的坐标为 时，使得由点、、组成的三角形与相似．13．如图，是由20个边长为1的正方形组成的的网格．的三个顶点都在正方形的顶点上，若的三个顶点也都是图中正方形的顶点，且，记，则k的所有可能值为 ．14．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为 ．  15．如图，在矩形中，E是边的中点，于点F，则下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数是 ．16．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③，④．其中正确的为 ．（填序号）17．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．(1)若，求证：．(2)若，求的长．18．如图，四边形是平行四边形，点E在边上，点F在对角线上，，．(1)求证：．(2)若，，，则的长______．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键．【详解】解：两条直线被三条平行线所截，，，，，，故选：B．2．C【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．【详解】解： ；∴；∵；∴；解得： ；故选：C．3．D【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．先利用基本作图得到垂直平分，所以，再根据相似三角形的性质得到，则，然后根据三角形内角和求的度数；【详解】解：由作法得垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，．故选：D．4．B【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，设，则，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩形的面积为：，矩形的面积为：，矩形的面积为：，以及的面积，，进而比较可得答案．【详解】解：∵矩形被分割成4个小矩形，设，则，矩形矩形，，，矩形矩形，，，，矩形的面积为：，矩形的面积为：，矩形的面积为：，，，，故选B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，进行的性质，题中相等量两较多，关系复杂，设参数是解题的关键．5．C【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据比例式的性质求解即可求得答案．【详解】解：∵，∴设则，∴．故选：C．6．B【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵点是边的三等分点，点是边的中点，，设，则，∴，故①正确，②错误；∵，∴，同理可得：，∵，设，则，∴，∴，故③正确，④错误；故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．7．B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，灵活应用平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故A、C选项的比例式正确，不符合题意；∵，，∴，∴，，∴，，∴，故B选项的比例式不正确，符合题意；∵，∴，，∴， 故D选项的比例式正确，不符合题意；无法得到，故选：B．8．D【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵，∴，∴，A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加不能证明，故此选项符合题意；故选：D．9．B【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定以及性质，作三角形的高，交与N，交于M，设，，得出的面积为，由平行四边形的性质得出，进一步得出，根据面积之比等于高的比的平方，列出关于的比例，求出即可求出答案．【详解】解：作三角形的高，交与N，交于M，如图：设，．∵．∴，∴的面积为；又∵，∴，根据面积之比等于高的比的平方，∴，解得，（舍去）故的面积为4．故选：B．10．D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质等，由两个三角形为等腰直角三角形易得到，，即可判断；证明得到，进而可判断；证明即可判断；证明即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】，，，，，，选项正确；，，，，，，，又，，选项正确；，，，∴，，即，选项正确；，，又，，，，即，选项错误；故选：．11．20【分析】本题考查了相似图形的性质，根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，，，，根据与的周长比等于相似比可得：，，，故答案为：20．12．或或【分析】本题考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质；根据题意可知，若点、、组成的三角形与相似，则有或，分情况利用相似三角形的性质求出即可．【详解】解：∵、，∴，，，∵点在轴上，∴，∵点、、组成的三角形与相似，∴或，当时，有，∴，∴，即，当时，有，∴，∴，∴或，综上，当点的坐标为或或时，由点、、组成的三角形与相似，故答案为：或或．13．1或【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，根据题意，进行分情况分析是解题关键．【详解】解：如图所示：当时，∵，∴，∴；如图所示：当时，∵，∴，∴；故答案为：1或．14．【分析】主要考查位似图形的性质．根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，∴当时，，∴位似中心的坐标为，故答案为：．15．3【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，①先证明，再由，即可证明；②先得到，由矩形的性质可得，由此证明，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论；③可证根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论．【详解】解：，∴，，∵四边形是矩形，∴，，，又，，故①正确；是边的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，，，，故②正确；，，，，，，，故③正确，∴正确的有3个，故答案为：3．16．【分析】可以发现由于对称性，可以证明①的结论，再结合等腰，可以求出，对于面积比直接用高作比即可求出，最后一个直接判定形相似就可以得出结论．【详解】①∵四边形为正方形，为对角线；∴；，，；∵是等边三角形；∴，°；∴；在中，；∴，∵，∴，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，即，∴，故结论①正确．②∵，，∴，∴，故结论②正确．③过点H作于T，于K，如图所示： ∵，∴四边形为矩形，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，，∴，故结论③不正确．④∵，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，故结论④正确；综上所述：正确的结论是；故答案为：．【点睛】本题主要考查，角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质和正方形的性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的母子相似判定和性质，遇到边长倍的关系，学会利用特殊角与边的关系，正方形和等边三角形要注重边和角的转化及求解角度，学会把面积比转为为高之比，见到恒等式特别是带平方的，要会证明相似三角形解决问题是解题的关键．17．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．（1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即；（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴即；（2）解：∵平行四边形中，，又∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．18．(1)见详解(2)【分析】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定；（1）利用平行四边形的对角相等可得，再根据已知条件易得，然后结合，根据两个角对应相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据平行四边形的对边平行且相等易得，再由两直线平行，内错角相等并结合已知条件可得，然后根据等角对等边可求得的长度，再结合已知条件利用线段的和差求得的长度，根据相似三角形的对应边成比例可求得的长度，最后利用线段的和差即可求得答案；【详解】（1）∵四边形是平行四边形，，，，，；（2）是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．