数学必修 第二册第六章 立体几何初步本章综合与测试单元测试同步练习题

这是一份数学必修 第二册第六章 立体几何初步本章综合与测试单元测试同步练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知三棱锥,平面BCD,,,,将三棱锥绕着AD旋转一周,则该三棱锥所经过的空间区域构成的几何体的体积为( )
A.B.C.32D.
2、已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆,且该圆锥的体积为,则( )
A.B.C.D.3
3、四面体ABCD顶点都在半径为2的球面上,正三角形ABC的面积为,则四面体ABCD的体积最大为( )
A.B.C.D.
4、已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
5、已知一个圆锥的底面积为,侧面积为,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
6、如图所示,在正方形中ABCD,,以AC为折痕把顺时针折起,折成一个大小为的二面角,若,则四面体的体积为( )
A.B.C.D.
7、已知三条直线a,b,c若a和b是异面直线,b和c是异面直线,那么直线a和c的位置关系是( )
A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面
8、已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，那么在中，的大小是( )
A.B.C.D.
9、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.B.C.D.
10、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
11、《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图,现有一方亭,其中上底面与下底面的面积之比为,,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和为,则方亭的体积为______.
12、若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为___________.
13、已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是__________.
14、在梯形ABCD中，，，M为AC的中点，将沿直线AC翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
15、在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为________.
16、在正方体中，E，F分别为AB，的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有_________个公共点.
三、解答题
17、在边长为a的正方体上选择四个顶点,然后将它们两两相连,且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体,记为四面体.
（1）请在给出的正方体中画出该四面体,并证明;
（2）设的中心为O,关于点O的对称的四面体记为,求与的公共部分的体积.(注:到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心)
18、如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点.
（1）设平面平面，证明：.
（2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
19、如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）求三棱锥的体积.
20、如图，在正方体中，求证：
（1）平面；
（2）与平面的交点H是的重心.
参考答案
1、答案：A
解析：因为平面BCD,BD,平面BCD,所以,,
又因为,且,AD,平面ACD,
所以平面ACD,
因为平面ACD,所以,
所以AD,BD,CD三条直线两两垂直.
由勾股定理可知,
因为,所以,
如图三棱锥绕着AD旋转形成以DC为底面圆半径的圆锥.
圆锥的底面半径,高,体积.
故选：A.
2、答案：C
解析：令圆锥底面圆半径为,则,解得,
从而圆锥的高,
因此圆锥的体积,解得.
故选:C
3、答案：B
解析：设正三角形ABC的边长为a,,
所以,
由正弦定理(r为的外接圆的半径)
所以,
所以球心到平面ABC的距离,
则四面体体积最大为.
故选:B
4、答案：A
解析：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为矩形ABCD的对角线长度的一半，因为，，所以矩形ABCD所在截面圆的半径，由矩形ABCD的面积，设O到平面ABCD的距离为h，所以，解得，所以球O的半径，所以球O的表面积.故选A.
5、答案：C
解析：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r,h,l,
则解得所以.
圆锥的体积
故选：C.
6、答案：D
解析:由于四边形ABCD为正方形,所以,,,OB,平面BOD,
所以,且平面BOD,
故,又因为,故为等边三角形,
故
故选:D
7、答案：D
解析：画图分析可知空间直线的三种位置关系均有可能.故D正确.
8、答案：C
解析：根据斜二测画法,可知在中，，，
，
是等边三角形，
故选C.
9、答案：D
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则
由题意可知，，
因此有
，
即，
解得，
因为，
所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
故选：D.
10、答案：A
解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而，，平面，因此平面，
在等腰中，，，则，，
令的外接圆圆心为，则平面，，
有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，
从而，四边形为平行四边形，，又，
因此球O的半径，
所以球O的表面积.
故选：A.
11、答案：
解析：由题意得,设,则,.
过点E,F在平面ABFE内分别作,,垂足分别为点M,N,
在等腰梯形ABFE中,因为,,,则四边形MNFE为矩形,
所以,,则,
因为,,,
所以,所以,
在中,由勾股定理得,
所以等腰梯形ABFE的面积为,所以.
所以,,方亭的高,
故方亭的体积为.
故答案为:
12、答案：
解析：由圆柱形容器的容积，得，所以甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为.
13、答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的表面积为，
所以，即，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，即，
所以.
故答案为：.
14、答案：
解析：由题得，因为，，，
因为，，所以M是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面ABC的高最大，
即此时平面平面ABC，即平面ABC，
如图，设球心为O，在平面内作，垂足为M，因为，所以，所以平面ABC，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为.
15、答案：
解析：解法一：如图所示，设点，O分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，，则点，O分别为，的中点，连接，则即正四棱台的高，过点作，垂足为E，则.因为，，所以，，所以，又，所以，，所以，所以.
解法二：如图，将正四棱台补形成正四棱锥，因为，，，所以，，，分别为PA，PB，PC，PD的中点，又，所以，
即.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则平面ABCD，易知，所以，所以正四棱台的高为，所以.(或者，，所以)
16、答案：12
解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）如图,取A,,C,四点并顺次连接四点,
构成四面体,
设正方体的边长为a,
则该四面体的每一条边长为,
所以证得四面体为正四面体;
（2）连接,交于点O,
则O为正方体的中心,
所以O到正方体的各个顶点的距离相等,
故O为四面体的中心,
可得A关于O的对称点为,关于O的对称点为D,
C关于O的对称点为,关于O的对称点为B,
如图所示,得到四面体为,
,
设,,分别为CA,,的中点,
所以.
18、
（1）答案：见解析
解析：因为，平面PDC，平面PDC，
所以平面PDC.又因为平面平面，且平面PAB，所以.
（2）答案：存在点M，使得平面MBD，此时，理由见解析
解析：存在点M，使得PA∥平面MBD，此时.证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO.
因为，且，所以，又因为，，
所以，因为平面，平面，所以平面.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题设可知，，
在中，，即，因为底面ABCD，又因为平面ABCD，
所以，又因为，PA，平面PAC，
所以平面PAC；
（2）由底面ABCD，所以PA是三棱锥的高，
所以.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图所示，连接BD，，则.
平面，
.
又，
平面.
平面，
，同理.
，
平面.
（2）连接，CH，，由，得，因此点H为的外心.
又为正三角形，
点H是的重心.