高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试单元测试课后练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试单元测试课后练习题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )
A.B.
C.D.
2、正三棱锥的侧棱两两垂直,D,E分别为棱PA,BC的中点,则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
3、如图,在四面体OABC中,,,.点M在OA上,且满足,N为BC的中点,则( )
A.B.C.D.
4、在长方体中，，，设与交于点O，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5、如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6、过，两点的直线的一个方向向量为，则( )
A.B.C.-1D.1
7、如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成.在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )
A.B.C.D.
8、在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )
A.
B.
C.
D.
9、如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
10、已知的三个顶点为,,,则BC边上的中线长为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
11、在正方体中,E,F分别为棱AD,的中点,则异面直线与DF所成角的正弦值为________.
12、已知直线l经过点,且其一个方向向量为,则直线l的方程为______________.
13、已知四棱锥的底面是矩形，平面底面，且，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
14、如图，在正方体中，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是__________.
15、如图,在四棱锥中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD,,,点Q是侧棱PD的中点,点M,N分别在边AB,BC上,当空间四边形PMND的周长最小时,点Q到平面PMN的距离为______.
16、已知点,平面a经过原点O,且垂直于向量,则点A到平面a的距离为______.
三、解答题
17、如图所示，在三棱锥中，O为的中点，平面，侧面与侧面均为等边三角形，，求平面与平面夹角的余弦值.
18、如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点E在线段上（不含端点）.
（1）是否存在点E，使得平面？
（2）是否存在点E，使得平面平面？
19、如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,,,,M为CE的中点.
（1）求证:平面ADEF;
（2）求证:平面BDE.
20、如图,在直三棱柱中,,,,,点D是AB的中点.求证：
(1);
(2)平面.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意可得,.
故选：B.
2、答案：D
解析：设,以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
则.从而异面直线PC与DE所成角的余弦值为.
故选D.
3、答案：D
解析：如图,连接ON,
N是BC的中点,,
,,
.
故选：D.
4、答案：D
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选D.
5、答案：D
解析：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，
所以，
所以，，，
故直线与平面所成角的正弦值为.故选D.
6、答案：C
解析：依题意，得，解得.故选C.
7、答案：A
解析：分别取DE,DC的中点O,F,则点A的轨迹是以AF为直径的圆,
以OA,OE为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系,
则,平面ABCD的其中一个法向量为,
由,设,则,
记直线与平面ABCD所成角为,则,
设,,
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为,
故选：A.
8、答案：A
解析：由题意，得，，，则，，设平面的一个法向量是，则即令，则，，所以，故选A.
9、答案：B
解析：连接，是的中点，，
，，
.
10、答案：C
解析：BC边上的中点为,所以,
故选：C.
11、答案：
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则,,,,
则,,
,
所以与DF所成角的正弦值为.
故答案为:.
12、答案：
解析：因为直线l的一个方向向量为,
则直线的斜率,又直线过点,
故所求直线方程为,即.
故答案为：.
13、答案：
解析：如图，过点P作于点O，以O为坐标原点，，所在直线分别为x轴，z轴，过点O且与平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，所以，，，设异面直线与所成的角为，所以.
14、答案：
解析：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，设，则，
设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以，所以
因为，所以，即，
即，
所以，
所以，又，
所以.
15、答案：或
解析：要使得空间四边形PMND周长最小,只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面,
延长DC至,使得,
于是点N在线段的垂直平分线上,所以,
因为PD为定值,故当点P,M,N和共线时,空间四边形PMND的周长最小,
易得,即得,即,
所以,,,
以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,由题意可得,,,
则,,
设是平面PMN的一个法向量,则.即得,
令,得,,,,
所以点Q到平面PMN距离.
故答案为:.
16、答案：
解析:由题意,,,
,
所以点A到平面a的距离为.
故答案为:.
17、答案：
解析：因为与均为等边三角形，所以.连接，则.以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，所以.
易知平面的一个法向量为.
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18、答案：（1）存在点E，使得平面
（2）不存在点E，使得，即不存在点E，使得平面平面
解析：（1）底面为正方形，
，又平面，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，，，，则，，，，.
，，，设，，
则.
设平面的一个法向量为，
则即令，则，，.
若平面，则，，解得，
易知，
故存在点E，使得平面.
（2），，，设平面的一个法向量为，则
令，则，，.
设，，
则，
易知.
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
.
若平面平面，
则，即，此方程无解，
不存在点E，使得，即不存在点E，使得平面平面.
19、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析:（1）根据题意可知平面平面ABCD,
平面平面,
又ADEF是正方形,所以,平面ADEF,
所以平面ABCD,
即,,两两垂直;
以D为原点,分别以,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,,,,
又M为CE的中点,所以,
则,,,
所以,故,,共面.
又平面ADEF,
所以平面ADEF;
（2）,,
易知,所以;
又,可得;
又,DB,平面BDE,
所以平面BDE.
20、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）直三棱柱,,,,,
因为,所以.
AC,BC,两两垂直.
如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,
,.
（2）设与的交点为E,则.
,,
,
.
平面.
平面,
平面.