高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试单元测试课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试单元测试课后练习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,边AB平行于y轴,BC,AD平行于轴,已知四边形ABCD的面积为,则原四边形的面积为( ).
A.12B.C.D.3
2、我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数的最小值( )
A.B.C.D.
3、已知在直三棱柱中,E,F分别为,的中点,,,,,如图所示,若过A,E,F三点的平面作该直三棱柱的截面,则所得截面的面积为( )
A.B.C.D.
4、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.B.C.D.
5、已知某圆台的高为,上底面半径为1,下底面半径为2,则其侧面展开图的面积为( )
A.9πB.C.D.
6、已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，那么在中，的大小是( )
A.B.C.D.
7、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，M为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8、如图所示的正方形的边长为2 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )
A.B.C.D.
9、如图，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A.ABB.ADC.ACD.BC
10、已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为，与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A.B.C.D.
二、填空题
11、如图，二面角的大小是，线段，，与l所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是___________.
12、在梯形ABCD中，，，M为AC的中点，将沿直线AC翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
13、在正方体中，E，F分别为AB，的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有_________个公共点.
14、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.
15、如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的表面积为_______________.
16、如图，四棱台的底面是正方形，底面ABCD，，则直线与所成角的余弦值为__________________.
三、解答题
17、如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18、如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点Q是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
19、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点.
（1）求证；
（2）求三棱锥的体积.
20、如图，在三棱锥中，，PA上底面ABC.
（1）求证：平面平面PBC；
（2），M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.
参考答案
1、答案：B
解析：设斜二测画法中梯形的上底为长度,下底长度为b,,
则梯形的面积为:,则,
原平面图形是一个梯形,且上底为长度,下底长度为b,高为,
其面积.
故选:B
2、答案：A
解析：根据函数的表达式可知，构造三棱锥，其中，，，且，，，
由余弦定理可得，，，，
的最小值即为的最小值，
将三棱锥按照展开可得展开图，且，，
故的最小值为.
故选：A.
3、答案：B
解析:延长AF,且AF与相交于G,连接EG,并与相交于D,连接FD,则四边形AEDF为所求的截面.
在中,由,,得.
在中,由,,得.
因为F为的中点,所以由平面几何知识可知,.
所以,,即G为AG的中点,所以.
又由,可得,
又,,所以.
在中,由,,得,所以.
所以在中,有,,,
即,所以.又注意到,
,
则四边形AEDF的面积为.
故选:B.
4、答案：A
解析：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,
所以在正方体中,
平面与线,,所成的角是相等的,
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,
要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,
且过棱的中点的正六边形,且边长为,
所以其面积为,
故选A.
5、答案：A
解析：圆台的母线长为,
其侧面展开图的面积.
故选：A.
6、答案：C
解析：根据斜二测画法,可知在中，，，
，
是等边三角形，
故选C.
7、答案：C
解析：画出四面体，建立坐标系，
利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可，
四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示，
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
，，，，
，，
，
因为异面直线夹角的范围为，
所以异面直线与夹角的余弦值为.
故选：C.
8、答案：C
解析：由于原几何图形的面积:直观图的面积，
又正方形的边长为，
正方形的面积为，
原图形的面积.
故选C.
9、答案：C
解析：是水平放置的的直观图，则在中，，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：C
10、答案：D
解析：由题意知四棱锥为正四棱锥，如图，记，连接SO，则平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得，则，，易知.因为，，，所以也为OM与平面SAB所成的角，即BC与平面SAB所成的角，根据最小角定理知，所以，故选D.
11、答案：
解析：如图，过点A作平面的垂线，垂足为C，在平面内过点C作直线l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，所以，连接CB，则为AB与平面所成的角.设，则，，所以.
12、答案：
解析：由题得，因为，，，
因为，，所以M是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面ABC的高最大，
即此时平面平面ABC，即平面ABC，
如图，设球心为O，在平面内作，垂足为M，因为，所以，所以平面ABC，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为.
13、答案：12
解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点.
14、答案：
解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则，所以，所以，所以，所以内切球的体积，即该圆锥内半径最大的球的体积为.
15、答案：
解析：如图，取AB中点O，连接OC，OD，在中，由，，，得，则，又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则，在中，，，，则，，平面ACD，得，则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为.
16、答案：
解析：设AB的中点为E，连接，则易知，，四边形是平行四边形，，为直线与所成的角.四边形ABCD是正方形，，底面ABCD，，又，平面，，是直角三角形.设，则，，.
17、
（1）答案：见解析
解析：连接，
是正方形，E是的中点，
E是的中点，F是的中点，
，平面，平面，
平面.
（2）答案：
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，设与平面所成角为，
则.
18、
（1）答案：
解析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为，，，.
因为平面，所以是平面的一个法向量，.
因为，.
设平面的法向量为，则，，
即，令，解得，.
所以是平面的一个法向量，从而，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
（2）答案：
解析：因为，设，
又，则，
又，
从而，
设，，
则，
当且仅当，即时，的最大值为.
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值.
又因为，所以.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）折叠前，，，折叠后，，，又，平面，.
（2）由（1）可知，平面，棱锥的高.又折前为，E，F分别为AB，BC的中点，
.
.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）底面ABC，
底面ABC，
.又，即.
，平面PAC.
平面PBC，平面平面PBC.
（2）取PC的中点D，连接AD，DM.
..由（1）知，平面PAC，
又平面PAC，.而，平面PBC.
DM是斜线AM在平面PBC上的射影.
就是AM与平面PBC所成的角，目.
设，则由M是PB中点得，
..
即AM与平面PBC所成角的正切值为.