2022-2023学年宁夏石嘴山市平罗县八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年宁夏石嘴山市平罗县八年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是( )
A. 两点之间线段最短B. 垂线段最短C. 两定确定一条直线D. 三角形的稳定性
2.下列运算中正确的是( )
A. a8÷a2=a4B. a2+a4=a6C. (a2)4=a6D. a2⋅a4=a6
3.下列命题中，是假命题的是( )
A. 一个锐角与一个钝角的和等于平角B. 全等三角形的面积相等
C. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直D. 对顶角相等
4.在 1x，12，x2−12，5π，3x−y …分式的个数有个．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是( )
A. 1080°B. 1260°C. 1440°D. 1800°
6.若点M(2a,−1)与点N(4,−b)关于x轴对称，则a+b的值为( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
7.仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明画出∠AOB=∠CPD的依据是( )
A. SASB. AASC. ASAD. SSS
8.如图，△ABC的面积为12，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，则阴影部分的面积为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.约分：3a2b15a2b2= ______ ．
10.当______时，(x−4)0=1．
11.在线段、角、圆、长方形、梯形、三角形、等边三角形中，是轴对称图形的有______个．
12.若2a=3，2b=6，则2a+b= ______ ．
13.分式1xy,2yz,4xz2的最简公分母为______ ．
14.如图，已知AD是△ABC的高，AE分∠BAC，∠B=28°，∠ACD=58°，求∠AED的度数为______ ．
15.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有______ 种选择．
16.如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ=3，NQ=7，则MH的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
因式分解：3ma2−18ma+27m．
18.(本小题6分)
解方程：xx−2−1=8x2−4．
19.(本小题6分)
已知△ABC在平面直角坐标系中位置如图所示．
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
20.(本小题6分)
如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：x−3x2−4÷(1−1x−2)，其中x=1．
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)尺规作图，作线段AC的垂直平分线分别交AC、AB于E、F两点，(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的情况下，连接CF，若∠BAC=50°，求∠BCF的度数．
23.(本小题8分)
如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：
(1)△BDF≌△CDE；
(2)AD平分∠BAC．
24.(本小题8分)
下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程．
解：设x2−4x=y，
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2−4x+4)2(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A、提取公因式
B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底______.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解．
25.(本小题10分)
问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则AC=12AB.探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
(1)如图(1)，作AB边上的中线CE，证明：
①△ACE为等边三角形；
②BE=CE．
(2)如图(2)，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接BP.试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
26.(本小题10分)
某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使(2)中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选D．
用窗钩AB固定窗户，显然是运用了三角形的稳定性．
本题考查了三角形的稳定性，注意能够运用数学知识解释生活中的现象．
2.【答案】D
【解析】解：A、a8÷a2=a6，故原计算错误，不符合题意；
B、a2+a4=a2+a4，故原计算错误，不符合题意；
C、(a2)4=a8，故原计算错误，不符合题意；
D、a2⋅a4=a6，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则及合并同类项法则依次计算判断即可．
此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘除法法则，幂的乘方法则及合并同类项法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、一个锐角与一个钝角的和不一定等于平角，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B、全等三角形的面积相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、互为补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；
D、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：A．
利用平角的定义、全等三角形的性质、互补的性质及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关定义及性质，难度不大．
4.【答案】A
【解析】解：1x，3x−y 是分式，
故选：A．
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意5π是整式不是分式．
5.【答案】B
【解析】根据多边形的外角和是360°求出该多边形的边数，再用多边形的内角和公式求出多边形的内角和即可．
本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式(n−2)⋅180°是解题的关键．
解：该多边形的边数为360°÷40°=9，
(9−2)×180°=1260°．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：∵点M(2a,−1)与点N(4,−b)关于x轴对称，
∴2a=4，−b=1，
解得a=2，b=−1，
则a+b=2−1=1．
故选：C．
直接利用关于x轴对称点的性质(横坐标不变，纵坐标互为相反数)得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：由作法易得OH=PN，OG=PM，HG=MN，
在△HOG与△NPM中，
OH=PNHG=MNOG=PM，
∴△HOG≌△NPM(SSS)，
∴∠AOB=∠CPD(全等三角形的对应角相等)．
故选：D．
由作法易得OH=PN，OG=PM，HG=MN，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接BE，
∵F是CE的中点，
∴S△BFC=12S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=12S△ABD，
同理可得S△CDE=12S△ADC，
∴S△BDE+S△CDE=12S△ABD+12S△ADC，
∴S△BEC=12S△ABC，
∴S△BFC=14S△ABC=3，
故选B．
根据三角形中线平分三角形面积，先证明S△BFC=12S△BEC，再证明S△BEC=12S△ABC即可得到答案．
本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
9.【答案】15b
【解析】解：3a2b15a2b2=15b；
故答案为：15b．
根据分式的基本性质解答即可．
本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10.【答案】x≠4
【解析】解：当x−4≠0时，(x−4)0=1，
解得：x≠4．
故答案为：x≠4．
直接利用零指数幂：a0=1(a≠0)，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
11.【答案】5
【解析】解：线段、角、圆、长方形、等边三角形是轴对称图形，
梯形和三角形不一定是轴对称图形，
故答案为：5．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
12.【答案】18
【解析】解：∵2a=3，2b=6，
∴2a+b=2a×2b=3×6=18，
故答案为：18．
根据同底数幂逆运算进行求解即可．
本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知同底数幂乘法运算法则为：底数不变，指数相加；是解本题的关键．
13.【答案】xyz2
【解析】解：分式1xy,2yz,4xz2的最简公分母为xyz2，
故答案为：xyz2．
先确定最简公分母的系数，再取各分母的所有因式的最高次幂的积，即可得到答案．
本题考查的是最简公分母的确定，掌握“最简公分母的含义”是解本题的关键．
14.【答案】43°
【解析】解：∵∠B=28°，∠ACD=58°，
∴∠BAC=∠ACD−∠B=58°−28°=30°，
∵AE分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=15°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=43°．
故答案为：43°．
利用三角形外角性质求出∠BAC，根据AE平分∠BAC，可知∠BAE=12∠BAC=15°，再利用外角的性质，可求得∠AED的度数．
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
15.【答案】3
【解析】解：如图所示：
灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，
故答案为：3．
利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．
16.【答案】4
【解析】解：∵∠MQN=∠MRH=90°，∠MHR=∠NHQ，
∴∠QNH=∠PMQ，
又∵MQ=NQ，
∴△NQH≌△MQP(ASA)，
∴QH=PQ=3，
又∵MQ=NQ=7，
∴MH=MQ−QH=7−3=4，
故答案为：4．
根据ASA证明△NQH≌△MQP，得出QH=PQ=3，再根据MQ=NQ=7即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：3ma2−18ma+27m
=3m(a2−6a+9)
=3m(a−3)2．
【解析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：原方程即：xx−2−1=8(x+2)(x−2)．
方程两边同时乘以(x+2)(x−2)，
得x(x+2)−(x+2)(x−2)=8．
化简，得 2x+4=8．
解得：x=2．
检验：x=2时，(x+2)(x−2)=0，即x=2不是原分式方程的解，
则原分式方程无解．
【解析】观察可得最简公分母是(x+2)(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
19.【答案】解：(1)根据平移的性质，如图1，

△A1B1C1即为所求．
(2)根据对称的性质，如图2，

△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)根据平移的性质，即可画出图形；
(2)首先画出△ABC各顶点关于y轴的对称点，再连线即可画得△A2B2C2．
本题考查了平移作图和轴对称作图，熟练掌握和运用平移作图和轴对称作图的方法是解决本题的关键．
20.【答案】解：∵点M是P点关于OA的对称点，
∴EP=EM，
∵N是P点关于OB的对称点，
∴PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∵△PEF的周长为20，
∴MN=20cm．
【解析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长，再根据△PEF的周长为20，即可得出MN的长．
此题主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
21.【答案】解：x−3x2−4÷(1−1x−2)
=x−3x2−4÷x−2−1x−2
=x−3(x+2)(x−2)÷x−3x−2
=x−3(x+2)(x−2)⋅x−2x−3
=1x+2，
当x=1时，原式=11+2=13．
【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：(1)如图，直线EF即为所求；
(2)连接CF，
在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠B=∠ACB=180°−50°2=65°．
∵直线EF是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠A=50°，
∴∠BCF=∠ACB−∠ACF=65°−50°=15°．
【解析】(1)利用尺规作图作出线段AC的垂直平分线即可；
(2)连接CF，先根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=65°，再由直线EF是线段AC的垂直平分线可得出AF=CF，故可得出∠ACF=∠A=50°，进而可得出结论．
本题考查的是尺规作图及等腰三角形的性质，根据题意作出AC的垂直平分线是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BDF和△CDE中，
∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDEBD=CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)；
(2)∵△BDF≌△CDE，
∴DF=DE，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴AD平分∠BAC．
【解析】(1)由题意易得∠BFD=∠CED=90°，然后问题可求证；
(2)由(1)可得DF=DE，然后根据角平分线的判定定理可进行求证．
本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)C；
(2)不彻底；(x−2)4；
(3)设x2−2x=y．
(x2−2x)(x2−2x+2)+1
=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2−2x+1)2
=(x−1)4．
【解析】【分析】
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照题干提供的方法和样式解答即可，难度中等．
(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
(2)x2−4x+4还可以分解，所以是不彻底．
(3)按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】
解：(1)运用了C，两数和的完全平方公式；
故答案为：C；
(2)x2−4x+4还可以分解，分解不彻底；
故答案为：不彻底；(x−2)4；
(3)见答案．
25.【答案】(1)证明：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵CE为AB边上的中线，
∴AC=12AB=AE=EB，
∴△ACE是等边三角形；
②∵△ACE是等边三角形，
∴EC=AE．
∵AE=EB，
∴BE=CE；
(2)解：PD=PB．
证明：如图(2)，连接PE，

∵△ACE，△ADP都是等边三角形，
∴AC=AE，AD=AP，∠CAE=∠DAP=60°，
∴∠CAD=∠EAP，
∴△CAD≌△EAP(SAS)，
∴∠ACD=∠AEP=90°，
∴PE⊥AB．
∵EA=EB，
∴PE垂直平分AB，
∴PA=PB．
∵DP=AP，
∴PD=PB．
【解析】(1)①由题意可得∠A=60°，根据30度角的直角三角形的性质和CE为AB边上的中线可得AC=12AB=AE=EB，进而可得结论；
②根据等边三角形的性质和AE=EB即可证得结论；
(2)连接PE，根据等边三角形的性质可证得△CAD≌△EAP(SAS)，可得∠ACD=∠AEP=90°，进而可得PE垂直平分AB，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：
100000m+1000=80000m．
解得：m=4000．
经检验，m=4000是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价4000元；
(2)设购进甲种电脑x台．则：
48000≤3500x+3000(15−x)≤50000．
解得：6≤x≤10．
因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；
(3)设总获利为W元．则：
W=(4000−3500)x+(3800−3000−a)(15−x)=(a−300)x+12000−15a．
当a=300时，(2)中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．
【解析】(1)求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．
(2)关系式为：4.8≤甲种电脑总价+乙种电脑总价≤5．
(3)方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，所以要多进乙．
本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．