高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试单元测试课时训练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试单元测试课时训练，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆,且该圆锥的体积为,则( )
A.B.C.D.3
2、已知一个圆锥的母线长为2,其侧面积为,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
3、今年入夏以来,南方多省市出现高温少雨天气,持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔时,相应水面的面积为；水位为海拔时,相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔下降到时,减少的水量约为（）( )
A.B.C.D.
4、四面体ABCD顶点都在半径为2的球面上,正三角形ABC的面积为,则四面体ABCD的体积最大为( )
A.B.C.D.
5、在底面半径为1的圆锥中,若该圆锥侧面展开图的面积是,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
6、我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数的最小值( )
A.B.C.D.
7、已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
8、已知在直三棱柱中,E,F分别为,的中点,,,,,如图所示,若过A,E,F三点的平面作该直三棱柱的截面,则所得截面的面积为( )
A.B.C.D.
9、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.B.C.D.
10、已知一个圆锥的底面积为,侧面积为,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
11、《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图,现有一方亭,其中上底面与下底面的面积之比为,,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和为,则方亭的体积为______.
12、在空间直角坐标系中,点A,B,C,M的坐标分别是,,,,若A,B,C,M四点共面,则___________.
13、若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为___________.
14、已知，，分别是平面，，的一个法向量，则，，三个平面中互相垂直的有___________对.
15、已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是__________.
16、在梯形ABCD中，，，M为AC的中点，将沿直线AC翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
三、解答题
17、在边长为a的正方体上选择四个顶点,然后将它们两两相连,且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体,记为四面体.
（1）请在给出的正方体中画出该四面体,并证明;
（2）设的中心为O,关于点O的对称的四面体记为,求与的公共部分的体积.(注:到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心)
18、如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19、如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．
（1）求证：平面PEC；
（2）求平面PCD与平面PCE夹角的余弦.
20、如图，在正方体中，求证：
（1）平面；
（2）与平面的交点H是的重心.
参考答案
1、答案：C
解析：令圆锥底面圆半径为,则,解得,
从而圆锥的高,
因此圆锥的体积,解得.
故选:C
2、答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为,
由,则,
则圆锥的体积为.
故选:A
3、答案：C
解析：台体体积公式:,
由题意可得，
代入计算得
故选:C.
4、答案：B
解析：设正三角形ABC的边长为a,,
所以,
由正弦定理(r为的外接圆的半径)
所以,
所以球心到平面ABC的距离,
则四面体体积最大为.
故选:B
5、答案：B
解析:如图底面半径为的圆锥中,侧面积为,
所以,由勾股定理得,
所以该圆锥的体积.
故选:B.
6、答案：A
解析：根据函数的表达式可知，构造三棱锥，其中，，，且，，，
由余弦定理可得，，，，
的最小值即为的最小值，
将三棱锥按照展开可得展开图，且，，
故的最小值为.
故选：A.
7、答案：A
解析：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为矩形ABCD的对角线长度的一半，因为，，所以矩形ABCD所在截面圆的半径，由矩形ABCD的面积，设O到平面ABCD的距离为h，所以，解得，所以球O的半径，所以球O的表面积.故选A.
8、答案：B
解析:延长AF,且AF与相交于G,连接EG,并与相交于D,连接FD,则四边形AEDF为所求的截面.
在中,由,,得.
在中,由,,得.
因为F为的中点,所以由平面几何知识可知,.
所以,,即G为AG的中点,所以.
又由,可得,
又,,所以.
在中,由,,得,所以.
所以在中,有,,,
即,所以.又注意到,
,
则四边形AEDF的面积为.
故选:B.
9、答案：A
解析：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,
所以在正方体中,
平面与线,,所成的角是相等的,
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,
要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,
且过棱的中点的正六边形,且边长为,
所以其面积为,
故选A.
10、答案：C
解析：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r,h,l,
则解得所以.
圆锥的体积
故选：C.
11、答案：
解析：由题意得,设,则,.
过点E,F在平面ABFE内分别作,,垂足分别为点M,N,
在等腰梯形ABFE中,因为,,,则四边形MNFE为矩形,
所以,,则,
因为,,,
所以,所以,
在中,由勾股定理得,
所以等腰梯形ABFE的面积为,所以.
所以,,方亭的高,
故方亭的体积为.
故答案为:
12、答案：6
解析:由题意,得,,,
又A,B,C,M四点共面,则存在x,,使得,
即,即,解得,
所以.
故答案为:6.
13、答案：
解析：由圆柱形容器的容积，得，所以甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为.
14、答案：0
解析：因为，，，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即，，中任意两个都不垂直.
15、答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为圆锥的表面积为，
所以，即，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以，即，
所以.
故答案为：.
16、答案：
解析：由题得，因为，，，
因为，，所以M是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面ABC的高最大，
即此时平面平面ABC，即平面ABC，
如图，设球心为O，在平面内作，垂足为M，因为，所以，所以平面ABC，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）如图,取A,,C,四点并顺次连接四点,
构成四面体,
设正方体的边长为a,
则该四面体的每一条边长为,
所以证得四面体为正四面体;
（2）连接,交于点O,
则O为正方体的中心,
所以O到正方体的各个顶点的距离相等,
故O为四面体的中心,
可得A关于O的对称点为,关于O的对称点为D,
C关于O的对称点为,关于O的对称点为B,
如图所示,得到四面体为,
,
设,,分别为CA,,的中点,
所以.
18、
（1）答案：见解析
解析：连接，
是正方形，E是的中点，
E是的中点，F是的中点，
，平面，平面，
平面.
（2）答案：
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，设与平面所成角为，
则.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：依题意，平面ABCD．
如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系．
依题意，可得，，，
，，，．
取PC的中点M，连接EM．
因为，，，
所以，所以．
又因为平面PEC，平面PEC，
所以平面PEC．
（2）因为,所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，且,,
所以平面PAD，
又因平面PAD，所以，
且,PD,平面PCD,
所以平面PCD,平面PCD,
所以，，PD，平面PCD，
所以平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．
设平面PCE的法向量为，
因为,
所以即，
令，得，，故．
所以，
所以平面PCD与平面PCE夹角的余弦值为.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图所示，连接BD，，则.
平面，
.
又，
平面.
平面，
，同理.
，
平面.
（2）连接，CH，，由，得，因此点H为的外心.
又为正三角形，
点H是的重心.