高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试单元测试同步测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何本章综合与测试单元测试同步测试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )
A.B.
C.D.
2、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在上,且,点N为BC中点,则( )
A.B.
C.D.
3、已知四面体的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
4、如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成.在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )
A.B.C.D.
5、在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )
A.
B.
C.
D.
6、正四面体的棱长为2，动点P在以为直径的球面上，则的最大值为( )
A.2
B.
C.4
D.
7、如图，在三棱柱中，G为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8、在正四面体中，E，F分别是，的中点，则与的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
9、已知i，j，k是两两垂直的单位向量，若，，则等于( )
A.1
B.2
C.
D.-3
10、如图,在三棱柱中,E,F分别是BC,的中点,为的重心,则( )
A.B.
C.D.
二、填空题
11、已知直线l经过点,且其一个方向向量为,则直线l的方程为______________.
12、如图，在三棱柱中，，，，，，点D，E分别在棱，上，且，，则二面角的正切值为__________.
13、如图，在正方体中，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是__________.
14、如图,在四棱锥中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD,,,点Q是侧棱PD的中点,点M,N分别在边AB,BC上,当空间四边形PMND的周长最小时,点Q到平面PMN的距离为______.
15、在空间四边形中，若是正三角形，且E为其中心，则___________.
16、已知点,平面a经过原点O,且垂直于向量,则点A到平面a的距离为______.
三、解答题
17、如图所示，在三棱锥中，O为的中点，平面，侧面与侧面均为等边三角形，，求平面与平面夹角的余弦值.
18、如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点.
（1）证明；
（2）求二面角的正弦值.
（3）设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长.
19、如图,在直三棱柱中,,,E,F分别为,的中点,且平面.
(1)求AB的长;
(2)若,求二面角的余弦值.
20、如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，点G在CD上，且.
（1）求证：；
（2）求EF与所成角的余弦值.
参考答案
1、答案：B
解析：由题意可得,.
故选：B.
2、答案：B
解析：因为,点N为BC中点,
所以,,
故
．
故选：B．
3、答案：A
解析：取的中点E，连接，，为等边三角形，，
，，平面，
又平面，，
由题意得，，，又，
，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
易知，则，故为等腰直角三角形，
综上，四面体的球心O为的中心，即点O是上靠近E的三等分点.
以E为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，，
又平面的一个法向量，二面角的余弦值为，
二面角的正弦值为，故二面角的正切值为.
4、答案：A
解析：分别取DE,DC的中点O,F,则点A的轨迹是以AF为直径的圆,
以OA,OE为x,y轴,过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系,
则,平面ABCD的其中一个法向量为,
由,设,则,
记直线与平面ABCD所成角为,则,
设,,
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为,
故选：A.
5、答案：A
解析：由题意，得，，，则，，设平面的一个法向量是，则即令，则，，所以，故选A.
6、答案：C
解析：如图，设的中点为M，连接，以M为原点，建立空间直角坐标系，
过A作平面于点N，则N在线段上，且N为线段上靠近M的三等分点，易得，，
则，，，设，则，
在以M为球心，1为半径的球面上，
，
，
令，
则直线与单位圆相切时，截距取得最值，
令，解得或，
的最大值为4.
7、答案：D
解析：.
8、答案：C
解析：由题意，得，所以.
9、答案：D
解析：因为i，j，k是两两垂直的单位向量，所以，，
所以.
10、答案：A
解析:由题意可得:
.
故选:A.
11、答案：
解析：因为直线l的一个方向向量为,
则直线的斜率,又直线过点,
故所求直线方程为,即.
故答案为：.
12、答案：
解析：因为，，，且，平面，所以平面，所以向量为平面的一个法向量，分别以，所在直线为x轴，y轴，垂直于平面且过点C的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以.
设二面角的大小为，易知为锐角，所以，
因此，
所以.
13、答案：
解析：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，设，则，
设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以，所以
因为，所以，即，
即，
所以，
所以，又，
所以.
14、答案：或
解析：要使得空间四边形PMND周长最小,只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面,
延长DC至,使得,
于是点N在线段的垂直平分线上,所以,
因为PD为定值,故当点P,M,N和共线时,空间四边形PMND的周长最小,
易得,即得,即,
所以,,,
以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,由题意可得,,,
则,,
设是平面PMN的一个法向量,则.即得,
令,得,,,,
所以点Q到平面PMN距离.
故答案为:.
15、答案：0
解析：如图，连接，，取的中点F，连接.
是正三角形，且E为其中心，
，
.
16、答案：
解析:由题意,,,
,
所以点A到平面a的距离为.
故答案为:.
17、答案：
解析：因为与均为等边三角形，所以.连接，则.以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，所以.
易知平面的一个法向量为.
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18、
（1）答案：见解析
解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得，
，，，，.
证明：易得，，于是，.
（2）答案：
解析：，
设平面的法向量，
则，即，
消去x，得，不妨令，可得一个法向量为.
由(1)，，又，可得平面，故为平面的一个法向量.
于是，
从而，
故二面角的正弦值为.
（3）答案：
解析：，.
设，，有.可取为平面的一个法向量.
设为直线AM与平面所成的角，则
.
于是，解得λ＝(舍去)，
.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）面,又面, ,
又F为的中点, ,
又在、中,,
易证得,
故.
,,
又,,
故.
（2）以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可知,,
则,
不妨设是平面的一个法向量,
那么,即,
令,则.
又面,
故是平面的一个法向量.
设为二面角所成平面角,
则,
即二面角的余弦值为.
20、
（1）答案：证明见解析
解析：以D点为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
因为，
所以.
（2）答案：
解析：，，则，
所以，
，，
所以，
所以EF与所成角的余弦值为.