2022-2023学年山东省聊城市莘县明天中学八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山东省聊城市莘县明天中学八年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. xx−yB. 2xy2C. x2yD. 3x32y2
3.用直尺和圆规作一个角的平分线(如图)，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A. ASA
B. AAS
C. HL
D. SSS
4.下列各式中最简分式是( )
A. x2+y2x+yB. a−bb−aC. 2aba3D. x2+2x+11−x2
5.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A. AB=AE
B. BC=ED
C. ∠C=∠D
D. ∠B=∠E
6.学校开展为贫困地区捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：2，2，x，4，9.已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 2和2B. 4和2C. 2和3D. 3和2
7.把一副三角板的两个直角三角形如图叠放在一起，则∠α的度数是( )
A. 75°
B. 105°
C. 120°
D. 135°
8.下列定理中，逆命题是假命题的是( )
A. 在一个三角形中，等角对等边
B. 全等三角形对应角相等
C. 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
D. 等腰三角形两个底角相等
9.若关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，则m的值是( )
A. 32B. −23C. 3D. −3
10.如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A=50°，则∠BDC=( )
A. 180°
B. 100°
C. 80°
D. 50°
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为( )
A. 6cmB. 12cmC. 12cm或6cmD. 以上答案都不对
12.如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是( )
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.化简x2−y2x−y的结果等于______ ．
14.已知一组数据的方差s2=14[(x1−6)2+(x2−6)2+(x3−6)2+(x4−6)2]，那么这组数据的总和为______．
15.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为______．
16.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE.点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知：①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1，x2=2，
②x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2，x2=3，
③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3，x2=4，……
根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3=2n+4的解为______．
18.先化简[3x−1−3(x−1)2]÷x−2x−1，然后从−1，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
19.解方程：
(1)x+1x−2=2xx+3−1；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
20.如图，在直角坐标系中，先描出点A(1,3)，点B(4,1)．
(1)描出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出A1的坐标______；
(2)用尺规在x轴上找一点P，使PA=PB(保留作图痕迹)；
(3)用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小(保留作图痕迹)．
21.如图，已知∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE.求证：∠B=∠D．
22.表一是甲、乙两名学生这学期的数学测试成绩一览表(单位：分)
请你完成下列问题：
(1)请求出甲学生7次成绩的中位数、众数；
(2)已知甲7次成绩的平均分是97分，乙7次成绩的平均分是94分，请求出甲、乙两名学生7次成绩的方差，并根据计算后的方差及两人的平均成绩，对两人成绩进行比较分析；
(3)已知甲平时成绩的平均分是97.6分，乙平时成绩的平均分是93.6分，学校规定：学生平时成绩的平均数、期中成绩、期末成绩三项分别按40%、20%、40%的比例计入学期总评成绩，这两名学生的期末总评成绩是多少？
23.列方程或方程组解应用题：
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE/​/BC，∠ADE=48°，∠C=62°，求∠ABE的度数．
25.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为t．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长度；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各个选项进行分析即可．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故选项正确；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．
据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即可．
【解答】
解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍，
A.2x2x−2y=2x2(x−y)=xx−y，故正确；
B.2×2x2y2=4x4y2=xy2，故错误；
C.(2x)22y=4x22y=2x2y，故错误；
D.3×(2x)32(2y)2=24x38y2=3x3y2，故错误．
故选A．
3.【答案】D
【解析】解：由作图过程可知ON=OM，CN=CM，
又因为OC=0C，
可知△AOC≌△BOC(SSS)，
于是有∠AOC=∠BOC．
故选：D．
根据作图过程可知△AOC≌△BOC(SSS)使得∠AOC=∠BOC．
本题考查了作图--基本作图，本质是三角形全等．要从作图过程中体会到全等三角的作用．
4.【答案】A
【解析】解：A、该分式的分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B、该分式的分子与分母有公因式(a−b)，不是最简分式，不符合题意；
C、该分式的分子与分母有公因式a，不是最简分式，不符合题意；
D、该分式的分子与分母有公因式(1+x)，不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此求解可得．
本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
5.【答案】ACD
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
∵AC=AD，
A.当AB=AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；
B.当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED；
C.当∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
D.当∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
故选：ACD．
先由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE，然后分别根据“SAS”、“ASA”和“AAS”对添加的条件进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
6.【答案】D
【解析】解：根据平均数的含义得：2+2+x+4+95=4，所以x=3；
将这组数据从小到大的顺序排列(2,2,3,4,9)，处于中间位置的数是3，那么这组数据的中位数是3；
在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2．
故选：D．
根据平均数的定义得到关于x的方程，求x，再根据中位数和众数的定义求解．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题要细心．
7.【答案】B
【解析】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠1=45°，∠2=30°，
∴∠α=180°−45°−30°=105°．
故选B．
先根据三角板的性质得出∠1及∠2的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A、逆命题为：在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C、逆命题为：等边三角形是有一个角是60度的等腰三角形，正确，是真命题；
D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题；
故选：B．
分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题，难度不大．
9.【答案】A
【解析】解：去分母，得：6−x−2m=0，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程，可得：m=32．
故选：A．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−3=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10.【答案】B
【解析】解：连接AD，
∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=180°−50°=130°，
∵点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴DA=DB，DA=DC，
∴∠DBA=∠DAB，∠DCA=∠DAC，
∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=50°，
∴∠DBC+∠DCB=130°−50°=80°，
∴∠BDC=180°−80°=100°，
故选：B．
连接AD，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6cm；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12cm．
【解答】
解：①当AP=CB时，∠C=∠QAP=90°，
在Rt△APQ与Rt△CBA中，
PQ=BAAP=CB，
∴Rt△APQ≌Rt△CBA(HL)，
∴AP=BC=6cm，
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
∠C=∠QAP=90°，
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
PQ=ABAP=CA,
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP=AC=12cm，
综上所述，AP=6cm或12cm．
故选：C．
12.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，
∠DEB=∠FGC∠GCF=∠ABD=CF，
∴△DEB≌△FGC(AAS)，
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
∠DEP=∠FGP∠DPE=∠FPGDE=FG，
∴△DEP≌△FGP(AAS)，故②正确；
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1.故④正确．
正确的有①②④，
故选D．
由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论．
本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
13.【答案】x+y
【解析】解：原式=(x+y)(x−y)x−y=x+y．
故答案为：x+y．
首先将分式的分子进行因式分解为(x+y)(x−y)再约分．
此题考查的知识点是约分，关键是先把分式的分子因式分解．
14.【答案】24
【解析】解：∵s2=14[(x1−6)2+(x2−6)2+(x3−6)2+(x4−6)2]，
∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，
∴这组数据的总和为4×6=24；
故答案为：24．
根据方差公式S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
15.【答案】90°
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
直接利用全等图形的性质得出∠1=∠DEC，进而得出答案．
【解答】
解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△ECD，
则∠1=∠DEC，
∵∠2+∠DEC=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故答案为90°．
16.【答案】7
【解析】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴∠DAC=∠FAC，∠FBC=∠EBC，
在△ADC和△AFC中，
∵∠ADC=∠AFC=90°∠DAC=∠FACAC=AC，
∴△ADC≌△AFC(AAS)，
∴AD=AF，
在△CBF和△CBE中，
∵∠CFB=∠CEB=90°∠FBC=∠EBCBC=BC，
∴△CBF≌△CBE(AAS)，
∴BE=BF，
∴AB=AF+BF=AD+BE=5+2=7，
故答案为：7．
过点C作CF⊥AB于F，由“AAS”可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
17.【答案】x1=n+3，x2=n+4
【解析】解：根据题意将方程变形得：x−3+n(n+1)x−3=n+n+1，
可得x−3=n或x−3=n+1，
则方程的解为x1=n+3，x2=n+4，
故答案为：x1=n+3，x2=n+4
仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：原式=3(x−1)−3(x−1)2⋅x−1x−2
=3(x−2)(x−1)2⋅x−1x−2
=3x−1，
当x=−1时，原式=−32．
【解析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
19.【答案】(1)解：方程两边同乘以(x−2)(x+3)得：
(x+1)(x+3)=2x(x−2)−(x−2)(x+3)，
整理得：x2+4x+3=2x2−4x−x2−x+6，
解得：x=13，
经检验x=13为原方程的根．
(2)解：去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
整理得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解；
【解析】(1)方程左右两边同乘最简公分母，转化成一元二次方程求解，并代入原方程验证；
(2)方程两边同乘x2−1，求解，并代入原方程验证是否是增根；
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
20.【答案】(1,−3)
【解析】解：(1)如图所示：A1的坐标(1,−3)；
故答案为：(1,−3)；
(2)如图所示：点P即为所求；
(3)如图所示：点C即为所求．
(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；
(2)利用线段垂直平分线的作法得出答案；
(3)利用轴对称求最短路线作法得出答案．
此题主要考查了垂直平分线的作法以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE．
∵AB=AD，AC=AE，
在△ABC与△ADE中
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
∴∠B=∠D．

【解析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
利用SAS判定△ABC≌△ADE，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得∠B=∠D．
22.【答案】解：(1)把甲学生7次成绩按从小到大的顺序排列为：93，95，96，98，98，99，100，
最中间的数是98，则中位数是98分；
98出现了2次，出现的次数最多，则众数是98分；
(2)甲学生7次成绩的方差是：17×[(93−97)2+(95−97)2+(96−97)2+2×(98−97)2+(99−97)2+(100−97)2]=367．
乙学生7次成绩的方差是：17×[2×(92−94)2+(93−94)2+2×(94−94)2+(95−94)2+(98−94)2]=267．
甲7次成绩的平均分高于乙7次成绩的平均分，但是甲的方差大于乙的方差，说明甲的平均成绩比乙高，但是不如乙的成绩稳定；
(3)甲学生的期末总评成绩是：97.6×40%+96×20%+95×40%=96.24(分)，
乙学生的期末总评成绩是：93.6×40%+92×20%+98×40%=95.04(分)，
答：甲学生的期末总评成绩是96.24分，乙学生的期末总评成绩是95.04分．
【解析】(1)根据中位数、众数的定义即可求解；
(2)根据方差的计算公式分别求出甲、乙两名学生7次成绩的方差，并根据方差及平均数的意义对两人成绩进行分析；
(3)根据加权平均数的公式计算即可．
本题考查了众数、中位数、方差，平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
23.【答案】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，
∵小王家距上班地点18千米，
∴小王从家到上班地点所需时间t=18x小时；
∵他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，
∴他乘公交车从家到上班地点所需时间t=182x+9，
∵乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37，
∴182x+9=37×18x，
解得x=27
经检验x=27是原方程的解，且符合题意．
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．
【解析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37，可列方程求解．
本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的37列方程求解．
24.【答案】解：∵DE/​/BC，∠ADE=48°，
∴∠ABC=∠ADE=48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC=90°，
∵∠C=62°，
∴∠EBC=90−∠C=28°，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=48°−28°=20°．
【解析】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=48°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE．
25.【答案】解：(1)∵BP=3t cm，
∴PC=BC−BP=(8−3t)cm；
(2)△BPD与△CQP全等．
理由如下：
当t=1时，BP=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵点D为AB的中点，
∴BD=5cm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
BD=CP∠B=∠CBP=CQ，
∴△BDP≌△CPQ(SAS)；
(3)设点Q的运动速度为x cm/s，则CQ=tx cm，
∵∠B=∠C，
∴当BD=CP，BP=CQ时，△BDP≌△CPQ(SAS)，
即8−3t=5，3t=tx，
解得t=1，x=3(舍去)；
当BD=CQ，BP=CP时，△BDP≌△CQP(SAS)，
即tx=5，3t=8−3t，
解得t=43，x=154，
综上所述，当点Q的运动速度为154cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【解析】(1)先用t表示出BP，然后计算BC−BP得到PC的长度；
(2)当t=1时，BP=CQ=3cm，PC=BD=5cm，再根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，于是可根据“SAS”判断△BDP≌△CPQ(SAS)；
(3)设点Q的运动速度为x cm/s，则CQ=tx cm，由于∠B=∠C，则当BD=CP，BP=CQ时，根据“SAS”可判断△BDP≌△CPQ，即8−3t=5，3t=tx；当BD=CQ，BP=CP时，根据“SAS”可判断△BDP≌△CQP，
即tx=5，3t=8−3t，然后分别解方程可得到x的值．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．测试类别
平时成绩
期中
期末
测试1
测试2
测试3
测试4
测试5
甲
93
99
100
98
98
96
95
乙
92
93
94
94
95
92
98