2023-2024学年广东省佛山市南海区高二上学期“升基工程”学业水平监测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区高二上学期“升基工程”学业水平监测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线的倾斜角为，则，解方程即可.
【详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，
所以.
故选：C
2．甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知各甲、乙能破译的概率分别是，，则甲、乙恰有一人成功破译这份文件的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】甲、乙恰有一人成功破译这份文件有两种情况，甲成功破译而乙没有成功破译或甲没有成功破译而乙成功破译，由独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】由题意可知，有两种情况，甲成功破译而乙没有成功破译．或甲没有成功破译而乙成功破译，所以甲、乙恰有一人成功破译的概率是．
故选：C.
3．圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.
【详解】圆的圆心坐标，到直线的距离是，
所以圆上的点到直线的距离的最小值是，
故选：B．
4．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解.
【详解】因为分别是的中点，是的中点，
所以，，
则.
故选：D.
5．点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为，
故选：B
6．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，其中游戏公平的是（ ）
A．游戏1和游戏3B．游戏2C．游戏1和游戏2D．游戏3
【答案】A
【分析】根据古典概型的概率公式，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，看是否为，即可判断游戏是否公平，可得答案.
【详解】由于游戏1，甲获胜的概率为，游戏公平；
对于游戏2，设两个红球为，两个白球为，
依次取出2个球共有，共6种可能情况，
其中两球同色情况为，故甲获胜的概率为，游戏不公平；
对于游戏3，设3个红球为，白球为，
依次取出2个球共有，共6种可能情况，
其中两球同色情况为，故甲获胜的概率为，游戏公平；
故游戏1和游戏3公平，
故选：A
7．已知直线，直线，若，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由直线平行求得的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为，，且，
所以，且，解得，
则，即，，
所以与的距离为.
故选：C.
8．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，
则，故，
故选：C
二、多选题
9．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
【答案】AC
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；
对于B，事件“第一次击中”与事件“第二次击中”可以同时发生，故B不正确；
对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.
故选：AC
10．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为B．椭圆的焦距为2
C．D．的周长为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的短轴长以及离心率求得，即可求得椭圆方程，判断A；求出焦距判断B；求出椭圆的通径长判断C；结合的周长为4a，判断D.
【详解】对于A，设椭圆的方程为，则由题意得，
离心率为，即，
即椭圆的方程为，A错误；
对于B，由，可得椭圆的焦距为2，B正确；
对于C，不设椭圆的焦点，将代入中，
可得，故，C正确；
对于D，的周长为，D错误；
故选：BC
11．如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为B．点到直线的距离为
C．与平面所成角为D．点到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断B，D；求出平面的法向量，根据空间角的向量求法可判断C.
【详解】由题意可知两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，，
则，即，
则与所成的角为，A正确；
对于B，，则，
故点到直线的距离为，B正确；
对于C，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设与平面所成角为，其范围为大于等于小于等于，
故，故，C错误；
对于D，，平面的一个法向量为，
则点到平面的距离为，D正确，
故选：ABD
12．已知正方体的棱长为，点，分别是棱和的中点，点在四边形内，若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．//
C．点的轨迹的长度为D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】证明平面，得出；由得出，是异面直线；由圆锥的特点确定点的轨迹的长度；由圆的性质得出的最小值.
【详解】对于A，取的中点为，连接，且交于点
平面，
又，由线面垂直的判定可知，平面，，故A正确；
对于B，，，则，是异面直线，故B错误；
对于C，可认为为圆锥的母线，可知点在以为直径的半圆周上，则点的轨迹的长度为，故C正确；
对于D，由图可知，
故选：ACD
三、填空题
13．写出一个圆心在x轴上，半径为1的圆的标准方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据圆心位置和半径，即可得答案.
【详解】由题意可得圆心在x轴上，半径为1的圆的标准方程可以是，
故答案为：
14．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“向上的点数是偶数”，事件“向上的点数超过4”，则概率 ．
【答案】
【分析】确定事件的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知抛掷一枚质地均匀的骰子，点数有共6种可能，
事件为“向上的点数是”，
故，
故答案为：
15．已知圆与圆相交于两点．则 ．
【答案】
【分析】先由两圆方程相减求得直线的方程，再利用点线距离公式与弦长公式即可得解.
【详解】因为圆与圆，
经检验，知这两圆相交，
两圆方程相减可得直线方程为，
而圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为：.
四、双空题
16．如图，四面体的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是 ，此时 ．
【答案】
【分析】证明当分别是的中点时，是的公垂线，从而求得的最小值，再利用空间向量的夹角余弦公式，结合数量积运算法则即可得解.
【详解】由题意可知，三个向量两两间的夹角为，
当分别是的中点，取得最小值，理由如下，
因为分别是的中点，，
则
，
所以，同理可证，
由异面直线公垂线的性质可知，此时取得最小值，
此时，，
所以，
又，，，，
，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到取得最小值时，的位置，从而得解.
五、解答题
17．广东省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知G建筑专业选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．
(1)写出考生所有选科组合的样本空间；
(2)从所有选科组合中任选一个，求该选科组合符合G建筑专业选科要求的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意列出样本空间即可；
（2）利用古典概型求概率的方法求概率即可.
【详解】（1）用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间.
（2）由（1）知，
设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合G建筑专业选科要求”，
则，则，
所以.
18．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，，且它们所在的平面互相垂直，为对角线的中点，活动弹子在正方形对角线上移动．
(1)若，求的值；
(2)当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标，求出相关点坐标，求出的坐标，根据数量积的坐标表示计算数量积，即得答案；
（2）求出平面平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知平面平面，且平面平面，
又，平面，故平面，
以B为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由于，，
故,
则，
故；
（2）当为的中点时，，则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
，设平面的一个法向量为，则，
令，则，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
六、证明题
19．在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4”
(1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明；
(2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率．
【答案】(1)是；证明见解析
(2)
【分析】（1）列出样本空间，即可列出所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的概率公式判断即可；
（2）利用独立事件的概率公式即可得解.
【详解】（1）依题意，得样本空间为，
所以，，则，
故，，，
所以事件，相互独立.
（2）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则，
所以事件只发生1次的概率为
.
七、解答题
20．已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍．
(1)动点的轨迹为曲线，求的方程；
(2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案；
（2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程．
【详解】（1）设动点的坐标为，则由,
得，即，
即，
即的方程为；
（2）直线，即，
由于，故令，解得，
即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内，
即直线l和圆相交，
当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，
由于，故，圆半径为，
故的长度的最小值为.
又的斜率为，故此时直线l的斜率为3，
则直线l的方程为，即.
21．已知平行六面体的各条棱长均为2，且有．
(1)求证：平面：
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基底法用表示，从而利用数量积的运算法则推得，从而得证；
（2）利用线面垂直的判定定理推得是平面的一个法向量，从而利用空间向量的数量积运算与余弦夹角的公式即可得解.
【详解】（1）记，
因为平行六面体的各条棱长均为2，，
所以，，
因为，
，
所以
，
同理，则，
又平面，
所以平面.
（2）因为底面是平行四边形，且棱长为，
所以底面是菱形，则，
又，平面，所以平面，
即是平面的一个法向量，
因为是的中点，所以，
易知在等边三角形中，，
而
，则，
，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
八、证明题
22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过的点，列出方程，求得，即得答案；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，求得的纵坐标的表达式，结合化简可得之间的关系，代入中，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，且过点，
故，且，
解得，
故椭圆C的方程为.
（2）由于，可知在x的同侧，则l的斜率不为0，
故设，联立，
得，设，
需满足，即有解；
则，
直线的方程为，令，得，
同理可得，
则，即，
整理得，
即，
即，即，
即得或，均满足有解，
当时，直线l为，此时直线过定点，不合题意；
当时，直线l为，此时直线过定点.
【点睛】方法点睛：本题考差了椭圆方程的球法以及直线和椭圆位置关系中的直线过定点问题，解答时要设直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，结合题设化简；解答的难点在计算过程复杂，计算量较大.
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1个红球和1个白球
2个红球和2个白球
3个红球和1个白球
取球规则
取1个球
依次取出2个球
依次取出2个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜