江西省部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考考试数学试题（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名： 分数：
卷I（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．已知函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列两组函数中，表示同一函数的是（ ）
（1）和；（2）和.
A．仅（1）是B．仅（2）是C．（1）（2）都是D．（1）（2）都不是
4．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则有（ ）
A．最小值B．最大值C．最大值D．不能确定
6．已知函数，则（ ）
A．是增函数B．是偶函数
C．的最大值为D．
7．若，则函数的部分图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每题给出的4个选项中，有多项是符合要求的，其中全部选对得5分，部分选对得2分，选错不得分。）
9．下列结论中错误的是（ ）
A．集合的真子集有7个
B．已知命题，则
C．函数与函数表示同一个函数
D．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
10．下列函数值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
12．下列命题中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上是增函数
C．函数在上单调递增
D．已知是定义在上的减函数，若，则
卷II（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知函数的表达式为，，则 .
14．已知函数的单调递增区间为 .
15．已知幂函数在上单调递减，则 ．
16．函数的图象关于点中心对称，则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17题10分，18-22分12分。）
17．已知函数.
(1)求的值；
(2)当时，求的值域.
18．已知一次函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
19．已知函数是定义在区间上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.
20．已知.
(1)判断并证明在区间上的单调性；
(2)求该函数在区间上的最值.
21．已知函数．
(1)证明：是奇函数．
(2)根据定义证明在区间上单调递增．
22．已知幂函数的定义域为全体实数R．
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
高一数学试题
1．D
【分析】利用换元法可求出函数的解析式.
【详解】令，则，且，所以，，
故.故选：D.
2．B
【分析】利用函数值域的求解方法求解.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，，因为，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；
对于D，因为，所以，故，过于，故D错误.
故选：B
3．A
【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断即可.
【详解】对于（1），两个函数定义域都为，化简后两个函数都为，
所以（1）中两个函数是同一个函数；
对于（2），的定义域是，
的定义域为或，定义域不一致，所以不是同一个函数.
故选：A
4．D
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】易知二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的减函数，
所以，解得.故选：D.
5．B
【分析】结合二次函数的性质求解即可.
【详解】由，
因为函数的对称轴为，
且在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当或4时，.
所以当时，，
所以，
即函数有最大值，无最小值.故选：B.
6．D
【分析】利用分离常数法结合单调性的性质判断的单调性，结合单调性分析判断ACD；根据奇偶性的必要性前提分析判断B.
【详解】由题意可得：，且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故A错误；
因为定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故B错误；
因为在区间上单调递减，所以的最大值为，故C错误；
且，故D项正确；故选：D.
7．D
【分析】根据的正负，确定的正负，从而根据的单调性得答案.
【详解】因为，所以或，
对A、D：由得，此时与在定义域上单调递减，
所以在定义域上是减函数，故A错误，D正确；
对B、C：由得，此时与在定义域上单调递增，
所以在定义域上是增函数，故B、C均错误；故选：D
8．B
【分析】由题意可知当时，，当时，，由函数的单调性对比选项即可得解.
【详解】当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
且时，当且仅当时，，
由此可知C，D选项中图象错误；
当时，，此时在上单调递减，
故选项A中图象不合题意，
又，故B中图象符合题意.故选：B.
9．CD
【分析】A列举法写出集合判断元素个数判断；B由全称命题的否定：任意改存在并否定结论判断；C由函数的对应法则、定义域是否相同判断；D特殊值判断是否恒成立即可判断.
【详解】A：共有3个元素，故其真子集个数为，对；
B：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，对；
C：由的定义域为，的定义域为，
所以它们定义域不同，不是同一个函数，错；
D：显然时，对一切实数都成立，故在的取值范围内，错.
故选：CD
10．BD
【分析】根据一次函数的性质，可直接判断；根据，可判断；对于，函数解析式分离常数后即可求出值域，进而可判断；根据基本初等函数的单调性可判断.
【详解】因为函数的值域为,故错误；
因为，
故函数的值域为，故正确；
因为，
故函数的值域为，则错误；
因为函数在上均单调递增，
所以当时，有最小值，
故函数的值域为，故正确，故选：
11．BC
【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性即可.
【详解】A：，不为奇函数；
B：且定义域为，为奇函数；
C：且定义域为R，为奇函数；
D：，不为奇函数.故选：BC
12．AD
【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D.
【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确；
函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误；
函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误；
是定义在上的减函数，若中，则，又，
所以，所以，故D正确.故选：AD
13．或3
【分析】分段讨论解方程即可.
【详解】当时，则，解得；
当时，，解得，(舍负)
综上，或，故答案为：或3．
14．
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.故答案为：
15．
【分析】直接由幂函数定义即可得解.
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得满足题意.故答案为：.
16．2
【分析】利用平移变换求出给定函数的对称中心，再与给定对称中心比对即得.
【详解】函数，
于是函数的图象是由函数的图象没x轴向右（）或向左（）平移个单位，
得的图象，再把所得图象向上平移1个单位而得，而函数图象的对称中心为，
因此函数的图象的对称中心为，依题意，，所以.
故答案为：2
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数解析式直接计算即可；
（2）利用一次函数、二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）易知；
（2）由可知当时，函数单调递减，，
当时，函数单调递减，，
综上.
18．(1)
(2)
【分析】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现，由此通过分组求和即可求解.
【详解】（1）设.
则，
于是有，解得，.
（2）由（1）知，则，.
，，
.
19．(1)
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质及函数所过点求解；
（2）判断函数的单调性，利用定义证明即可.
【详解】（1）函数是定义在区间上的奇函数,
所以，解得，
由，解得，
所以，
此时，满足为奇函数，
故.
（2）函数在上单调递增，证明如下：
设任意，且，
则,
，且，
，即，，又，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
20．(1)在区间上单调递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）可知，在区间上单调递增，即可求出答案.
【详解】（1）在区间上单调递增，
证明如下：
设，
，
，即，
在区间上单调递增.
（2）由（1）可知，在区间上单调递增，
在上单调递增，
.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可得证；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解.
【详解】（1）的定义域为，关于原点对称．
又因为，所以是奇函数．
（2）令，
则．
因为，所以，
则，即．
故在上单调递增．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求出m的值即可；
（2）恒成立问题，参变分离，求最值.
【详解】（1）因为为幂函数，
所以，解得或，
又时，，定义域不为R，舍去，
所以，.
（2）由（1）得，，在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
当时,，显然成立；
当x时，得在x时恒成立，
由对勾函数的性质得，在x时单调递减，
所以，所以，
所以实数k的取值范围为.