四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三上学期“二诊”模拟数学（文）试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三上学期“二诊”模拟数学（文）试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：安首先 刘萍 审题人：文科数学备课组
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合A,B，再求交集即可
【详解】解：，，
.
故选：C，
【点睛】此题考查集合的交集运算，考查对数不等式的解法，属于基础题
2. 已知复数z满足(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的虚部为( )
A. 1B. iC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则和概念即可得答案.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴的虚部为．
故选：D.
3. 若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知，即，
令
故选：D
4. 若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.
【详解】因为，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即，所以|PQ|的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5. 2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.
B. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
C. 去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图计算可得答案.
【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；
这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故B正确；
因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年11月鲜菜价格要比今年11月高，故C不正确；
猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故D不正确.
故选：B.
6. 已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且，
所以当时，，
当时，，
不等式，则
当时，有，即或，解得或，又，；
当时，有，即或，又，解得；
综上，不等式的解集为.
故选：C.
7. 已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.
【详解】由已知可得，即，
又因为，所以，
所以夹角为.
故选：C
8. 已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（ ）
A. B. C. 或D. －3或
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式和求和公式进行基本量的计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，
解得:或（舍去），所以，所以.
故选:B.
9. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证.
【详解】因为，
所以，
因为函数在处有极小值，
所以，解得或，
当时，，
当时，或，当时，，
在处取到极小值，符合题意；
当时，，
当时，或，当时，，
在处取到极大值，不符合题意；
综上：的值为1.
故选：A.
10. 若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.
【详解】抛物线的焦点，准线，
，则，不妨设，
关于直线的对称点为，
由于，所以当三点共线时最小，
所以的最小值为.
故选：A

11. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得，，进而得，再根据结合向量垂直关系的表示解得，进而得，再根据平移变换得，最后求函数值即可.
【详解】由题知，函数的周期T满足，解得，
所以，
由图象与x轴的交点为得，
因为，所以，即，
所以，图象与y轴的交点为，
因为，所以，解得（负舍），所以，
所以，
所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，
，
所以.
故选：D
12. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.
【详解】由题设，则且，可得，
所以.
故答案为：
14. 为美化校园，创建读书角，同学将莫言的部作品《红高粱》《酒国》《蛙》随机地排在书架上，《蛙》恰好放在三本书中间的概率是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用排列数公式计算三本书不同的排法种数，根据古典概型求解.
【详解】3本书随机排在书架上共有种，其中《蛙》恰好放在三本书中间共有种排法，
根据古典概型可知.
故答案为：
15. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，且点到直线的最小距离为，则实数的值是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意求出点的轨迹，根据几何意义即可求得实数的值.
【详解】因为点，，点满足，
设，
则，
所以点是以原点为圆心，半径的圆，
而到直线的距离，
因为点到直线的最小距离为，
所以.
故答案为：1
16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得，
由正弦定理得，故，
由椭圆定义可知，，
故，
又，
由余弦定理得
，
即，解得，
故，
解得，
因为，所以，解得.
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：每题12分，共60分．
17. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出，即可求出；
（2）由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，，且，
，
，
又∵为内角，，
【小问2详解】
由余弦定理，得，
解得或（舍去），
故，所以．
18. 某面包店记录了最近一周A口味的面包的销售情况，如下表所示：
A口味
（1）求最近一周A口味的面包日销量的中位数．
（2）该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从中选一个，你应该选择哪一个？说明你的理由．
【答案】（1）14 （2）
【解析】
【分析】（1）将销量从小到大顺序排列，确定中位数；
（2）分别求出时的获利情况，然后比较大小来确定.
【小问1详解】
最近一周A口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19．所以A口味的面包日销量的中位数为14．
【小问2详解】
当时，下一周A口味的面包可获利
元．
当时，下一周A口味的面包可获利
元．
因为，
所以应该选.
19. 已知各项都是正数的数列，前项和满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可.
【小问1详解】
当时，，所以或（舍去），
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，则，
所以，
由（1）得
所以，
因为，
所以，故，
所以当时，.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：.
【答案】（1）； （2）见解析
【解析】
【分析】（1）代入,可得的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.
（2）根据放缩法,由得.从而证明即可.构造函数,通过求得导函数,再令,求得.即可判断的单调性,进而求得的零点所在区间,并判断出该零点为的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.
【详解】（1）当时,
所以
所以,又因为,即点坐标为
所以曲线在点处的切线方程为
即
（2）证明：当时,,
要证明,只需证明,
设,则,
设,则,
所以函数在上单调递增,
因为,,
所以函数在上有唯一零点,且,
因为,所以,即,
当时,；当时,,
所以当时,取得最小值,
故,
综上可知,若,.
【点睛】本题考查了利用导数求切线方程,由导数证明不等式成立.根据导数判断函数的单调性和极值,函数的最值及零点的综合应用,对思维能力要求较高,是高考的常考点和重难点,属于难题.
21. 已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.
（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆恒过点M.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
【分析】（1）设出过点切线方程，与抛物线方程联立，得到一个元二次方程，它的判别式为零，可以求出切线方程的斜率，这样可以求出A,B两点的坐标，设出圆心的坐标为，由，可以求出，最后求出圆的方程；
（2）设，设切点分别为，，把抛物线方程化，求导，这样可以求出切线的斜率，求出切线 的方程，切线的方程，又因为切线过点，切线也过点，这样可以发现，是一个关于的一元二次方程的两个根，计算出，，计算，根据根与系数关系，化简，最后计算出=0，这样就证明出以为直径的圆恒过点M.
【详解】解：（1）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，
由消得. (1)
令，解得.
代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).
设圆心的坐标为，由，得，解得.
故过三点的圆的方程为．
（2）证明：设，由已知得，，设切点分别为，，所以，，
切线 的方程为即，
切线的方程为即．
又因为切线过点，所以得. ①
又因为切线也过点，所以得. ②
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得．
因为，，
所以
．
将代入，得.
所以以为直径的圆恒过点．
【点睛】本题考查利用直线与抛物线位置关系，求出切线的斜率，又考查了利用导数，研究抛物线的切线问题，同时考查了求过三点的圆的方程.考查了方程思想、数学运算能力.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 数学中有许多美丽的曲线，例如曲线，（t为参数）的形状如数字8（如图），动点A，B都在曲线E上，对应参数分别为与，设O为坐标原点，．
（1）求C的轨迹的参数方程；
（2）求C到坐标原点的距离d的最大值和最小值．
【答案】（1），（为参数，）
（2）最大值，最小值．
【解析】
【分析】（1）利用条件找出A，B点的坐标，利用向量的基本坐标运算，得出C的轨迹的参数方程；
（2）设出C的坐标，利用点到直线的距离公式求出表达式，即可求出.
【小问1详解】
由题意有，．
又，所以，
故C的轨迹的参数方程为，（为参数，）．
【小问2详解】
C点到坐标原点的距离．
因为，所以当时，d取得最大值，
因为，d取得最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，使得能成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论的方法求解绝对值不等式.
（2）利用绝对值的几何意义有，将问题转化为使成立，结合的图象确定其最大值，即可得m的取值范围．
【小问1详解】
依题意，得，
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集为或．
【小问2详解】
依题意，，
又，故，
令，，

结合的图象知，，故，星期
一
二
三
四
五
六
日
销量/个
16
12
14
10
18
19
13