+四川省成都市新都区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+四川省成都市新都区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）要用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，那么下列变形的结果中正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝9B．x2﹣4x+4＝7
C．x2﹣4x+16＝19D．x2﹣4x+2＝5
3．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝（ ）
A．B．C．D．1
4．（4分）有一个不透明的布袋中红色、白色、黑色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．24B．18C．16D．6
5．（4分）若反比例函数经过点（1，4），则k的值为（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣4
6．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线平分一组对角
7．（4分）若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，则m的值为（ ）
A．且m≠0B．且m≠0
C．D．
8．（4分）如图，点P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是 ．
10．（4分）高4米的旗杆在水平地面上的影子长6米，此时测得附近一个建筑物的影子长24米，那么该建筑物的高度为 ．
11．（4分）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a＝0的两个实数根分别是3、b，则a+b＝ ．
12．（4分）如图，点P在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为6，则k的值为 ．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）解下列一元二次方程．
（1）x2﹣7x+10＝0；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三顶点坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（3，1）．
（1）在平面直角坐标系内画出△ABC．
（2）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC相似比为2：1．
（3）直接写出点A1，C1坐标．
16．（8分）卡塔尔世界杯开赛前，某同学为了调查各球队在本年级受欢迎程度，对部分同学开展了“你最喜爱的球队”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题．
（1）本次问卷调查共调查了多少名同学．
（2）补全图1中的条形统计图，并求出图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比．
（3）现有喜欢“阿根廷”（记为A），“巴西”（记为B），“西班牙”（记为C），“德国”（记为D）的同学各一名，若要从4人中随机抽取2人，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率．
17．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
18．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线与矩形两边AB，BC分别交于点E，F．
（1）若点E是AB的中点，求点F的坐标．
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，试证明△EGD∽△DCF．
（3）在（2）的条件下，求k的值．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若m，n是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+2m+mn的值为 ．
20．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴的正半轴上，若OA＝AB，则△AOB的面积为 ．
21．（4分）一个骰子的六个面上分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，任意掷一次骰子，记朝上的一面的数字为a，则任意掷一次骰子，恰好能使关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0有解的概率为 ．
22．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E是BC边上一动点，连接AE．将△ABE沿AE翻折得到△AFE，延长EF与直线AD相交于点G．当点A，F，C三点共线时，线段AG的长为 ．
23．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC恰为∠BAD的角平分线，∠ADB＝∠ACB．已知AB＝4，BC＝5，AC＝6，则BD的长为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）新都桂花糕是新都区特色糕类美食，创制于明朝末期，已有三百多年历史，其传统制作技艺也于2019年入选为成都市非物质遗产保护项目．
（1）某食品厂今年七月份共生产2500千克桂花糕，考虑到中秋节前后需求量会增加，为保证产量能跟上需求，该食品厂决定在八九月增加产量，若假设该食品厂每月的产量增长率相同，九月份该食品厂生产了3600千克桂花糕，求该食品厂八九月平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店平均每天可销售20千克桂花糕，每千克盈利10元，今年中秋节期间，为扩大盈利，该店决定降价促销，经前期调研，该店的桂花糕每千克下降1元，则每天可多售5千克，如果每天要盈利240元，则该店的桂花糕每千克应降价多少元？
25．（10分）如图，直线y＝mx+4（m≠0）的图象与双曲线的图象相交于点A和点B（4，1），点M是y轴上的一个动点．
（1）求出点A的坐标．
（2）连接AM，BM，若△ABM的面积为3，求此时点M的坐标．
（3）点N为平面内的点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图1，在矩形ABCD中，BE是∠ABD的角平分线，AE＝3，点P为对角线BD上的一个动点，连接AP，线段AP与线段BE相交于点F．
（1）当AP⊥BD时，求证：△ABE∽△PBF；
（2）在（1）的基础上，，．求AP的长；
（3）如图2，若AD＝8，AB＝6，过点P作PQ⊥AP，PQ与直线BC相交于点Q，试判断点P在线段BD上运动的过程中，的值是否发生变化？若有变化，请求出其变化范围；若无变化，请求出这个定值．
2022-2023学年四川省成都市新都区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（4分）下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、主视图为长方形；
B、主视图为长方形；
C、主视图为两个相邻的三角形；
D、主视图为长方形；
故选：C．
2．（4分）要用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，那么下列变形的结果中正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝9B．x2﹣4x+4＝7
C．x2﹣4x+16＝19D．x2﹣4x+2＝5
【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0
∴x2﹣4x＝3
∴x2﹣4x+4＝3+4
∴x2﹣4x+4＝7
故选：B．
3．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝＝．
故选：B．
4．（4分）有一个不透明的布袋中红色、白色、黑色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．24B．18C．16D．6
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：C．
5．（4分）若反比例函数经过点（1，4），则k的值为（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣4
【解答】解：∵反比例函数经过点（1，4），
∴k＝1×4＝4．
故选：A．
6．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线平分一组对角
【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
7．（4分）若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，则m的值为（ ）
A．且m≠0B．且m≠0
C．D．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+3x﹣4＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4m×（﹣4）＞0且m≠0，
∴m＞﹣且m≠0．
故选：B．
8．（4分）如图，点P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【解答】解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是 6 ．
【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6．
∴菱形较短的对角线长是6．
故答案为6．
10．（4分）高4米的旗杆在水平地面上的影子长6米，此时测得附近一个建筑物的影子长24米，那么该建筑物的高度为 16米 ．
【解答】解：设建筑物的高为h米，
则＝，解得h＝16（米）．
故答案为：16米．
11．（4分）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a＝0的两个实数根分别是3、b，则a+b＝ 5 ．
【解答】解：把x＝3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a＝0，
解得：a＝3，
由根与系数的关系得3+b＝﹣＝5，
解得：b＝2，
∴a+b＝3+2＝5．
故答案为：5．
12．（4分）如图，点P在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为6，则k的值为 ﹣12 ．
【解答】解：由反比例函数比例系数的几何意义得：|k|＝S△PAO，
∵△PAO的面积为6
∴|k|＝12，
又∵反比例函数y＝k/x的图象在第二象限，
∴k＝﹣12．
故答案为：﹣12．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为 10 ．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴＝，
∵DE：EA＝2：3，
∴DE：DA＝2：5，
∵EF＝4，
∴＝，
∴AB＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）解下列一元二次方程．
（1）x2﹣7x+10＝0；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6．
【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝2，x2＝5；
（2）方程化为x2﹣x﹣12＝0，
∴（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三顶点坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（3，1）．
（1）在平面直角坐标系内画出△ABC．
（2）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC相似比为2：1．
（3）直接写出点A1，C1坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△A1BC1即为所求．
（3）由图可得，点A1（﹣1，1），C1（3，﹣1）．
16．（8分）卡塔尔世界杯开赛前，某同学为了调查各球队在本年级受欢迎程度，对部分同学开展了“你最喜爱的球队”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题．
（1）本次问卷调查共调查了多少名同学．
（2）补全图1中的条形统计图，并求出图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比．
（3）现有喜欢“阿根廷”（记为A），“巴西”（记为B），“西班牙”（记为C），“德国”（记为D）的同学各一名，若要从4人中随机抽取2人，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率．
【解答】解：（1）本次问卷调查共调查的学生人数为24÷30%＝80（名）．
（2）喜爱“巴西”人数为80﹣24﹣16﹣8＝32（名）．
补全图1中的条形统计图如图所示．
图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比为×100%＝20%．
（3）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率为＝．
17．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵BD＝＝2，
∴OB＝BD＝，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝，
∴EF＝2EO＝．
18．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线与矩形两边AB，BC分别交于点E，F．
（1）若点E是AB的中点，求点F的坐标．
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，试证明△EGD∽△DCF．
（3）在（2）的条件下，求k的值．
【解答】解：（1）∵点E是AB的中点，OA＝2，AB＝4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y＝，可得k＝4，
即反比例函数解析式为：y＝，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标＝＝1，
故点F的坐标为（4，1）；
（2）由折叠的性质可得：BE＝DE，BF＝DF，∠B＝∠EDF＝90°，
∵∠CDF+∠EDG＝90°，∠GED+∠EDG＝90°，
∴∠CDF＝∠GED，
又∵∠EGD＝∠DCF＝90°，
∴△EGD∽△DCF；
（3）由（2）知，△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），
则CF＝，BF＝DF＝2﹣，ED＝BE＝AB﹣AE＝4﹣，
在Rt△CDF中，CD＝＝＝，
∵＝，即＝，
∴＝1，
解得：k＝3．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若m，n是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+2m+mn的值为 0 ．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣2023，m2+2m﹣2023＝0，
∴m2+2m＝2023，
∴m2+2m+mn＝2023﹣2023＝0．
故答案为：0．
20．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴的正半轴上，若OA＝AB，则△AOB的面积为 3 ．
【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，如图所示：

根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAC＝×3＝1.5，
∵OA＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC，
∴S△ABC＝S△OAC＝1.5，
∴S△AOB＝S△ABC+S△OAC＝3．
故答案为：3．
21．（4分）一个骰子的六个面上分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，任意掷一次骰子，记朝上的一面的数字为a，则任意掷一次骰子，恰好能使关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0有解的概率为 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0有解，
∴[﹣（2a﹣1）]2﹣4（a2﹣1）≥0，
解得a≤，
在﹣2，﹣1，0，1，2，3中，符合此条件的有﹣2，﹣1，0，1这4种情况，
所以任意掷一次骰子，恰好能使关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0有解的概率为＝，
故答案为：．
22．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E是BC边上一动点，连接AE．将△ABE沿AE翻折得到△AFE，延长EF与直线AD相交于点G．当点A，F，C三点共线时，线段AG的长为 ．
【解答】解：当点A，F，C三点共线时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABC中，
∵AB＝3，BC＝4，
∴由勾股定理，得AC＝＝＝5，
∵将△ABE沿AE翻折得到△AFE，
∴AF＝AB＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴∠AFG＝∠D＝90°，
又∵∠FAG＝∠DAC，
∴△AFG∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得AG＝，
故答案为：．
23．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC恰为∠BAD的角平分线，∠ADB＝∠ACB．已知AB＝4，BC＝5，AC＝6，则BD的长为 ．
【解答】解：∵AC为∠BAD的角平分线，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠ADB＝∠ACB．
∴△ABC∽△AED，
∴∠AED＝∠ABC＝∠BEC，
∵∠BCA＝∠ECB，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，即＝，
解得CE＝，BE＝，
∴AE＝6﹣＝，
由△ABC∽△AED可得，即，
解得DE＝，
∴BD＝＝＝．
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）新都桂花糕是新都区特色糕类美食，创制于明朝末期，已有三百多年历史，其传统制作技艺也于2019年入选为成都市非物质遗产保护项目．
（1）某食品厂今年七月份共生产2500千克桂花糕，考虑到中秋节前后需求量会增加，为保证产量能跟上需求，该食品厂决定在八九月增加产量，若假设该食品厂每月的产量增长率相同，九月份该食品厂生产了3600千克桂花糕，求该食品厂八九月平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店平均每天可销售20千克桂花糕，每千克盈利10元，今年中秋节期间，为扩大盈利，该店决定降价促销，经前期调研，该店的桂花糕每千克下降1元，则每天可多售5千克，如果每天要盈利240元，则该店的桂花糕每千克应降价多少元？
【解答】解：（1）设该食品厂八九月平均每月生产量增长率是x，
根据题意得：2500（1+x）2＝3600，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：该食品厂八九月平均每月生产量增长率为20%；
（2）设该店的桂花糕每千克应降价y元，
根据题意得：（10﹣y）（20+5y）＝240，
整理得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，
∵该店降价促销，
∴y＝4，
答：该店的桂花糕每千克应降价4元．
25．（10分）如图，直线y＝mx+4（m≠0）的图象与双曲线的图象相交于点A和点B（4，1），点M是y轴上的一个动点．
（1）求出点A的坐标．
（2）连接AM，BM，若△ABM的面积为3，求此时点M的坐标．
（3）点N为平面内的点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点B（4，1），
∴4m+4＝1，1＝，
∴m＝﹣，k＝4，
∴直线的关系式为：y＝﹣x+4，反比例函数的关系式为：y＝，
联立得，解得x＝或4，
∴点A的坐标为（，3）；
（2）过B作BC⊥y轴于C，过A作AD⊥BC于D，
设M（0，m），
∵点A的坐标为（，3），B（4，1），
∴S△ABM＝S梯形AMCD+S△ABD﹣S△BCM＝3，
∴×（m﹣1+3﹣1）+×（4﹣）×（3﹣1）﹣×4（m﹣1）＝3，
解得m＝，
∴点M的坐标为（0，）；
（3）设M（a，0），
∵点A的坐标为（，3），B（4，1），
∴AB2＝（4﹣）2+（3﹣1）2＝，
AM2＝（）2+（m﹣3）2＝+（m﹣3）2，
BM2＝42+（m﹣1）2＝16+（m﹣1）2，
①以AB为边，AM＝AB时，
+（m﹣3）2＝，解得m＝3+或3﹣，
∴点M的坐标为（0，3+）或（0，3﹣），
∵点A的坐标为（，3），B（4，1），
∴点N的坐标为（，1+）或（，1﹣）；
以AB为边，BM＝AB时，
16+（m﹣1）2＝，无解，
∴此种情况不存在；
②以AB为对角线时，AM＝BM，如图，
+（m﹣3）2＝16+（m﹣1）2，
解得m＝﹣，
∴点M的坐标为（0，﹣），
∵点A的坐标为（，3），B（4，1），
∴点N的坐标为（，）；
综上所述，点N的坐标为（，1+）或（，1﹣）或，）．
26．（12分）如图1，在矩形ABCD中，BE是∠ABD的角平分线，AE＝3，点P为对角线BD上的一个动点，连接AP，线段AP与线段BE相交于点F．
（1）当AP⊥BD时，求证：△ABE∽△PBF；
（2）在（1）的基础上，，．求AP的长；
（3）如图2，若AD＝8，AB＝6，过点P作PQ⊥AP，PQ与直线BC相交于点Q，试判断点P在线段BD上运动的过程中，的值是否发生变化？若有变化，请求出其变化范围；若无变化，请求出这个定值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠BPF＝90°，
∴∠ABE＝∠BPF，
∵BE是∠ABD的角平分线，
∴∠ABE＝∠PBF，
∴△ABE∽△PBF．
（2）解：如图1，作AH⊥EF于点H，则∠AHF＝90°，
∵∠BPA＝∠BAD＝90°，
∴∠PAB＝∠ADB＝90°﹣∠ABD，
∵∠ABE＝∠DBE，
∴∠PAB+∠ABE＝∠ADB+∠DBE，
∵∠AFE＝∠PAB+∠ABE，∠AEF＝∠ADB+∠DBE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE＝3，
∵EF＝，BP＝，
∴FH＝EH＝EF＝×＝，
∴AH＝＝＝，
∵∠BPF＝∠AHF＝90°，∠BFP＝∠AFH，
∴△BPF∽△AHF，
∴＝，
∴FP＝＝＝，
∴AP＝AF+FP＝3+＝，
∴AP的长是．
（3）解：的值不变，
如图2，过点P作LK⊥BC于点K，交AD于点L，
∵∠BAL＝∠ABK＝∠BKL＝90°，
∴四边形ABKL是矩形，
∴AL＝KB，
∵∠BKP＝∠C＝90°，∠KBP＝∠CBD，
∴△BKP∽△BCD，
∴＝，
∵CB＝AD＝8，DC＝AB＝6，
∴＝＝＝，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°，
∴∠APL＝∠PQK＝90°﹣∠DPQ，
∵∠ALP＝∠PKQ＝90°，
∴△ALP∽△PKQ，
∴＝＝＝，
∴的值不变，这个定值为．
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）