辽宁省阜新市太平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份辽宁省阜新市太平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2+3＝（x﹣1）2
C．ax2+bx+c＝0D．x2﹣1＝0
2．（3分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么csA的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
5．（3分）若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2：3B．4：9C．D．3：2
6．（3分）甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是（ ）
A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
8．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A．B．6C．D．8
9．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
10．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（ ）
A．2B．C．1D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）有同样大小的1块黑方砖和2块白方砖随机拼成一横条，颜色如图中黑白相间放置的概率是 ．
12．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝6Ω时，I的值为 A．
13．（3分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，列出的方程是 ．（化为一般式）
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）x2﹣6x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
17．（9分）如图，△ABC在边长为1的网格中，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标．
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
18．（8分）中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽代英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（ A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动．
（1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为 ；
（2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．
19．（8分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
20．（8分）某种商品的标价为80元/件，经过两次降价后的价格为64.8元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率．
（2）已知该商品进价为60元/件，经过市场调研发现，当以90元/件售出时，平均每天能售出20件，若每件降价2元，则每天可多售出10件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每天盈利1125元，则每件商品应降价多少元？
21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（＝1.414，＝1.732，＝2.236）
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
22．（12分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
23．（12分）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
2023-2024学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2+3＝（x﹣1）2
C．ax2+bx+c＝0D．x2﹣1＝0
【解答】解：A、x+＝1是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、方程整理后得：2x+2＝0是一元一次方程，故不符合题意；
C、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故不符合题意；
D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：球从正面看和从左面看都是圆，形状相同；
三棱柱从正面看是长方形，从左面看是三角形，形状不同；
圆锥从正面看和从左面看都是三角形，形状相同；
圆柱从正面看和从左面看都是长方形，形状相同；
综上，从正面看和从左面看形状相同的几何体有3个；
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么csA的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴∠A＝30°，
∴，
故选B．
4．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+4＝6（cm）．
故选：C．
5．（3分）若△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2：3B．4：9C．D．3：2
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：．
故选：C．
6．（3分）甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是（ ）
A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率
B．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
【解答】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：≈0.33，正确；
B、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为，故此选项错误；
故选：A．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【解答】解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：A．
8．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm．
A．B．6C．D．8
【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴OF＝10cm，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△ABO∽△CDO，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝，
∴蜡烛火焰的高度是cm，
故选：C．
9．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
10．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（ ）
A．2B．C．1D．
【解答】解：如图
在Rt△ACD中，tanC＝，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）有同样大小的1块黑方砖和2块白方砖随机拼成一横条，颜色如图中黑白相间放置的概率是 ．
【解答】解：地板上共有3块方砖，黑色方砖为1块，黑白相间放置的概率是，
故答案为：．
12．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝6Ω时，I的值为 8 A．
【解答】解：当R＝6Ω时，I＝＝＝8（A），
故答案为：8．
13．（3分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，列出的方程是 x2﹣36x+35＝0 ．（化为一般式）
【解答】解：设道路为x米宽，
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，
整理得：x2﹣36x+35＝0，
故答案为：x2﹣36x+35＝0．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 27 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵∠EFD＝∠CFB，
∴△DEF∽△BCF，
∵AE＝2DE，AD＝BC，
∴DE：BC＝1：3，
∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，
∴S△BCF＝27．
故答案为：27．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 或10 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，
∴AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四边形ABNM的矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，
∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，
∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，
∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，
如图1，在Rt△C′MD中，C′M＝＝＝3，
∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，
NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（4﹣CE）2+22＝CE2，
解得：CE＝．
如图2，在Rt△C′MD中，C′M＝＝＝3，
∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，
NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（CE﹣4）2+82＝CE2，
解答：CE＝10，
故答案为：或10．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）x2﹣6x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝2×+9+1+2﹣
＝12；
（2）x2﹣6x﹣3＝0；
x2﹣6x+9＝12，
（x﹣3）2＝12，
x﹣3＝±2，
所以x1＝3+2，x2＝3﹣2；
（3）3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
17．（9分）如图，△ABC在边长为1的网格中，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标．
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点C1的坐标为（2，﹣2）．
（2）如图，△A2B1C2即为所求．
点C2的坐标为（1，0）．
（3）∵AC2＝12+22＝5，＝12+22＝5，＝12+32＝10，
∴＝AC2+，AC＝CC2，
∴△ACC2为等腰直角三角形．
18．（8分）中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽代英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（ A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动．
（1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为 ；
（2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．
【解答】解：（1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为，
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为＝．
19．（8分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【解答】解：（1）设经过t秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，
则，PC＝2t，BQ＝t，CQ＝5﹣t，
∴×2t×（5﹣t）＝××12×5，
整理得t2﹣5t+6＝0，
解得t1＝2，t2＝3，
∵0＜t＜5，
∴经过2秒或3秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的．
（2）①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得x＝；
∴经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似．
20．（8分）某种商品的标价为80元/件，经过两次降价后的价格为64.8元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率．
（2）已知该商品进价为60元/件，经过市场调研发现，当以90元/件售出时，平均每天能售出20件，若每件降价2元，则每天可多售出10件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每天盈利1125元，则每件商品应降价多少元？
【解答】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x．
依题意，得80（1﹣x）2＝64.8，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该商品每次降价的百分率为10%．
（2）设每件商品应降价x元．
根据题意，得（90﹣x﹣60）（20+5x）＝1125，
解得x1＝5，x2＝21．
∵降价幅度不超过10元，
∴x＝5．
答：每件商品应降价5元．
21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（＝1.414，＝1.732，＝2.236）
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°，
（2）由（1）可知∠APB＝∠PAB＝30°，
∴PB＝AB＝40（海里），
过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△PBD中，
PD＝BPsin60°＝20（海里），
20＞30，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
22．（12分）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EF＝AD，求出点E的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
将B（6，1）的坐标代入y＝，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y＝．
将A（m，6）的坐标代入y＝，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得：
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝OM×ON﹣OM×|xA|﹣ON×|yB|
＝×7×7﹣×7×1﹣×7×1
＝．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），
∴EF＝﹣m+7﹣．
∵EF＝AD，
∴﹣m+7﹣＝×6．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
23．（12分）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
【解答】问题1，
（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED＝∠A，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠DEC＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝2∠ACB；
（2）解：如图1，
作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
由折叠得，
AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝
∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，
∴2∠ADB+∠EDC＝180°，
∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∴2∠DCE+∠EDC＝180°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADG≌△DFC（AAS），
∴AG＝DF，DG＝CF＝，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
BG＝＝，
∴BD＝BG+DG＝；
问题2，
解：如图2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB＝BD，
∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∴CD∥BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD＝＝，
∴BF＝DE＝，
在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，
∴DF＝BE＝＝，
∴CF＝DF﹣CD＝，
在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，
∴BC＝＝．