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新高考数学二轮复习考点突破学案1.6《函数与导数》培优点(2份打包,原卷版+教师版)
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法则1
若函数f(x)和g(x)满足下列条件:
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)=0及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)=0;
(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)=k,那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)=eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)=k.
法则2
若函数f(x)和g(x)满足下列条件:
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)=∞及eq \(lim,\s\d4(x→a)) g(x)=∞;
(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)=k,那么eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)=eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)=k.
1.将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→﹣∞,x→a+,x→a﹣洛必达法则也成立.
2.洛必达法则可处理eq \f(0,0),eq \f(∞,∞),0·∞,1∞,∞0,00,∞﹣∞型求最值问题.
考点一 利用洛必达法则求eq \f(0,0)型最值
例1 已知函数f(x)=x2ln x﹣a(x2﹣1),a∈R.若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
规律方法 对函数不等式恒成立求参数取值范围时,采用分类讨论、假设反证法.若采取参数与分离变量的方法,在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦,如最值、极值在无意义点处,或趋于无穷,此时,利用洛必达法则即可求解.洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
跟踪演练1 已知函数f(x)=ex﹣1﹣x﹣ax2,当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
考点二 利用洛必达法则求eq \f(∞,∞)型最值
例2 已知函数f(x)=ax﹣a﹣xln x.若当x∈(0,1)时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
规律方法 对于不常见的类型0·∞,1∞,∞0,00,∞﹣∞等,利用洛必达法则求极限,一般先通过转换,化成eq \f(0,0),eq \f(∞,∞)型求极限.
跟踪演练2 已知函数f(x)=2ax3+x.若x∈(1,+∞)时,恒有f(x)>x3﹣a,求a的取值范围.
专题强化练
1.已知函数f(x)=ax2﹣xcs x+sin x.
(1)若a=1,讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)0,且x≠1时,f(x)>eq \f(ln x,x-1)+eq \f(k,x),求k的取值范围.
培优点2 对数平均不等式、切线不等式
在高考压轴题中,经常考查与导数有关的不等式问题,这些问题可以用常规方法求解,也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解,起到事半功倍的效果.
考点一 对数平均不等式
例1 若a>0,b>0,a≠b,求证:eq \r(ab)<eq \f(a-b,ln a-ln b)<eq \f(a+b,2).
规律方法 该类问题的特征是双变量,将双变量问题转变为单变量问题处理,即将eq \f(a,b)看成一个新对象(整体),从而进行降维打击.
跟踪演练1 已知函数f(x)=eq \f(1,x)﹣x+aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,
证明:eq \f(fx1-fx2,x1-x2)<a﹣2.
考点二 以泰勒公式为背景的切线不等式
泰勒公式:将函数展开为一个多项式与一个余项的和.
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x﹣x0)+eq \f(f″x0,2!)(x﹣x0)2+…+eq \f(f nx0,n!)(x﹣x0)n+Rn(x),
其中余项Rn(x)=eq \f(f n+1ξ,n+1!)(x﹣x0)n+1(ξ在x0与x之间),当x0=0时为麦克劳林公式.
其中ex与ln(1+x)的麦克劳林公式为ex=1+x+eq \f(1,2)x2+eq \f(1,6)x3+(x3),
ln(1+x)=x﹣eq \f(1,2)x2+eq \f(1,3)x3+(x3),
从中截取片段就构成了常见的不等式:ex≥1+x或ex≥1+x+eq \f(x2,2)(x≥0),
ln(1+x)≤x(x≥0)或ln x≤x﹣1(x>0),ln(1+x)≥x﹣eq \f(x2,2)(x≥0),
例2 设函数f(x)=aexln x+eq \f(bex-1,x),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
规律方法 指数的放缩.形如:
ex﹣1≥x﹣1+1⇒ex≥ex, SKIPIF 1 < 0 ≥e·eq \f(x,n)⇒ex≥eq \f(en,nn)xn.
对数的放缩.形如:eln x≥1+ln x⇒ln x≤x﹣1⇒ln(1+x)≤x,
lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,x)))e2.
2.已知函数f(x)=x(1﹣ln x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且bln a﹣aln b=a﹣b,证明:2
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