2023-2024学年四川省遂宁市蓬溪中学校高二上学期12月月考数学试题含答案

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 直线平分圆C：，则（ ）
A. B. 1C. -1D. -3
3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是（ ）
A. ①②④B. ②④
C. ③④D. ①②
5. 光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（ ）
A. B. C. D.
6. 长方体中，向量在基底的坐标为，则向量在基底的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则弦长的值为（ ）
A. 8B. C. D. 6
8. 如图，在长方体中，，，点E，F，G分别是中点，点M是侧面内（含边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在M，使得平面B. 存在M，使得平面
C. 不存在M，使得平面平面D. 不存在M，使得平面平面
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9. 已知直线，，则（ ）
A. 直线恒过定点，直线恒过定点
B. 若与相互平行，则或
C. 若，则
D. 若不经过第二象限，则
10. 近日，华为在美国商务部长雷蒙多访问中国之际发布了备受瞩目的新款手机 Mate60pr，该手机采用了自主国产芯片麒麟9000 s，这标志着华为成功冲破了美国的限制和封锁.芯片的突破，鼓舞了中国全社会.现甲，乙两人准备各买一部手机，购买华为手机的概率分别为，，购买黑色手机的概率分别为，，若甲，乙两人购买哪款手机互相独立，则（ ）
A. 甲，乙两人恰有一人购买华为手机的概率为
B. 甲购买了华为手机，但不是黑色的概率为
C. 甲，乙两人都没有购买黑色手机的概率为
D. 甲，乙至少有一人购买黑色华为手机的概率为
11. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线C是椭圆
B. 当或时，曲线C双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
12. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（ ）
A. 与所成的角是
B. 与平面所成的角的正弦值是
C. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
D. 是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知（为虚数单位），则________．
14. 椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于______.
15. 已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是___________
16. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为_____________．
四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求适合下列条件的曲线的标准方程
（1）实轴和虚轴长分别为8和10，焦点在轴上的双曲线的标准方程；
（2）焦点在轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
18. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
19. 中国人民志愿军被称为“最可爱的人”，2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年，为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩，按进行分组，得到如下的频率分布直方图．

（1）求图中的值及估计这50名党员的成绩的平均数；
（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和内的党员中共抽取4人，再从这4人中任选2人在会上进行演讲，求这2人的成绩不在同一区间的概率．
20. 已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线C方程；
（2）若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？
21. 已知在多面体中，，，，，且平面平面.

（1）设点F为线段BC的中点，试证明平面；
（2）若直线BE与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值．
22. 已知椭圆经过两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，求面积的最大值；
（3）若该椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线交椭圆于两点，求内切圆半径的最大值.