2023-2024学年天津市第四十七中学高二上学期12月月考试题数学含答案

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第I卷（共三部分；满分150分）
一､选择题（每题5分，共45分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）
A B.
C D.
4. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A. 13B. 16C. 17D. 18
5. 点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列的前项和，若，则（ ）
A. 578B. 579
C. 580D. 581
8. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ）

A. B. C. D.
9. 已知为坐标原点，双曲线右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（ ）
A. 6B. C. D. 4
二､填空题（每题5分，共30分）
10. 已知向量，，，且，则___________.
11. 已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．
12. 等差数列前项和分别是与，且，则______.
13. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为_________；
14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是____________．
15. 设数列前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为__________．
三､解答题（共75分，解答需写出必要的文字说明推理过程或计算步骤，只有结果的不给分）
16. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.
（1）若，求证：直线平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18. 设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
（1）求，的通项公式
（2）设，求 ；
（3）设，数列的前项和为，求.
19. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
20. 已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足；求
（3），数列的前项和为，求证：.