2023-2024学年福建省漳州市长泰第二中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省漳州市长泰第二中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．76是等差数列4，7，10，13，…的第（ ）项
A．25B．26C．27D．28
【答案】A
【分析】先求出该等差数列的通项公式，再代入，即可得到答案.
【详解】设该等差数列为，
由题意可知，首项为4，公差为3，
则
故，
得
故选：A
2．在数列中，=1，，则的值为
A．99B．49C．101D．102
【答案】C
【详解】因为所以数列是以首项为1，公差是2的等差数列，
=
3．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理以及等比数列下标和性质化简求解即可．
【详解】解：等比数列中，，是方程的两根，
所以，
因为
所以，
故选：A
4．设是数列的前n项和，若，则（ ）
A．-21B．11C．27D．35
【答案】B
【分析】根据与的关系即可求解.
【详解】由得，，所以,
故选：B
5．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】方法一：∵∴
∴
∴
，
方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，
故选:B
6．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；
【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.
故选：A.
7．若，，则直线的图象只能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由一般式方程转化为截距式方程，根据斜率与截距的取值，可得答案.
【详解】由题意，，将方程转化为，易知，，
故选：D.
8．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（ ）
A．1.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺
【答案】B
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】设等差数列为，公差为，
，解得，
∴立夏日影长为．
故选：B．
二、多选题
9．已知直线l过点，倾斜角为，若，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由求出，得到直线l的斜率，可求出直线l的方程
【详解】因为，，所以，所以直线l的斜率.
当时，直线l的方程为，即；
当时，直线l的方程为，即.
故选：AC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程表示的直线斜率一定存在
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程为
【答案】BD
【分析】根据直线方程、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误；
B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确.
C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错.
D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.
故选：BD
11．已知直线，，下列命题中正确的有（ ）
A．当时，与重合B．若，则
C．过定点D．一定不与坐标轴平行
【答案】AC
【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D．
【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；
当时，有且，解得，故B错误；
因为，所以直线过定点，故C正确；
当时，直线与x轴平行，故D错误；
故选：AC．
12．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用求解出当时，，故数列是等比数列，求出通项公式和前项和公式，判断出答案.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
.
故选：ACD.
三、填空题
13．直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，然后化为一般式即可.
【详解】因为直线的一个方向向量为(2，1)，
所以直线的斜率为，
因为直线过点P(1，2)，
所以直线为，即，
故答案为：
14．与向量垂直，且经过点的直线的方程为 .
【答案】
【分析】直线的法向量即为向量，故可求出直线的方向向量，再设出直线方程，再将点代入即可解出.
【详解】解：因为直线与向量垂直，所以直线的一个法向量为，
设直线的方向向量为，则，所以.
故可设直线的方程为.
又直线经过点，所以有，解得，
所以直线的方程为，即为.
故答案为：.
15．数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【分析】，然后利用裂项求和法进行运算．
【详解】
．
故答案为:．
【点睛】本题考查数列的求和，解题时要注意裂项求和法的合理应用．
16．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，故可看出是公差为2的等差数列，然后求出对应的首项即可得到答案
【详解】由可得，
所以是公差为2的等差数列，
因为的首项为，所以，
故数列的通项公式为
故答案为：
四、解答题
17．已知两直线l1：2mx+（3﹣m）y+1＝0，l2：2x+2my+m＝0．
(1)求l1和l2平行时m的值；
(2)求l1和l2垂直时m的值．
【答案】(1)
(2)m＝0或m＝5
【分析】（1）根据题意，由直线平行的判断方法可得关于m的方程，求出m的值，排除重合的情况即可得答案；
（2）根据题意，直线垂直的判断方法可得关于m的方程，求出m的值，即可得答案．
【详解】（1）解：因为l1//l2，
所以2m×2m﹣（3﹣m）×2＝0，
解得或m＝1，
当m＝1时，两条直线重合．
故；
（2）因为l1⊥l2，
所以2m×2+（3﹣m）×2m＝0，
解得m＝0或m＝5．
当l1，l2垂直时，m＝0或m＝5．
五、问答题
18．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.
(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值．
【答案】(1) an＝4n－32，n∈N＋.
(2)当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式；（2）对于前n项和的最值可以用以下两种方法求解，方法一，利用二次函数的最值求法（对称轴法）求解；方法二，根据数列的单调性求解，先判断从第9项开始，有an>0，之前各项为负，故其前7项或前8项之和最小．
【详解】(1)∵Sn＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
∴an＝4n－32，n∈N＋.
(2)方法一 Sn＝2n2－30n＝2(n－ )2－ ，
∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
方法二 ∵an＝4n－32，∴a10.
∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112
【点睛】数列的前n项和的最值问题求解方法：
（1）把前n项和看作是关于n的函数，利用具体函数的最值求法解决；
（2）首先判断数列的单调性，确定它的正数项或负数项的开始位置，再求和．
六、解答题
19．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：
(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.
(2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.
【答案】(1)x+5y﹣15＝0
(2)4x﹣3y+5＝0
【分析】（1）由中点坐标公式求出中点，然后求解直线方程.
（2）先求出斜率，然后利用点斜式求解直线方程.
【详解】（1）因为，则的中点，
因为的边上的中线过点，
所以的方程为，即，
故的边上的中线所在的直线方程为；
（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，
因为，所以，
又直线经过点，故所求直线方程为，即4x﹣3y+5＝0；
七、问答题
20．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】(1) ；（2）．
【分析】（1）由题意可得，根据等差数列的通项公式可得，
进而求出，由此即可求出结果；
（2）由题意可知， ，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，根据等差数列前项和公式即可求出结果.
【详解】（1）因为成等比数列，所以，
又数列是公差不为零的等差数列，所以，
又，所以；
∴．
（2）由题意可知，
数列 是以23为首项，公差为-6的等差数列，
所以，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，
所以.
【点睛】本题考查了主要考查了等差数列的通项公式、相关性质和前项和公式的应用，考生数列掌握等差数列的相关公式是解决本题的关键.
21．如图，在中，，，且边的中点在轴上，的中点在轴上.
（1）求点的坐标；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，根据中点坐标公式建立关于的方程，即可解出点坐标；
（2）由、两点坐标得到边的长度以及直线的方程，再求出点到直线的距离得到边上的高，从而得到三角形的面积．
【详解】（1）设点，
因为边的中点在轴上，的中点在轴上，，，
，解得，所以点的坐标是；
（2）由题设，，
，所以直线的方程为，即；
故点到直线的距离为，
所以，
【点睛】本题主要考查求直线三角形顶点坐标，以及三角形面积，考查点到直线的距离公式，考查两点间距离公式，以及中点坐标公式，属于常考题型.
八、证明题
22．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若且，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可；
（2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以.
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知，，所以.
因为，当时，，所以，
当时，也符合，所以，所以，
所以，①
，②
①-②，得，
所以.