2023-2024学年甘肃省武威市民勤县第一中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市民勤县第一中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】由直线，可得，
即其斜率，
设直线的倾斜角为，
则，，
故选：D.
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先把抛物线方程转化为标准方程，再求出焦点坐标即可.
【详解】抛物线可化为.它的焦点坐标是.
故选：B.
3．在等比数列中，，，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设该等比数列的公比为，
因为，
所以由，
因此，
故选：A
4．如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ ）
A．2B．－2C．2,－2D．2,0,－2
【答案】C
【详解】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.
5．圆与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长.
【详解】联立方程：，
两式相减可得公共弦方程，
方法一：联立方程：
得，得 ，，即公共弦的端点坐标为，
根据点到直线距离公式可得公共弦长为
方法二：圆的圆心坐标为，半径为
圆心到公共弦的距离为，公共弦长为
故选:B
6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A．10.5尺B．11尺C．11.5尺D．12尺
【答案】A
【分析】结合等差数列的知识求得正确答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
依题意，，即，
解得，所以尺.
故选：A
7．双曲线的右焦点为，若以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】由题意得双曲线方程为，则圆心到渐近线的距离，化简后可求出离心率.
【详解】根据题意得：圆心，半径为，双曲线渐近线方程为，即，
以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，且，
圆心到渐近线的距离，即，
，
则双曲线的离心率，
故选：B
8．若直线l：与曲线y＝－2＋有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】找出直线恒过的定点，画出曲线y＝－2＋，数形结合进行判断.
【详解】
整理化简为：
根据交点直线系方程，
该直线恒过直线与直线的交点.
联立方程组，解得直线恒过定点
对曲线y＝－2＋
整理化简为：
故其为一个以为圆心，半径为3的半圆，
在同一直角坐标系下绘制图像如下图所示：
由图可知，直线与曲线有两个交点的临界情况如上图的和
当直线为的状态时，斜率为0，此时只有一个交点，故不取0；
当直线为的状态时，斜率为，此时有两个交点，故可取.
综上所述：.
故选：B.
【点睛】本题考查直线恒过定点，圆方程，以及直线与圆的交点的个数问题，属综合中档题；需要数形结合.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为1
C．过点且垂直于直线的直线方程为
D．过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为
【答案】BD
【分析】计算直线定点即可判断A项，计算截距为即可判断B项，计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断C项.，举反例即可判断D项，从而求解.
【详解】对于A：得直线过定点，故A项正确，不符合题意；
对于B：令，得，故在轴上的截距为，故B项错误，满足题意；
对于C：由，的斜率分别为，，则有，故两直线互相垂直，
将代入直线方程得，故在直线上，故C项正确，不符合题意；
对于D：过点，且与坐标轴截距相等，故D项错误，符合题意；
故选：BD.
10．在数列中，若，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等差数列B．的前n项和
C．的通项公式为D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】由可得，可得是公差为3的等差数列，然后利用等差数列的通项公式和求和公式逐项进行分析即可
【详解】由可得，
所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确；
，的前n项和，故B正确；
由可得，故C正确；
因为，故的最小值不为，故D错误；
故选：ABC
11．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误.
【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
12．已知双曲线：，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点，使得四边形为正方形
C．直线，的斜率之积为2
D．存在点，使得
【答案】AB
【分析】根据双股曲线方程求出离心率判断A；取特殊点判断B；设，求出的坐标，进而求出直线，的斜率之积，判断C；利用两点间距离公式表示出，令其等于，结合双曲线方程可判断D.
【详解】对于A，由双曲线：，得，
故，A正确；
对于B，双曲线：的渐近线为，
则四边形为矩形，
又双曲线右顶点为，到直线的距离均为，
故矩形为正方形，
即存在点，即M为双曲线右顶点时，使得四边形为正方形，B正确；
对于C，设，不妨设A在第一象限，B在第四象限，
由于，故可得的方程为，
联立，可得，则，
同理，可得的方程为，
联立，可得，则，
故，而，
故，C错误；
对于D，由以上分析可知，
同理,
故，
根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则，
故，令，
将代入，即有，显然不可能，
即双曲线上不存在点，使得，D错误，
故选：AB
【点睛】难点点睛：本题综合考查了双曲线性质的应用，解答的难点在于选项D的判断，解答时要注意根据点的坐标表示出的表达式，进而结合方程推出矛盾，判断该选项错误.
三、填空题
13．数列满足，且，则它的通项公式 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.
【详解】因数列满足，即，
因此数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
14．已知点，圆C：，若过点M的直线l与圆C相切，则直线l的方程为 .
【答案】或
【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算即可.
【详解】圆C：，圆心为，半径，
当直线斜率不存在时，设，此时，满足；
当直线斜率存在时，设，即，，
解得，故直线方程为，即.
综上所述：或；
故答案为：或
15．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 .
【答案】/
【分析】由双曲线的标准方程可求其渐近线方程，则P点坐标可设成只有一个参数m的形式，再由可得m的值，则△PFO的面积可求.
【详解】抛物线的焦点为F(1，0)，双曲线C：的渐近线方程为 ，
不妨设P在渐近上，可设，，
由可得 ，解得，
则△PFO的面积为，
故答案为：.
四、单空题
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为 ．
【答案】12
【分析】由椭圆方程求出坐标，结合椭圆定义将转化为，即只需求的最大值，即求的最大值，结合图形求得其最大值，即可求得答案.
【详解】由椭圆可知，，
圆的圆心为，半径为，
而，故，
要求的最大值，只需求的最大值，
而Q在圆上，
只需求的最大值，当共线时（如图），最大，
此时，即为的最大值，
则的最大值为，
则的最大值为，
故答案为：12
五、问答题
17．在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）根据前项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得.
故.
（2）由等差数列的前项和公式可得.
因为，所以，即，
解得（舍去）.
18．已知直线：与直线：的交点为.
（1）求过点且与直线：平行的直线的方程.
（2）求过点，且点(4，0)到它的距离为3的直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）先求得点的坐标，利用待定系数法求得所求直线方程.
（2）分成斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得所求直线方程.
【详解】（1）联立直线和起的方程有：，解得：，即点(1.2)
设该直线的方程为：，
将(1，2)代入得：，所以，
所以该直线方程为：.
（2）①当直线斜率存在时，设直线方程为：，即为，
设点(4，0)到该直线的距离为，则，解得，
即该直线方程为：，化简成一般式为：，
②当直线斜率不存在时，则该直线方程为：，
此时点(4，0)到直线的距离恰好等于3，符合题意.
综上：满足题意的直线方程有：或.
19．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：由题意可求得，，由椭圆的定义可得，进而得，即可得解；
解法二：由题意可得，由为椭圆上一点及关系建立方程组，即可求解；
（2）由条件结合余弦定理得及椭圆的定义可求得，然后利用三角形面积公式即可得出答案.
【详解】（1）解法一：设椭圆C的焦距为，
因为，可得，所以，，
则，，
由椭圆的定义可得，
所以，
故椭圆C的标准方程为.
解法二：设椭圆C的焦距为，因为，可得，
因为为椭圆上一点，
所以，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）在中，，，
由余弦定理得，
即，
又由椭圆的定义，可得，
两边平方得，
即，解得，
所以的面积.
20．已知圆：，直线：．
(1)当为何值时，直线与圆相交；
(2)当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出圆心及半径，再根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离小于半径，即可得解；
（2）根据圆的弦长及弦长公式求出圆心到直线的距离，进而可得出答案.
【详解】（1）将圆化为标准方程得，
则圆心，半径，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，解得，
所以当时，直线与圆相交；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，即，解得，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
21．设正项数列的前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 应用得出等差数列再求数列通项公式即可;
（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
22．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)直线恒过定点
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，由待定系数法即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程可得根与系数的关系，即可根据两点斜率公式表达，代入根与系数的关系化简可得，即可求解定点.
【详解】（1）由题意知解得，，，
所以椭圆C的方程为；
（2）显然，直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，,
由得，
所以，
所以，
所以，
所以直线的方程为，所
以直线恒过定点

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点