2023-2024学年河南省南阳市南阳一中高二上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市南阳一中高二上学期第三次月考数学试题含答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角梯形
C．有两个内角相等的五边形D．正七边形
【答案】C
【分析】根据正方体的截面分析得到答案.
【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形.
对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形.

如图所示的截面三角形.
设，所以，，.
所以由余弦定理得：所以为锐角.
同理可求：为锐角，为锐角.
所以为锐角三角形.故A错误；
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.

故B错误；
对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等.

故C正确；
对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误.
故选：C
2．若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】讨论双曲线焦点位置，结合已知渐近线确定双曲线参数关系，进而求离心率.
【详解】若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为，
所以；
若双曲线焦点在轴上，则一条渐近线为，
所以；
所以双曲线C的离心率为或.
故选：D
3．在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A．直线坐标平面B．直线坐标平面
C．直线坐标平面D．直线坐标平面
【答案】C
【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．
【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，
但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，
故选：C．
4．已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断，求得，，可得，再根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为是平面的一个法向量，
是平面的一个法向量，且平面平面，
所以得，则，
得，，所以
所以在上的投影向量为，
故选：B.
5．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】计算得到，，再根据正弦定理得到，得到垂直关系.
【详解】直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率，直线bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率 ，故直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直故选：C.
【点睛】本题考查了直线的位置关系，正弦定理，意在考查学生的综合应用能力.
6．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.
【详解】解：由题意可得：
.
故选：A.
7．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解
【详解】因为，所以.又，
所以，即，所以，则.
所以.又，所以.
故选：C.
8．如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
①存在点，使得；
②存在点，使得平面；
③的面积越来越小；
④四面体的体积不变．
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设正方体棱长为，求出，由解得，确定①正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断④，以为轴建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故②不正确；
设，，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律判断③正确.
【详解】设正方体棱长为，
由平面平面得，同理，
所以，
由得，存在使得，①正确，
正方体中，平面，所以到平面的距离不变，即到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，④正确;
以为轴建立空间直角坐标系，如下图，
正方体棱长为2，则，
，，所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故②错误；
设，
所以
设到直线的距离为，则

由二次函数性质知时，递减，所以递减，又不变，所以的面积为递减，③正确，
综上：①③④正确
故选:C.
【点睛】立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理,尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了,本题中用向量法解决点到直线的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了.
二、多选题
9．已知是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若不全为，则共面，与题意矛盾，所以A正确；
对于B中，由空间中任意两个向量是共面的，可得两两共面，
又由是空间的一个基底，可得不共面，所以B正确；
对于C中，因为不共面，则不存在实数，使得，所以C错误；
对于D中，若，，共面，
则存在实数，使得，可得，方程组组无解，
所以，，不共面，所以D正确.
故选：ABD.
10．如图所示，在正方体中，为的中点.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相应向量的坐标，计算相关向量的数量积以及利用向量的夹角公式求得向量夹角，即可判断出正确答案.
【详解】以D为坐标原点，以为为坐标轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
，,
则，
故，
又，所以，A正确；
又，，
∵，
，B正确;
又，
故，
所以，即，C错误；
又，
则，
故 ，D正确．
故选：ABD
11．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出，再根据椭圆的几何性质即可解出.
【详解】由椭圆定义，，
由椭圆的几何性质，，又e