2023-2024学年湖南省张家界市慈利县第一中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省张家界市慈利县第一中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设复数，依据复数相等列出关于的方程组，解之即可求得z的虚部b.
【详解】设复数，由复数z满足
可得，即
则，解之得，即z的虚部为
故选：D
2．己知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，，则
【答案】C
【分析】根据线面、面面平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若，，则或，A错误；
对于B，若，，，则与可能平行或相交，B错误；
对于C，当，时，则存在，，使得，，
，又，，，又，，，，C正确；
对于D，若，，，，则与可能平行或相交，D错误.
故选：C.
3．直线与圆交于，两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据圆的方程先确定圆心和半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，根据几何法求出圆的弦长，进而可到三角形的面积.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
则弦长，
因此的面积为.
故选：D.
4．湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件；B．F与I是互斥事件，且是对立事件；
C．F与G是互斥事件；D．G与I是互斥事件.
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可；
【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”、 “去甲、乙草原”共四个，
事件“至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “去甲、乙草原”三个基本事件；
事件“至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”三个基本事件；
事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、 “一个草原也不去”两个基本事件；
对于A，事件，有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
对于C，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.
故选：B
5．已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.
【详解】由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为，
故选：B
6．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的体积为；B．该圆锥的侧面积为；
C．；D．的面积为2.
【答案】D
【分析】利用圆锥体积、侧面积公式可判定A、B，利用二面角的概念构造其平面角计算可判定C、D.
【详解】依题意，，，所以易得，，
A选项，圆锥的体积为，A选项错误；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，，则，，
所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项错误；
D选项，，所以，D选项正确.
故选：D.

7．冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上，名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈个时间刻度的行进轨迹．若以图中点与圆心连线为始边，某时刻指向第，，名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两角和的余弦公式化简计算.
【详解】由已知得，，，
所以，
故选：B.
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的法向量可取，
同理平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
则直线l与平面所成角的正弦值为
.
故选：A
二、多选题
9．若函数只有一个零点3，那么函数的零点是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由列方程，求得的关系式，由此求得的零点.
【详解】由题意知，∴，，
∴，使，则或.
故选：AB.
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率，从两袋各摸出一个球，则（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．2个球至多有一个红球的概率为D．2个球中至少有1个红球的概率为
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率逐项分析计算即可判断作答.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则，，A，B相互独立，
2个球都是红球的事件为AB，则有，A正确；
2个球中恰有1个红球的事件为，则，B正确；
2个球至多有一个红球的事件的对立事件为AB，故2个球至多有一个红球的概率为，故C错误；
至少有1个红球的事件的对立事件是，则，所以至少有1个红球的概率为，故D错误.
故选：AB.
11．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．在区间上单调递增D．最大值为2
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A，B；当时，函数可化为，可判断C；结合函数的周期性对进行分类讨论，将函数的绝对值去掉，再求其最大值可判断D.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以是偶函数，故A正确；
因为
，所以是以为周期的周期函数，故B正确；
当时，函数可化为
，
此时在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
由于函数是以为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可，
不妨取，当时，函数可化为，
由，得，
所以当，即时，取得最大值，
当时，，
由，得，
所以，即时，取得最大值，
故当时，取得最大值，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.
12．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”在鳖臑中，，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．点到平面的距离为D．内切球的半径为
【答案】ACD
【分析】确定鳖臑外接球的球心的位置，利用其体积求得外接球半径，根据三棱锥体积公式结合基本不等式可求得鳖臑的体积的最大值，判断A，B；根据直棱柱特征判断C；利用等体积法可求得内切球的半径， 判断D.
【详解】由题意可设直三棱柱为，，,
平面,故平面,
平面,故；又因为,
所以的中点O即为的外接球的球心，
设外接球的半径为，则，得，
在中，,
故,即，而，
所以，
鳖臑的体积，
当且仅当时，取得等号，故，故A项正确，B项错误
因为三棱柱为直三棱柱，故平面，
所以点到平面的距离为，故C项正确
设的内切球半径为，由题意知三棱锥的四个侧面皆为直角三角形，
由等体积法，
而,,
得，所以，故D项正确,
故选：ACD
三、填空题
13．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：函数的图像恒过定点
所以
又点在直线上
所以，即
当且仅当时，取等号.
所以的最小值为
故答案为：.
14．直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线过点，且与向量垂直，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
即.
故答案为：
15．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 ．
【答案】
【分析】设，利用向量的坐标运算化简，结合在上列方程，解方程求得的值.
【详解】设，则由，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，
所以，
所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查向量的坐标运算，考查向量相等的概念，考查方程的思想，属于中档题.
16．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，设出点的坐标，并表示出点的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，设，，则，
而，则有，显然，于是，
由点在x轴正半轴上，得，面积
，当且仅当，即时取等号，
所以当面积最小时，点的坐标是.
故答案为：

四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，，焦点在轴上；
(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的值，根据焦点的位置，即可写出椭圆的方程；
（2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案.
【详解】（1）焦点在轴上，由，，可得，
故椭圆的标准方程为；
（2）椭圆的焦点坐标为，
则所求椭圆的焦点坐标也为，
设其方程为，则，
又椭圆经过点，故，联立，
解得，
故椭圆方程为.
18．设直线的方程为，．
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）分直线过原点时和直线不过原点时两种情况讨论即可；（2）分别求出在轴，轴上的截距，从而表示出围成的三角形的面积即可.
【详解】（1）由题可知：，即．
①当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时，
则直线的方程为．
②当直线不过原点时，即时，由截距相等，得，即，
则直线的方程为．
综上：所求直线的方程为：或．
（2）由题可知：，，且在轴，轴上的截距分别为，．
所以有，即．
又因为，所以，解得．
19．设平面向量，，函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若锐角满足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简函数解析式，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再利用诱导公式求出，最后利用二倍角公式公式计算可得；
【详解】（1）解：因为，且，
所以.
当时，，
∴，即函数的值域为.
（2）解：因为，
所以，
所以，
∴.
20．如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求证：；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直,进而可得线线垂直.
（2）根据空间向量求点面距离.
（3）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.
【详解】（1）∵，是AB的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面ABE，
∴平面ABCD，平面ABCD，
∴.
（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，
∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，
∴．
∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M-xyz．
则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，
则，
令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则
，
∴点B到平面EAC的距离为
（3）因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为
，，
设，，
则，
∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，
，
由，解得，
∴．
21．2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】(1)31.75岁；36.25
(2)（i）；（ii）10
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数的计算公式求解可得平均数；上四分位数即第百分位数，根据定义可构造方程求得结果；
（2）（i）根据分层抽样原则可求得第四组和第五组抽取的人数，采用列举法可得样本点总数和满足题意的样本点个数，根据古典概型概率公式可求得结果；
（ii）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差.
【详解】（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）
设上四分位数（第75百分位数）为，
，，
位于第四组：内；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：
，
共15个样本点.
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则
，
共有9个样本点.所以，.
（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，
则，，，
，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
法一：
.
法二：
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；
据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
22．已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；
（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）；（3）存在；定点时，定值为或定点时，定值为.
【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断为圆的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.
（2）由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆的方程；
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，，根据切线长定理及两点间距离公式表示出，代入并结合圆M的方程，化简即可求得，进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程，解方程即可确定的值，即可得定点坐标及的值.
【详解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
∴圆心到切线的距离为，解得，
∴直线方程为
综上切线的方程为或.
（2）点到直线的距离为，
∵圆被直线截得的弦长为8，∴，
∴圆的方程为.
（3）假设存在定点，使得为定值，设，，
∵点在圆上，
∴，则
∵为圆的切线，
∴，∴，
，
∴
即
整理得
若使对任意，恒成立，则，
∴，代入得，
化简整理得，解得或，
∴或
∴存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.
【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.