2023-2024学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由已知列出关系式，求出的值.然后根据两条平行线之间的距离公式，即可求出的值.
【详解】由已知可得，，解得.
代入化简可得，.
根据两条平行线之间的距离公式可得，
.
故选：B.
2．若圆关于直线对称，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】D
【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可.
【详解】圆关于直线对称,
即圆心在直线上，
由，得圆心，
则，得.
故选：D
3．由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A．180B．196C．210D．224
【答案】C
【解析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
【详解】分两种情况：
（1）个位与百位填入0与8，则有个；
（2）个位与百位填入1与9，则有个.
则共有个.
故选：C
【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．
4．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.
【详解】因为，，，
所以，，又，
所以，
所以，故A错误；
由，可得，故B错误；
所以，故C正确；
所以，，故D错误.
故选：C.
5．的展开式中，的系数为（ ）
A．200B．40C．120D．80
【答案】B
【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.
【详解】，
而展开式的通项为，
所以当时，的系数为，
当时，的系数为，
所以的系数为，
故选：B
6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知M的轨迹为：，即与其有交点的曲线都是“好曲线”，结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线.
【详解】由题意知：M平面内两点，距离之差的绝对值为8，
由双曲线定义知：M的轨迹以为焦点的双曲线且，
即轨迹方程为：，
可知：“好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：

所以不是“好曲线”的是.
故选：B.
7．初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图像顺时针旋转可以得到双曲线.已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用题中所给信息，找出两条渐近线方程，再利用双曲线的对称性，建立新的坐标系，再利用条件求出和，进而求出结果.
【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，故函数图像关于原点对称，
当，且时，，
当时，，此时的图像与无限靠近，
故的两条渐近线为轴和，作出其图像如下图所示：
为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必须平分两条渐近线的夹角，
又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴的夹角为，
故在新坐标系中，轴与轴的夹角应为，
故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与垂直，
在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，
联立，解得，，所以，
又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，故，即，
故在新坐标系下双曲线方程为，
故选：A.
8．已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.
【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．若直线经过第三象限，则，
C．是直线与直线垂直的必要不充分条件
D．存在a使得直线与直线平行
【答案】AD
【分析】根据斜率与倾斜角的关系可判定A，根据直线与一次函数的关系可判定B，根据直线平行与垂直的充要条件可判定C、D.
【详解】对于A项，设直线的倾斜角为，
由题意可知其斜率为，故A正确；
对于B项，直线过第三象限，可以，，故B错误；
对于C项，两直线若垂直，则，反之当时，
两直线方程分别为，显然互相垂直，即是直线与直线垂直的充要条件，故C错误；
对于D项，两直线若平行，则或，
且或，所以当时能使两直线平行，故D正确.
故选：AD.
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ACD
【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；
对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故选：ACD.
11．点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（ ）
A．存在点，使得
B．弦长的最小值为
C．点在以为直径的圆上
D．线段经过一个定点
【答案】BCD
【分析】对于A，设，根据得，，得，可得A不正确；对于B，根据四边形面积关系列式求出，根据可求出，可得B正确；对于C，用以为直径的圆的方程和圆相减得公共弦所在直线方程，可得定点坐标，可得D正确.
【详解】对于A，设，则，当且仅当时，等号成立，
因为，，，，
所以，所以，所以，
故不存在点，使得，故A不正确；
对于B，根据圆的对称性得，所以，
又，
所以，
所以，
由A知，，所以.
故B正确；
对于C，因为，，所以既是直角三角形的外接圆的直径，又是直角三角形的外接圆的直径，所以点在以为直径的圆上，故C正确；
对于D，设，则的中点为，
所以以为直径的圆的方程为，
即，
因为是圆与圆的公共弦，
所以直线的方程为：，当时，，
所以直线：过定点，因为定点在圆内，所以线段经过定点，故D正确.

故选：BCD
12．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆､椭圆､双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ）

A．圆的面积为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABC
【分析】根据所给的图，结合截面圆与底面关系确定半径，即可求面积判断A；再由椭圆、双曲线、抛物线性质建立直角坐标系，并标注相关点的坐标求对应曲线方程，进而判断B、C、D.
【详解】A：由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，故圆的面积为，对；
B：如下图轴截面中，作于，则长轴长，
又，则，对；

C：如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点O、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，
设双曲线为，且，则，
所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，
故两条渐近线夹角正切值为，对；

D：如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则，故，
设抛物线方程为，则，
所以抛物线的焦点到准线的距离为，错.

故选：ABC
三、填空题
13．已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先画出图象，利用数形结合，即可求得的取值范围.
【详解】直线过定点，，，
如图，若直线与线段有公共点，
则的取值范围是
故答案为：
14．某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为 .
【答案】150
【分析】利用排列组合以及分步计数原理求解.
【详解】先将5名同学分成三组，每组人数有或两种情况，
则不同的分组方法有,
再由这3组学生选取3门选修课，不同的选法有种，
由分步计数原理可知这5名同学选课的种数为，
故答案为：150.
15．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为，即，则 ．
【答案】
【分析】求出，，，，由条件概率公式和全概率公式可得答案.
【详解】因为，所以,
因为，所以，
所以，
．
故答案为：.
16．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线的焦点为F，直线，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为 ．
【答案】或
【分析】设，易知抛物线焦点为，为直线上的动点，设，根据结合距离公式，可得，根据方程有唯一解列方程求解即可.
【详解】设，易知抛物线焦点为，
为直线上的动点，设，
由
，
，即代入，
，
（1）当时，，
由得，
此时方程只有一个解，满足题意，
（2）当时，，
解得，代入可得
求得，可得
的值为或
故答案为：或.
四、解答题
17．已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.
(1)求的最小值；
(2)若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.
【答案】(1)4
(2).
【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点，
如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为，
则，所以，
可得，
所以当时，即时，取得最小值.
（2）接：根据题意，设直线的方程为，即，
可得，所以，
整理得，
因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，
则满足，解得，所以的取值范围是.
18．已知圆过点，且圆与两坐标轴均相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若半径小于的圆与直线交于、两点， ，求的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)或
(2)条件选择见解析，
【分析】（1）设圆的方程为，根据已知条件得出，，分、两种情况讨论，求出的值，即可得出圆的方程；
（2）求出圆的方程，选①或选②，过点作于点，求出，即为圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出的值.
【详解】（1）解：设圆的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆两坐标轴均相切，所以，
若，则，整理可得，解得或，
此时，圆的方程为或；
若，则，整理可得，，
方程无解.
综上所述，圆的方程为或.
（2）解：因为圆的半径小于，所以，圆的方程为，
如果选择条件①：
由，，得，
过点作于点，则为的中点，则，
所以圆心到直线的距离，
则，解得；
如果选择条件②：，在中，，
过点作于点，则，
所以圆心到直线的距离，则，解得.
19．在二项式的展开式中，前三项的系数依次为M，P，N，且满足.
(1)若直线l：的系数a，b，c（）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l的条数；
(2)求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)10；
(2)，.
【分析】（1）根据给定条件，求出n值并求出展开式的通项，再利用组合求解作答.
（2）由（1）中通项公式，列出不等式组，求出系数最大的项作答.
【详解】（1）二项式的展开式中，，
依题意，，即，显然，解得，
展开式的通项为，
当不是整数，即时，是无理项，
当r分别取1，2，3，5，6，7时，对应项的系数分别为，
从的5个数中取3个不同数分别为使，有种取法，每种取法确定一条直线，
所以不同直线l的条数是10.
（2）由（1）知，展开式的通项为，
令第项的系数最大，则有，即，
整理得，解得，而，因此或，
所以展开式中系数最大的项是，.
20．现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有8个红球和2个白球，乙袋中有4个红球和6个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】(1)
(2)①；②方案二中取到红球的概率更大
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论．
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：，
方案二中取到红球的概率为：，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大.
五、证明题
21．已知双曲线，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的虚轴长与离心率；
(2)若过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率，均存在，求证：为定值；
(3)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】(1)虚轴长，离心率
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据双曲线方程直接得虚轴长与离心率；
（2）设点，，，分别表示，，再根据点在双曲线上，可得证；
（3）当直线斜率存在时，设直线方程为，，，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将恒成立转化为恒成立，所以，解得，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，，由可解得.
【详解】（1）由双曲线方程为，
可知，，，
所以虚轴长为，离心率；
（2）
设点，，，
则，，
则，
又点与点均在双曲线上，
则，，
所以，
所以为定值；
（3）
假设存在点，使恒成立，
由已知得
当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
联立直线与双曲线，得，，且，
，，
，，
则，
若恒成立，则恒成立，
即，解得，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，，
，
，解得或，
综上所述，，
所以存在点，使恒成立.
【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
六、解答题
22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)最大值为.
【分析】（1）根据焦距易得，再根据离心率为可得椭圆方程;
（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函数最值得到的最值，最终得到的最大值.
【详解】（1）由题意得，，
又，，，
椭圆方程为：.
（2）
设，，
联立，得，
，
，，
，
，直线的方程为：，
联立得，，
，
,
，
令，，且，
则
当且仅当，，即，时等号成立，
，因此，
的最大值为，
综上所述，的最大值为，此时.
【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.