2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期第三次月考数学试题（尖子班）含答案

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期第三次月考数学试题（尖子班）含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线与直线垂直，则( )
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.
【详解】由题意可知，即．
故选：B.
2．圆与圆内切，则实数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】由圆内切得即可解决.
【详解】由题知，
所以，
因为圆与圆内切，
所以，即，
因为，
所以，
故选：C.
3．已知在等差数列中，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据题意，结合等差数列的性质，以及等差中项公式，即可求解.
【详解】由等差数列中，因为，可得，所以，
又由，且，可得.
故选：C.
4．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm

A．30B．10C．20D．
【答案】C
【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长半轴长，即得答案.
【详解】在大椭圆中，，，则，则椭圆离心率为．
∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，，
结合题意知，得，∴小椭圆的长轴长为20．
故选：C
5．已知数列满足，，则（ ）
A．2B．C．D．2023
【答案】A
【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定.
【详解】由，，，……，
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
6．在平行六面体中，，则的长为（ ）
A．B．C．12D．20
【答案】B
【分析】利用向量表示，再利用空间向量的数量积计算得解.
【详解】在平行六面体中，，
，而，
所以 ，
.
故选：B
7．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A．双曲线的渐近线为B．的离心率为
C．的方程为D．的面积为
【答案】D
【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案.
【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，
因为点A是在第一象限内的交点，所以，
根据双曲线的定义可得，，
所以，
根据椭圆的定义可得，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故BC项错误；
对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于D项，由余弦定理得，
又，所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
8．设点是抛物线:上的动点，点是圆:上的动点，是点到直线的距离，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出抛物线焦点坐标，由抛物线定义得到，数形结合得到即为的最小值，得到答案.
【详解】由定义知：抛物线的焦点坐标为，连接，
则，所以，
圆：的圆心为，半径为，
则使得取的最小值，（四点共线时取得最小值），
其中，故的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，已知，，则（ ）．
A．直线的倾斜角是B．直线与直线平行
C．点P在直线上D．直线的一个方向向量为
【答案】ABD
【分析】对A：根据斜率的计算公式以及倾斜角与斜率之间的关系运算求解；对B：根据两直线的位置关系分析判断；对C：根据点与直线的位置关系分析判断；对D：根据方向向量与斜率之间的关系分析判断.
【详解】对A：由题意可得：直线的斜率，则直线的倾斜角是，A正确；
对B：直线的斜率，且，
则，且直线不过点P，即直线不与直线重合，
故直线与直线平行，B正确；
对C：∵，故点P不在直线上，C错误；
对D：方向向量为表示直线的斜率，直线的一个方向向量为，D正确.
故选：ABD.
10．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．数列有最小项
C．数列的通项公式为D．数列为递减数列
【答案】AD
【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
则，所以数列为递减数列，故D正确，B错误
对选项C，因为，所以，故C错误.
故选：AD
11．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段，上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据已知推得.进而即可根据三棱柱的性质，以及线面平行的判定定理得出A；根据直三棱柱的性质得出球心是的中点.求出的长，即可得出球的半径，进而得出面积；平行可得即等于异面直线与所成角.在中，求解即可判断C；建立空间直角坐标系，求出平面以及平面的法向量，根据向量即可求出二面角的余弦值.
【详解】对于A项，因为，所以.
根据直三棱柱的性质可知，，
所以，.
因为平面，平面，
所以，平面.故A项正确；
对于B项，如图，分别取的中点为，连接，
则的中点即为三棱柱的外接球的球心.
又根据三棱柱的性质可知，点也是的中点.
由已知可得，，，，
所以，.
所以，，即外接球的直径为，半径为，
表面积为.故B项正确；
对于C项，因为，所以与所成的角即等于异面直线与所成角.
在中，有.故C错误；
对于D项，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则.
设为平面的一个法向量，
则，取，则.
所以，.
又由图可知，二面角为锐角，
所以，二面角的余弦值为.故D正确.
故选：ABD.
12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．直线为成双直线
C．若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为
【答案】BC
【分析】对A，根据题意先求出动点P的轨迹方程判断即可;对B，联立与，得出二次方程，根据判别式判断是否有解即可;对C，设，再表达出，结合椭圆的方程求解即可;对D，根据焦点三角形的面积公式求解即可.
【详解】对A，设，则，即，化简得，故A错;
对B，联立，消去得，，故直线上存在这样的点，
所以为成双直线，故B正确;
对C，设，则，所以
，故C正确.
对D，易得分别为椭圆的左右焦点，，
设，根据余弦定理得，
解得，则，
（或根据结论得面积为，）故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.
【详解】由数列的前n项和为，
当时，可得；
当时，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
14．已知双曲线的两条渐近线方程为，并且经过点，则该双曲线的标准方程是 .
【答案】
【分析】根据题意设双曲线方程为，利用渐近线和过点解方程组即可求得其标准方程.
【详解】依题意可设双曲线方程为，；
由渐近线方程为可得，
将点代入可得，解得，
所以双曲线标准方程为.
故答案为：
15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为 .
【答案】
【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可.
【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，
∴ ，且，∴
∵的顶点，
∴直线AC方程：，即，
与联立， ，解得：，
所以顶点C的坐标为，
故答案为：.
16．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据直线过定点，以及直线与圆的位置关系，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，直线可化为，可得直线过定点，
将曲线化为，
可得曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示，
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，
当直线过点时，此时直线与曲线相切，直线与曲线只有一个交点，
由得，即，
曲线与直线有两个交点，结合图形，
可得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、问答题
17．已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标，斜率为的直线l与C相交于A，B．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若，求l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的焦点即可求解方程，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据抛物线的焦半径即可求解.
【详解】（1）由焦点，可得，得，
因此抛物线C的标准方程为．
（2）设，，，
联立方程组，得
韦达定理知，
，
，
则l的方程．
18．已知圆过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案.
（2）根据垂直和中点得到关于直线对称的点为，即为所求直线.
【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为，
故的垂直平分线为，，解得，即圆心为，
圆的半径，
故圆方程为.
（2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心，
设关于直线对称的点为，
则，且，解得，即，
，
故反射光线为，即.
19．已知等差数列，前项和为，又．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.
（2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，
因为，所以，
所以，由，解得，
又，所以；
（2）
设，的前项和为，得，
，得
当时，，即，所以
当时，得 ，所以，
则
综上所述：
20．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
(2)设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可；
（2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解；
【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
五、证明题
21．如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．

(1)证明：平面FND；
(2)若P为FC的中点，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得到，再根据线面垂直的判定定理和性质得到，并且利用勾股定理的逆定理得到，最后利用线面垂直的判定定理证得平面FND；
（2）先建立合适的空间直角坐标系，再写出相关点及向量的坐标，最后利用向量的夹角公式和同角三角函数的基本关系求得结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD中，，，，，
M为AD的中点，且，
∴四边形ABNM为正方形，且边长为1，
∴题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故，
又，，∴，∴，
又，，平面MDCN，平面MDCN，
∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，
易知，∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面；
（2）解法一：由（1）知平面MDCN，又，
以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
∴，，，
设平面FND的法向量为，则，
令，令，则，∴，
设平面PND的法向量为，则，
令，则，，∴，
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为．
解法二：如图，取NC的中点O，连接PO，则，
∴平面MDCN，
∵平面MDCN，∴，
过O作，垂足为H，连接PH，则就是二面角的平面角，

又，，∴，∴，
∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，
∴二面角的正弦值为．
六、问答题
22．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得？（O为坐标原点）若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）首先根据对称性确定点，，三点在椭圆上，代入椭圆方程，即可求解；
（2）假设存在，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，即可求得存在点满足条件.
【详解】（1）根据对称性可得椭圆过，，三点，
于是有，解得，.
故椭圆的方程为.
（2）假设存在，由于，
当直线斜率为0时，l方程为，点P在椭圆外的x轴上任意点都符合题意，
当直线斜率不为0时，可设直线l方程为，，，
联立方程组，得，
韦达定理知，
若，则，
即，
则，
又因为，
所以，因此，
此时，直线斜率为0时也符合题意，
即存在点使得．