2023-2024学年宁夏银川市第二中学高二上学期月考二数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏银川市第二中学高二上学期月考二数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】正负相间用表示，∴．
故选D．
【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
2．《周髀算经》中有这们一个问题：从冬至日起，依次有小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至､立春､春分日影长之和为尺，谷雨日影长为尺，则这十二个节气日影长之和为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】B
【分析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，把已知用数列语言描述后求解可得．
【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，
由题意可得，即，解得，
因为谷雨日影长为，即，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
3．已知等比数列满足，则q＝（ ）
A．1B．－1C．3D．－3
【答案】C
【分析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.
【详解】因为，故可得；
解得.
故选：C.
4．已知直线是曲线的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系求解即可.
【详解】因为，所以，设切点为，切线斜率为，
∴切线方程是，
∴.
故选：C.
【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
5．已知等差数列，其前项和为，则（ ）
A．24B．36C．48D．64
【答案】B
【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，且，
由等差数列的性质，可得，所以，
又由.
故选：B.
6．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解.
【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，
设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.
故选:D.
7．已知数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．0B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和的性质即可求得答案.
【详解】由可得，
故数列为等差数列，
又，故也成等差数列，
即 ，
故选：D
8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440B．330
C．220D．110
【答案】A
【详解】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
二、多选题
9．下列数列为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据等比数列的定义，判断是否为定值且首项不为0，即可判断各项是否为等比数列.
【详解】A：，则不为定值，不满足；
B：，则不为定值，不满足；
C：，则为定值，且，满足；
D：，则为定值，且，满足.
故选：CD
10．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．数列可能是等差数列B．数列一定是等差数列
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的定义判断AB，根据等差数列求和公式和通项公式计算CD.
【详解】设的首项为，公差为，则，，
所以当时，即为常数列时，为等差数列，故A正确；
，所以是等差数列，故B正确；
，，所以，故C正确；
，，所以和不一定相等，故D错.
故选：ABC.
11．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列B．
C．时，n的最大值是18D．
【答案】BC
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得、，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
A：由，可得
所以等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
由可得，所以，又，
所以n的最大值是18，故C正确；
D：，，
由，得，故D错误.
故选：BC.
12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长作正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长作正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（ ）
A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1
C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果
【详解】由题意得bn＝an2，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，则选项A正确；
又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；
数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－an－2，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－an－1 an－2，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a3a2－a2a1)＋(a3a4－a3a2)＋…＋(a2020a2021－a2020a2019)＝a12＋a2020a2021－a2a1＝a2020a2021，则选项C错误；
由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题
三、填空题
13．记为等比数列的前n项和，已知，，则 ．
【答案】4
【分析】根据等比数列前项和的性质结合题意直接求解
【详解】因为为等比数列的前n项和，，，
所以由等比数列的性质可得，，成等比数列，
所以．
故答案为：4
14．已知数列满足，且，则 ．
【答案】
【分析】构造新数列，新数列是常数数列，由此易得通项公式．
【详解】设，则由得，∴，
∴，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，可以通过构造新数列求解．也可以利用累乘法求通项公式．
15．数列满足，若，，则＝ ．
【答案】-6
【分析】由递推公式可得数列的周期为4，又因为，再由计算即可.
【详解】解：因为，，
所以，，，，
所以数列的周期为4，
又因为，
所以.
故答案为：-6
16．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可得数列是等比数列，求得，由已知可得出，令，分析数列的单调性，求出数列最大项的值，即可得出实数的最小值.
【详解】由有，且，
故数列为首项为，公比为的等比数列，可得，
不等式可化为，令，
当时；当时，．
故有当时，，
则，
当时，，即，
此时，数列单调递减，
综上所述，，可得实数的最小值为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知为等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可；
（2）分和两种情况求和.
【详解】（1）设的公差为，则：，
.
（2），
令，
当时，，

，
当时，，
综上所述：.
五、问答题
18．已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），
【分析】（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可．
【详解】（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且，
所以，
解得，或（舍去），
则所求数列的通项公式为.
（Ⅱ）由题意得，
故
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和．
19．已知等差数列的前项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1） ; （2）
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题设条件列方程组求出 的值，从而求出数列，的通项公式；
（2）根据数列数列的通项构成特点，可由错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得：
解得或（舍去）,d=2．
∴ 数列的通项公式是
数列的通项公式是， .
（2）
∴，
六、证明题
20．已知数列的各项均为正数，前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与之间的关系，分和两种情况，结合等差数列的定义分析证明；
（2）利用等差数列的前n项和公式求出，则，通过“裂项求和”即可得出.
【详解】（1）因为，则有：
当时，则，且，解得；
当时，则，
可得，整理得，
且，则，可得，即，
所以数列是以首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，
可得，
所以.
七、解答题
21．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，求数列的前项和；
(3)若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时，，适合上式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合，得到，结合裂项法求和，即可求解.
（3）根据题意，转化为恒成立，得到，结合基本不等式求得的最大值即可求解.
【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，
因为数列满足：，可得，
可得，
当时，也适合此式，
则，
所以数列的前项和：.
（3）解：由对恒成立，即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
又由，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以，
即实数的取值范围为.
八、证明题
22．已知数列是等差数列，．
(1)求的通项公式和；
(2)已知是等比数列，对于任意正整数，若，则．
①当时，求证：；
②求的通项公式及其前项和．
【答案】(1)，
(2)①见证明；②，前项和为：
【分析】（1）由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，进而求得通项公式，然后确定所给的求和公式的首项和项数，结合等差数列的前项和公式计算即可.
（2）①利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，即可得证题中的不等式；②结合①的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而求得数列得通项公式，最后由等比数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知，解得，所以数列的通项公式为.
.
（2）①由题意可知，当，则，
取，则．即.
当时，则，
取取，此时．即.
综上可得：
②由①可知，，
则数列的公比满足，
当，时，，，所以，
所以，，
当，时，，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.