2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期第三次月考数学试题（普通班）含答案

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期第三次月考数学试题（普通班）含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线经过两点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.
【详解】由，得的斜率为．
故选：A
2．已知等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用，直接计算公差即可.
【详解】等差数列中，，设公差为d，则，即.
故选：C.
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出抛物线的标准式，根据标准式可得焦点坐标.
【详解】抛物线的标准式为，
其焦点在上，坐标为.
故选：A.
4．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据两圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2.
圆与圆的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有3条.
故选：C
5．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】利用，求出即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
6．已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义确定轨迹，即可得轨迹方程.
【详解】因为，所以的轨迹为双曲线，且焦点在轴上
设该双曲线的方程为，则，，.
所以的轨迹方程为.
故选：D.
7．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（ ）．

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先用表示，然后由可得结果.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
故选：A.
8．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出椭圆通径，结合等腰直角三角形的性质可得，再由离心率公式即可得解.
【详解】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e，
将代入可得，所以,
又是等腰直角三角形，所以，
所以即，所以，解得（负值舍去）.
故选：C.
二、多选题
9．已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是B．是它的第项
C．此数列的通项公式是D．是它的第项
【答案】AB
【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.
【详解】数列，
即，
则此数列的通项公式为，A正确，C错，
令，解得，故B正确，D错.
故选：AB
10．已知直线l：和圆O：，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线：垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
11．如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（ ）

A．点关于直线的对称点的坐标为
B．点关于点的对称点的坐标为
C．夹角的余弦值为
D．平面的一个法向量的坐标为
【答案】AD
【分析】对A：由以及对称点构成正方形，即可求得对称点坐标；对B：由中点坐标公式，即可判断；对C：利用余弦定理求得，即可判断；对D：写出平面中两个不共线的向量坐标，求平面法向量即可.
【详解】对A：设点关于直线的对称点为，
则四边形为正方形，所以坐标为，A正确；
对B：设点关于点的对称点为，则中点为，
由得，B错误；
对C：由，
得，
所以夹角的余弦值为，C错误；
对D，因为，
设平面的一个法向量的坐标为,，则，
取得平面的一个法向量的坐标为，D正确；
故选：AD.
12．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2B．双曲线的方程是
C．的最小值为2D．直线与有两个公共点
【答案】AB
【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.
【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；
可化为，则，，故A正确；
由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；
由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；
故选：AB
三、填空题
13．已知等差数列满足，则 ．
【答案】5
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】因为，且，
所以，解得.
故答案为：
14．已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为 .
【答案】3
【分析】首先得到抛物线的准线方程，再设点的横坐标为，即可得到方程，解得即可.
【详解】抛物线的准线为，设点的横坐标为，
由抛物线上的点到准线的距离为4，可得，解得.
故答案为：
15．圆：与圆：相交于A，B两点，则等于 ．
【答案】
【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆：与圆：，
相减的公共弦所在直线方程：，
又圆：，即，
圆心为，半径，
则圆心的直线的距离为，
所以.
故答案为：
16．已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】分别求得点和点，则可得，可得渐近线方程.
【详解】
设，
过点作轴的垂线，直线方程为，
所以令，代入双曲线方程得，所以，
又在第一象限，所以，
双曲线的一条渐近线为，令可得，即，
又，所以是，中点，
则，即，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故答案为：.
四、问答题
17．已知等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2)n.
【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算即得；
（2）利用求和公式即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，
所以；
（2）n.
18．已知，
(1)求线段垂直平分线所在直线方程
(2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得；
（2）根据点到直线距离公式结合条件即得.
【详解】（1）因为点，．
所以线段的中点坐标为，直线的斜率为，
因此直线的中垂线的斜率为，
因此线段的垂直平分线所在直线方程为，
即；
（2）因为直线过点，，，
当直线的斜率不存在时，显然不合题意，
设直线的方程为，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
19．已知圆经过、两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出线段的垂直平分线的方程，与直线的方程，可得出圆心的坐标，求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）分两种情况讨论：直线的斜率不存在，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即．
圆心为的中垂线与直线的交点，
联立，解得，故圆心为，
圆的半径，所以圆的标准方程为．
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得或.
的方程为或．
五、证明题
20．在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．

(1)证明：平面；
(2)求到面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；
（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.
【详解】（1）以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以，
又因为，所以，
所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为，
又因为，
所以到面的距离为．
六、问答题
21．设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分析可得，代入方程运算求解；
（2）根据题意可得，联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义分析求解.
【详解】（1）因为与抛物线交于A，B，且，
根据对称性可得 ，
，
代入得，解得，
所以抛物线C的方程.
（2）由（1）知抛物线的焦点为，
可知直线的方程为 ，设，，
联立方程，消去y得，
则，可得，
所以.

22．已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得，再表示出点到直线的距离，由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）
设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，所以
，
即，则，
， ，
把韦达定理代入可得：，
整理得，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，可得是定值1．