2023-2024学年陕西省汉中市西乡县第一中学高二上学期第二次（12月）月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省汉中市西乡县第一中学高二上学期第二次（12月）月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义进行求解.
【详解】由椭圆方程可知，解得.
又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，
所以M到另一个焦点的距离为.
故选：B
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程是：
故选：A
3．直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．或1D．
【答案】A
【分析】根据已知得出，求解得出的值，代入的方程检验，即可得出答案.
【详解】由可得，，即，
解得或.
当时，方程为，方程为不重合，满足；
当时，方程为，方程为，即，与重合，舍去.
综上所述，.
故选：A.
4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．
【详解】因为，点N为BC中点，
所以，，
故
．
故选：B．
5．已知双曲线在左，右焦点分别为，，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于，两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：首先将双曲线的焦距设出，之后借助于正三角形的特征，求得对应线段的长，从而进一步求得点A的坐标，利用点在双曲线的渐近线上，得到点的坐标所满足的关系式，从而确定的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小.
详解：设，设与x轴相较于M点，
根据正三角形的性质，可以求得，
从而求得，所以有，故选A.
点睛：该题考查的是有关双曲线的性质的问题，在解题的过程中，注意找渐近线上的点的坐标，也可以利用等边三角形的性质，可以确定出渐近线的倾斜角，从而求得的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小，这样更省时间.
6．已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【详解】因为直三棱柱中，，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设与所成角大小为，
则.
故选：D
7．二项式的展开式中的系数为（ ）
A．-21B．21C．36D．-36
【答案】A
【分析】求出二项式的通项公式，然后求展开式中的系数即可.
【详解】二项式的通项公式为：.
所以令，解得，所以展开式中的系数为.
故选：A.
8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，可得，，将A,B两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出===，进而可求出的值.
【详解】设，则，，
则，
两式相减得：，
∴===，
又==，∴，
联立，得.
∴椭圆方程为.
故选：A．
二、多选题
9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若政治必须选，选法总数为
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理及排列组合，依次判断各选项，即可得解．
【详解】对于A，任意选择三门课程，选法总数为，A正确；
对于B，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，
由分类加法计数原理知，选法总数为，B错误；
对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为，C正确；
对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误．
故选：AC
10．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】A：由题设，对；
B：由题设，或，错；
C：由题设，对；
D：由题设，对.
故选：ACD
11．已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是B．
C．当时，D．
【答案】BCD
【分析】求出的值，可得出抛物线的方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；计算出直线、的斜率之和，可判断D选项.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线的准线上，则，可得，
所以，抛物线的方程为，A错；

对于B选项，抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立，可得，，则，
所以，，B对；
对于C选项，因为，即，则，
因为，可得，
则，则，
此时，
，C对；
对于D选项，，同理可得，
所以，
，所以，，D对.
故选：BCD.
12．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．若，则圆与圆恰有三条公切线
【答案】BD
【分析】直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，判断A，由定点在圆得直线与圆位置关系，判断B，求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C，由圆心距离判断两圆位置关系后判断D．
【详解】直线的方程整理为，
由得，所以直线过定点，A错；
又，即定点在圆内，因此直线与圆相交，有两个交点，B正确；
时直线方程为，圆心到直线的距离为，圆半径为2，，
因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，
因此只有2个点到直线的距离等于1，C错；
时，圆的标准方程为，圆心为，半径为3，
两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确，
故选：BD．
三、填空题
13．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ．
【答案】
【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可.
【详解】由题意知，
该直线的斜率为，
解得.
故答案为：.
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.
【详解】令得：，
令得：，
.
【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.
15．已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为 .
【答案】16
【分析】直线斜率显然存在，设，直线方程为，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，由求得，然后由弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离，得出三角形面积后可得最小值．
【详解】直线斜率显然存在，设，直线方程为，
由得，，，
，，
，则，
，
或，
时，直线过原点，不合题意，
因此，满足，
，直线方程为，
，
原点到直线的距离为，
所以，
所以时，取得最小值．
故答案为：16.
16．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 ．（用数字作答）
【答案】240
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得．
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案
故答案为：240
四、解答题
17．已知直线 与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；
(3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果；
（2）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果；
（3）根据题意，分直线经过原点与不经过原点讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，得，所以交点，
设过点且平行于直线的直线方程为，
将点坐标代入，解得，
则直线方程是:.
（2）求过点且垂直于直线的直线方程为，
将点坐标代入，解得，
则直线方程是:.
（3）当直线过原点时，设直线方程为，
将点坐标代入，可得，
则，化简可得；
当直线不过原点时，设直线方程为，
由条件可得，解得，
则，化简可得；
综上所述，直线的方程为或,
18．电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点E在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明其与共线即可.
（2）求出平面的法向量，由店面距离公式计算即可得解.
【详解】（1）因为平面，平面，平面，
所以，，又因为是矩形，，
由两两垂直，故以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，
则，，，，，，
设直线的方向向量为
设面的法向量为，
，
则，即，令，则，，于是，
由题知：，故，
故平面.
（2）设平面的一个法向量为，
由（1）可知，.
则，即，
令，则，，于是，而
所以点A到平面的距离为.
20．平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为．
(1)求圆的标准方程；
(2)若与圆相切，求m的值；
(3)若直线被圆截得的弦长，求的值.
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）根据两点间距离公式求出半径，然后可得标准方程；
（2）根据圆心到直线距离等于半径即可求解；
（3）利用弦长公式求出圆心到直线的距离，然后由点到直线的距离公式求解可得.
【详解】（1）由题意知，，
所以圆的方程为．
（2）若与圆相切，
则圆心到直线的距离，
解得或
（3）设圆心到直线的距离为，则有
因为，所以，
由点到直线的距离公式得，解得或．
21．如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以 为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．
(1)求证：；
(2)若把折起到当平面平面时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠问题结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）连接，设，
由题意可得：，，
∴四边形为菱形，则，
折叠后，，
，平面，
∴平面，
且平面，故.
（2）若平面平面，由，平面平面，平面，
可得平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
∵为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，
由图观察知：二面角是钝角，故二面角的余弦值为．
22．双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由双曲线方程可得椭圆方程中的，再由离心率公式可得，从而得到椭圆方程；
（2）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，再由弦长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为.
因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，
且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.
故椭圆的方程为.
（2）
因为，所以直线的斜率存在.
因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.
代入椭圆方程得.
因为，
所以.设，，
根据根与系数的关系得，.
.
因为，即.
整理得.令，则.
所以.
等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.
故的最大值为